第十一章全等三角形全章教案

学

目

标

技能

2.能够找出全等三角形的对应元素.

3.掌握全等三角形的对应边、角相等.

方法

态度

2.在运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.

播放大量我们日常生活中常见的全等形的图片，概括性地介绍本章.

二、探究新知

1.投影片演示

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

2.观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

3.全等的表示方法：

怎样表示两个三角形全等？

表示两个三角形全等时应该注意哪些问题？

三、课堂训练

1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

2.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

3. 如图, △ABD ≌ △EBC

①请找出对应边和对应角。   

②如果AB=3cm,BC=5cm,  

求BE、BD的长.

变式：如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的长

4.如图所示，≌，∠B和∠D是对应角， AF和CE是对应边。

(1)写出与的其它对应角和对应边；

(2)若∠B=30°，∠DCF=20°，求∠EFC的度数；

(3)若BD=10，EF=4，求BF的长.

四、小结归纳

学生谈本节课的收获：

1.全等形、全等三角形的概念；

2.全等三角形的性质。

五、作业设计

1.教材4—5页：1、2、3、4题；

2.如图所示，绕点A旋转后与完全重合，则≌_______，两个三角形的对应边为_________，_________，_________；对应角为_____________，____________，____________.

3.如图所示，≌，则AO=_______，CD=_______，∠B=________；若≌，则EO=_______，CO=_______，∠BFO=_________.

4.如图，≌，点B与点D是对应顶点，若AB=6，AE=11，则DC的长为______.

5.已知≌，若的周长为30cm，AB=8cm，BC=12cm，则DE=_____cm，DF=_____ cm.

6.已知以A、B、C为顶点的三角形与以A、B、D为顶点的三角形全等，C、D为对应顶点且在AB两侧，若AB=7，AC=5，BC=6，则AD的长为（　　）

A．7　　　B．6　　　　C．5　　　D．5或6

7.如图，在中，D、E分别是边AC、BC上的点，若≌≌，则∠C的度数为（　　）

A．15°　 B．20°    C．25°    D．30°

学生欣赏图片，感知全等形、全等三角形，引出本章课题。

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

教师引导学生全等三角形如何表示。（注意：强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

学生观察与思考，从全等三角形可以完全重合出发找等量关系。

学生明确全等三角形的表示，及对应顶点的字母写在对应位置上

教师出示问题1，学生思考解决，并阐述判断依据和理由

教师出示问题2，学生思考解决，并阐述判断依据和理由

教师引导学生归纳在全等三角形中找对应元素的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角

学生综合应用全等的性质解决问题。

教师组织学生回顾本节知识，学生谈个人收获，师生交流.

丰富的图形和问题容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中.

感知一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

通过观察、思考，得到全等三角形的性质。

考查学生对全等三角形性质的掌握情况。

强调对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

使学生能准确地把握全等三角形中的对应元素。

提升学生应用全等三角形的性质解题的能力。

学生谈本节课学到的知识以及解题体会

学

目

标

技能

2.会根据边边边作一个角等于已知角.

方法

态度

1.多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质.

2.多媒体展示一个三角形.

二、探究新知

1.多媒体展示：

(1)只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

(2)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

    ①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

    ②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

2.学生说出给定三个条件画三角形的各种可能情况.

3.已知三角形三条边分别是4cm，5cm，7cm,画出这个三角形，并与同伴比较是否全等

4.如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

5.如图，已知∠AOB，求作：，使=∠AOB.

三、课堂训练

1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

2.如图， AB=ED，BC=DF，AF=CE.

求证：AB∥DE.

四、小结归纳

1.三角形全等的判定至少需要三个条件；

2.三角形全等判定的第一个公理是：“边边边”；

3.能用尺规作图法作一个角等于已知角；

4.证明三角形全等的书写格式可分为三部分：第一部分是全等条件的证明；第二部分是罗列两个三角形全等的条件；第三部分是作三角形全等的结论，这里要求注明判定方法.

五、作业设计

1.教材习题11.2第9题；

2.补充作业：

（1）如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定(   )

A．△ABD≌△ACD     B．△BDE≌△CDE  

C．△ABE≌△ACE        D．以上都不对

（2）已知：如图，AC=BD，AD=BC，求证：∠D=∠C.

（3）如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.

①△ADE≌△CBF②∠A=∠C

学生复习全等三角形的定义及性质.

