《高等数学》上册知识点汇总

等差数列求和公式：

立方和差公式：

对数的概念：

 如果（）的次幂等于，即，那么数 叫做以为 底的对数，记  作：.

 由定义知：

 （1）负数和零没有对数；

 （2）；

 （3），，，.

对数函数的运算法则：

（）

（）

（）

（）

（）

三角函数值

（1）         （2）

（3）       （4）

（5）       （6）

（7）      （8）

（9）       （10）

（11）       （12）

（13）

（14）

（15）

（16）

基本积分表：

（1）（是常数），

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、集合

 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉ A.

 全体非负整数即自然数的集合记作N，即；

 全体正整数的集合为；

 全体整数的集合记作Z，即；

 全体有理数的集合记作Q，即；

 全体实数的集合记作R.

 如果集合A与集合B互为子集，即A ⊂ B且B ⊂ A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设

.

则A=B

 若A ⊂ B且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊊ B.

 不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ ⊂ A.

 设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:

 （1）交换律A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A;

 （2）结合律，

 （3）分配律，

 （4）对偶律，

二、映射

 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

 f：X → Y

其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了，即

而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作，即；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作或，即

三、函数

 定义 设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作，即.

 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.

 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.

函数的几种特性：

（1）函数的有界性 

 如果存在正数M，使得

对任一 都成立，则称函数在上有界·如果这样的不存在，就称函数在上无界;这就是说，如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界.

 容易证明，函数在上有界的充分必要条件是它在上既有上界又有下界.

 （2）函数的单调性

 （3）函数的奇偶性

设函数的定义域D关于原点对称.如果对干任一 ，

恒成立，则称为偶函数. 如果对干任一 ，

恒成立，则称为奇函数.

 偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y = x对称.

 函数是奇函数.函数是偶函数.函数既非奇函数，也非偶函数.

 （4）函数的周期性

 设函数的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一有且

恒成立，则称为周期函数,称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.

初等函数：

    幂函数：

 指数函数：

 对数函数：

 三角函数：

 反三角函数：

 以上这五类函数统称为基本初等函数.

 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 

对数函数与指数函数

当，，对数函数是指数函数的反函数.

第二节 数列的极限

 定义 设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式

都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，记为

 如果不存在这样的常数a，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在.

 定理1（极限的唯一性） 如果数列收效，那么它的极限唯一.

 定理2（收敛数列的有界性） 如果数列收效，那么数列一定有界.

根据上述定理，如果数列无界，那么数列一定发散，但是，如果数列有界。却不能断定数列一定收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.

 定理3（收敛数列的保号性） 如果，且，那么存在正整数N > 0，当n > N时，都要.

 定理4（收效数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.

第三节 函数的极限

 定义1    设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当𝓍满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数A就叫做函数当时的极限，记作

 我们指出，定义中表示，所以时有没有极限，与在点是否有定义并无关系.

    定义2    设函数在当大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数A就叫做函数当 时的极限，记作

 定理1（函数极限的唯一性） 如果存在，那么这极限唯一.

 定理2（函数极限的局部有界性） 如果，那么存在常数M > 0和δ > 0，使得当时，有.

 定理3（函数极限的局部保号性） 如果，且A > 0（或A < 0），,那么存在常数δ > 0，使得当时，有.

第四节 无穷小与无穷大

  定义1 如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小

 特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小.

 定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，函数具有极限A的充分必要条件是了，其中是无穷小.

 定义2 设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式

则称函数为当（或）时的无穷大.

 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小;反之，如果为无穷小，且，则为无穷大.

第五节 极限运算法则

 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小.

 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.

 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

 定理3 如果，，那么

 （1）

 （2）

 （3）若又有B ≠ 0，则

 推论1 如果存在，而c为常数，则.

 推论2 如果存在，而n是正整数，则

定理6（复合函数的极限运算法则） 设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则

第六节 极限存在准则 两个重要极限

两个重要极限：

准则Ⅰ 如果数列 、及满足下列条件：

（1）从某项起，即∃，当时，有

（2），

那么数列的极限存在，且（称为：夹逼准则）

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当时，就有

 这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点间的距离小于ε.

 柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.

第七节 无穷小的比较

定义:

 如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β = o（α）

 如果，就说β是比α低阶的无穷小.

 如果，就说β是比α同阶的无穷小.

 如果，就说β是关于α的阶无穷小.

 如果，就说β与α是等价的无穷小，记作α ~ β.

等价无穷小： ， ， ，， ，，   

定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为：

定理2    设，，且存在，则

第八节 函数的连续性与间断点

    定义    设函数在点的某一领域内有定义，如果

那么就称函数在点连续.

 所以，函数在点连续的定义又可叙述如下：设函数在点的某一领域内有定义，如果：

那么就称函数在点连续.

 设函数在点的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：

 （1）在没有定义； 

 （2）虽在有定义，但不存在；

 （3）虽在有定义，且存在，但，

则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点.

函数间断点的几种常见类型：

（1）无穷间断点

（2）震荡间断点

（3）可去间断点

（4）跳跃间断点

 通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

    定理1 设函数和在点连续，则它们的和（差）、积及商都在点连续.

    定理2 如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续.

 一般的，对于形如（）的函数（通常称为幂指函数），如果

那么

第十节 闭区间上连续函数的性质

 定理1（有界性与最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

  定理2（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号，那么在开区间内至少有一点ξ，使

定理3（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 

那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间内至少有一点ξ，使得

 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果 与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即

也可记作，，

常数和基本初等函数的导数公式：

（1）         （2）

（3）       （4）

（5）       （6）

（7）      （8）

（9）       （10）

（11）       （12）

（13）

（14）

（15）

（16）

函数的和、差、积、商的求导法则：

 极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。

 如果极限不存在，就说函数在点处不可导。如果不可导的原因是由于时，比 式  ，为了方便起见，也往往说函数在点处的导数为无穷大.

