山东省2021年冬季普通高中学业水平合格考试数学模拟试题(一)(解析版)

数学试题

一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）

A．-1 ．1 ． ．

【答案】B

【详解】

设，则，故，

所以，

故选：B.

2．若向量，，则（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【详解】

因为向量，，

所以；

故选：B.

3．设命题：所有正方形都是平行四边形，则为（ ）．

A．有的正方形不是平行四边形

B．有的平行四边形不是正方形

C．所有正方形都不是平行四边形

D．不是正方形的四边形不是平行四边形

【答案】A

【详解】

解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

命题：所有正方形都是平行四边形，

所以为有的正方形不是平行四边形.

故选：A.

4．不等式解集为（ ）

A． ．

C． ．或

【答案】A

【详解】

由得：，解得.

故选：A

5．若，则

A． ． ． ．

【答案】B

【详解】

由和可得，，

所以.

故选：B.

6．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）

A． ．

C． ．

【答案】D

【详解】

当时，为增函数，当时，且，

故A，B 不符合.

当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.

故选：D.

7．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）

【答案】B

【详解】

由题意得高三学生人数为

，

因为在抽取的样本中，高二年级有20人，

所以样本容量满足，得

所以样本中高三年级的人数为，

故选：B

8．设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）

A． ． ． ．

【答案】D

【详解】

设，则，因为函数为奇函数，且当时，，

，即：.

故选：D

9．若，则下列正确的是（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【详解】

A：时，不成立，错误；

B：由，两边同时减去，有，正确；

C：当时，由则，错误；

D：时，不成立，错误；

故选：B

10．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　）

A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件

B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

C．“a＜3”是“a＜5”的必要条件

D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

【答案】D

【详解】

取a＝2，b＝3，c＝0，满足ac＝bc，但是不满足a＝b，选项A错误，

取a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，

由“a＜5”推不出“a＜3”，选项C错误，

“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，

故选：D．

11．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）

A．16海里/小时 ．15海里/小时

C．海里/小时 ．海里/小时

【答案】A

【详解】

由图可知，，

则，得，

所以该船的航行速度为（海里/小时）．

故选：A

12．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）

A． ． ． ．

【答案】A

【详解】

设向量的夹角为θ，则.

故选：A.

13．抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（ ）

A． ． ． ．

【答案】C

【详解】

解：抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，样本总数由种，其中目标样本“向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6”的样本数为种，所以抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为.

故选：C

14．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（ ）

A．甲得分的中位数和极差都比乙大

B．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大

C．甲得分的中位数和极差都比乙小

D．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小

【答案】B

【详解】

甲得分依次为、、、、，

中位数是，极差为，

乙得分依次为、、、、，

中位数是，极差为，

则甲得分的中位数比乙小，极差比乙大，

故选：B.

15．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A为摸出的小球编号为奇数，事件B为摸出小球的编号为2，则（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【详解】

事件A与事件B是互斥事件，.

故选：B.

16．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）

A．12 ．24 ．4 ．30

【答案】C

【详解】

所求的体积为，

故选：C.

17．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）

A．平面 ．平面

C．平面 ．以上都有可能

【答案】A

【详解】

平面，，即平面，平面，

又平面平面，平面平面，

平面.

故选：A.

18．函数的最小正周期为（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【详解】

，因此，该函数的最小正周期为.

故选：B.

19．在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（ ）

A．0.001 ．0.01 ．0.03 ．0.3

【答案】D

【详解】

由频率分布直方图可得第四小组的频率为.

故选：D.

20．已知12是函数的一个零点，则的值是（ ）

A．1 ．0 ．2 ．+1

【答案】B

【详解】

由题意知：，可得，

∴，则.

∴.

故选：B

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）

21．已知，则的最小值是___________．

【答案】5

【详解】

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

22．若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________

【答案】

【详解】

由题意，不等式且，即，

令，

所以，

所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，

而一次函数，图象是过一定点的动直线，

作出函数和的图象，如图所示，

其中，

又因为，结合图象，

要使得集合中有且只有一个元素，

可得，即，解得.

即正实数的取值范围是.

故答案为：.

23．函数，则______.

【答案】10

【详解】

因为，

所以.

故答案为：10

24．在中，，则的面积为______．

【答案】或

【详解】

在中，，

由正弦定理得，所以，

因为，则或，可得或，

又由，所以或.

故答案为：或.

25．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．

【答案】

【详解】

、是方程的两根，并且、，

∴，，．

∴、均大于零，故、，∴．

∵，∴，

故答案为：．

三、解答题（本题共3小题，共25分）

26．已知函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及其单调递减区间；

（2）若要得到的图象，只需要函数的图象经过怎样的图象变换？

【详解】

（1）根据函数的图象：，解得，故，

由于，由于，故.

所以.

所以函数的最小正周期为；

令，

整理得，

故函数的单调递减区间为：，

（2）要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的即可.

27．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．

（1）求证：平面；

（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．

【详解】

（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，

则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，

又点D1为A1C1的中点，

所以OD1∥BC1，

又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1．

（2）V1＝＝＝＝V2

所以＝．

28．已知函数.

（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（2）解关于的不等式.

【详解】

（1），则函数是奇函数，

则当时，设，

则

，

，

，即，，

则，即，

则在，上是增函数，

是上的奇函数，

在上是增函数.

（2）在上是增函数，

不等式等价为不等式，

即.

即不等式的解集为.