初三数学函数的最大值与最小值知识精讲

    函数的最大值与最小值

    在经济生活中常常遇到在一定条件下怎样使运费最省、利润最多、容积最大、材料耗费最少等效益问题，这类问题的解决往往归结为求某个函数在自变量允许取值范围内的最大值或最小值，这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用。

  1. 一次函数的最大值与最小值

    一次函数内是没有最大值和最小值的，但是如果对自变量的取值范围有所时，一次函数就可能有最大值和最小值了。

  2. 二次函数的最大值与最小值。

    ①对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

    ②求二次函数的最值时，应注意自变量的取值范围。

    例（1999天津）已知关于的方程有实数根，且，试问：值是否有最大值或最小值，若有试求出其值，若没有请说明理由。

    分析：利用根与系数的关系，将变形为用k的代数式来表示并注意有实根时，其判别式为非负。

    解：

    例（1997陕西）如图所示的抛物线是把经过平移而得到的，这时抛物线过原点O和轴正向上一点A，顶点为P。

    （1）当求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式。

    （2）求如图所示的抛物线对应的二次函数在最大值和最小值。

    解：（1）

    （2）

    说明：（2）题是求二次函数在有限区间上的最值问题，此题抛物线开口向下，且对称轴至少最小值越远离对称轴的地方函数值越小。这类问题的解法要注意数形结合。

    例1. 设是大于零的常数，且

    分析：将函数解析式

    解：

    ①当

    ②当

    例2. 已知

    分析：题设条件给出两个方程，三个未知数虽然的具体数值是不能求出的，但是，我们固定其中一个，不妨固定，那么都可以用x来表示，于是u便是x的函数。

    解：由已知条件

    例3. 已知

    求：

    分析：从已知等式中求出的二次函数的最值问题。

    解：

    例4. 已知函数求实数的值。

    分析与解：

    它的对称轴是直线的范围内，分三种情况讨论。

    （1）若

    当

    （2）若

    当

O

    （3）若

    说明：对于含有参数的二次函数的最值问题，必须对参数进行讨论，而讨论的方法应以。

  1. 已知二次函数

    设

    那么

    A.     B.     C.     D. 不能确定

  2. 变量求函数的最大值与最小值。

  3. 求函数

  4. 求的最大值和最小值。

  5. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）其中试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。

  6. 设。

参

http://

  1. 解：

  2. 解：由

  3. 解：

  4. 解：

  5. 解：设矩形PNDM的边DN=

    易知

  6. 解：

    （1）当，且靠近区间的左端点。