 由此可见，当时，，这就是说，函数在点处是连续的，所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续.

 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.

第二节 函数的求导法则

定理1 如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数.

定理2 如果函数在区间内单调、可导且，则它的反函数  在 区  间内也可导，且

 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

 定理3 如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为

第三节 高阶导数

莱布尼茨公式：

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

 一般的，若参数方程

   （3）

确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（3）所确定的函数.

第五节 函数的微分

定义 设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果增量

可表示为

其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即

  函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是

 函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即

 通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即.于是函数的微分又可记作

第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有

那么.

 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）.

 罗尔定理 如果函数满足

 （1）在闭区间上连续；

 （2）在开区间内可导；

 （3）在区间端点处的函数值相等，即，

那么在内至少有一点ξ ，使得.

 拉格朗日中值定理 如果函数满足

 （1）在闭区间上连续；

 （2）在开区间内可导；

那么在内至少有一点ξ ，使等式

成立.

 定理 如果函数在区间  上的导数恒为零，那么在区间  上是一个常数.

 柯西中值定理 如果函数及满足

 （1）在闭区间上连续；

 （2）在开区间内可导；

 （3）在任一，

那么在内至少有一点ξ，使等式

第二节 洛必达法则

 定理1 设

 （1）当时，函数及都趋于零；

 （2）在点 的某去心邻域内，及都存在且；

 （3）存在（或为无穷大），

那么

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.

 如果当 时仍属于型，且这时，能满足定理中，所要满足的条件，那么可以继续施用洛必达法则先确定，从而确定，即

且可以以次类推.

定理2 设

 （1）当时，函数及都趋于零；

 （2）当时，及都存在，且；

 （3）存在（或为无穷大），

那么

 其他还有一些0 ∙ ∞、∞ - ∞、、、型的未定式，也可通过 或  型的未定式来计算.

第三节 泰勒公式

 泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一

，有

其中

这里ξ是与之间的某个值.

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

定理1 设函数在上连续，在内可导.

（1）如果在内，那么函数在上单调增加；

（2）如果在内，那么函数在上单调减少.

定义 设在区间 上连续，如果对 上任意两点， 恒有

那么称在 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有

那么称在 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.

定理2 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在内，则在上的图形是凹的；

（2）若在内，则在上的图形是凸的.

求连续曲线的拐点：

（1）求；

（2）令，解出这方程在区间 内的实根，并求出在区间 内不存在的点；

（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点.

第五节 函数的极值与最大值最小值

 定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心领域内的任一，有

那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.

 定理1（必要条件） 设函数在点处可导，且在处取得极值。那么.

 定理2（第一充分条件） 设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导.

（1）若时，，而时，，则在处取得极大值；

（2）若时，，而时，，则在处取得极小值；

（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值.

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

定义1  如果在区间  上，可导函数的导函数为，即对任一，都有

那么函数就称为 （或）在区间  上的原函数.

原函数存在定理 如果函数 在区间  上连续，那么在区间  上存在可导函，使对任一都有

简单地说就是:连续函数一定有原函数.

定义2        在区间  上，函数的带有任意常数项的原函数称为 （或）在区间  上的不定积分，记作

其中记号∫称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.

基本积分表：

（1）（是常数），

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

不定积分的性质：

性质1    设函数及的原函数存在，则

性质2 设函数的原函数存在，为非零常数，则

第二节 换元积分法

定理1 设具有原函数，可导，则有换元公式

一般的，对于积分，总可作变换，把它化为

定理2 设是单调、可导的函数，并且.又设具有原函数，则有换元公式

第三节 分部积分法

 设函数及具有连续导数.那么，两个的函数乘积的导数公式为：

移项，得         

 对这个等式两边求不定积分，得

          （1）

公式（1）称为分部积分公式.

为简便起见，一也可把公式（1）写成下面的形式：

第四节 有理函数的积分

 两个多项式的商称为有理函数，又称有理分式. 我们总假定分子多项式与分母多项式之间是没有公因式的.当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式

    例1 求

 解    被积函数的分母分解成，故可设

其中A、B为待定系数.上式两端去分母后，得

即         

比较上式两端同次幂的系数，既有

从而解得       

于是    

                                =

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

定积分表达式：

其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量， 叫做积分下限， 叫做积分上限，叫做积分区间.

 定理1 设在区间上连续，则在上可积.

 定理2 设在区间上有界，且只有有限个间断点，则设在上可积.

定积分的性质：

 为了以后计算及应用方便起见，对定积分作以下两点补充规定：

 （1）当时，；

 （2）当时，.

    性质1 

    性质2 

    性质3 设，则

    性质4 如果在区间上，则

    性质5 如果在区间上，则

    推论1 如果在区间上，，则

    推论2

性质6 设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值，则

    性质7（定积分中值定理） 如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点ξ，使下式成立：

这个公式叫做积分中值公式.

第二节 微积分基本公式

牛顿一莱布尼茨公式：

    定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则

第三节 定积分的换元法和分部积分法

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程.

 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.

 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解. 

第二节 可分离变量的微分方程

 一般的，如果一个一阶微分方程能写成

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

第三节 齐次方程

 如果一阶微分方程可化成

的形式，那么就称这方程为齐次方程.

第四节 一阶线性微分方程

 方程

叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数及其导数是一次方程.如果，则方程（1）称为齐次的；如果，则方程（1）称为非齐次的.

 由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.