引导学生思考怎样再画一个三角形与其全等.

讨论：否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少吗?

学生按要求作图，并展示结果，进行比较.发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.

学生思考回答：三角（舍去）、三边、两角一边、两边一角.

教师明确已知三边画三角形的方法，学生作图并比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等.

教师强调简写方法：“边边边”或“SSS”.

学生找出两个三角形中已有的相等元素.

教师引导学生说出证明过程，同时板书.

学生讨论尺规作图，作一个角等于已知角的依据是什么？

学生分组学习作图法.

学生根据三角形全等的 “边边边”条件解题，教师巡视，适时指导，之后集体订正，学生互相释疑.

学生归纳本节课的收获.

教师设计作业，使学生巩固深化本节知识

回忆旧知识，为探究新知识作好准备

使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望.

满足多样化的学生需要，发展学生的个性思维.

学生通过动手操作、自主探索、交流，获得新知，增强了动手能力，同时也渗透了分类思想.

明确判定三角形全等需要三个条件.

培养学生合作交流的意识.

体验数学在生活中应用的广泛性.

检测学生对知识的掌握情况及应用能力，初步体验成功的喜悦.

规范证明题的书写过程.

通过学习已知角的画法，拓展“边边边”公理 的应用.

培养学生良好的学习习惯，巩固所学的知识.

通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识.

巩固所学知识，形成一定的数学能力

学

目

标

技能

2.会用“边角边”证明两个三角形全等.

3.知道“边边角”不能判定三角形全等.

方法

态度

从上节课我们知道，三边对应相等的两个三角形全等。由“两条边及其一个角对应相等”能判定两个三角形全等吗？ 

二、探究新知

1.探究：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等吗？

做一做：画△ABC，使AB=4cm，∠A= 60°AC=5cm。

再换两条线段和一个角试一试：

△ABC和△DEF中，AB=DE=3㎝，∠B=∠E=45°，BC=EF=4 ㎝。则它们完全重合吗？即△ABC≌△DEF？

动画演示，确认△ABC≌△DEF。

推广：在△ABC和△AˊBˊCˊ中，已知AB=AˊBˊ，∠B=∠Bˊ，BC=BˊCˊ，△ABC与△AˊBˊCˊ全等吗？

概括“边角边”判定定理。

2.探究“边边角”两个三角形是否全等？

做一做：以3cm，4cm为三角形的两边，长度为3cm的边所对的角为45°，动手画一个三角形，把所画的三角形与同桌同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？

动画演示两种情况的图形。

结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。

猜一猜：是不是两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？

3.已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD，△ABD和△CBD全等吗？

三、课堂训练

1.已知：点Ｄ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点，

求证：AB∥CD

2.已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：△ABE≌△CDF．

四、小结归纳

1.用“边角边”来判定两个三角形全等；

2.用三角形全等来证明线段的相等或角的相等。

五、作业设计

1.习题11.2第3、4题；

2.下面四个三角形中，全等的两个三角形是(    )

A．①与②  B．①与③  C．①与④  D．②与③

3．已知：如图,AB∥DE，AB=DE，且BE=CF,若∠B=35°，∠A=75°，则∠F=（　　）

A．70°　　　B．65°

C．60°　　　D．55°

4.如图，已知，AB=AD，AC=AE，∠BAD＝∠CAE，

求证：BC=DE

5.如图，AC、BD交于点O，且互相平分，则该图有几对全等三角形？为什么？

回忆两个三角形中满足三个条件对应相等的四种情况。

教师巡视。

学生作图，剪三角形，同桌比较。

确认所得结论。

学生思考、判断、观察。

学生类比判断。

教师引导学生概括三角形全等的又一个判定方法。

学生作图、比较，教师巡视。

学生发现所画三角形有两种不现情况。

学生根据前面的探究作出判断。

读题，看图，寻找可以判定△ABD和△CBD全等的条件。

教师引导学生读图，根据“边角边”判定定理寻找两个三角形全等所需的条件。

学生独自完成证明过程，之后由同学互相释疑解惑。

学生归纳本节内容，归纳已学过的证明三角形全等的方法有哪些？

明确四种情况和本节课要探究的问题。

进一步学习三角形的画法，从实践中体会三角形的全等条件。

培养学生的由特殊到一般的类比、归纳能力。

使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等。

使学生明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等。

培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写。

强化学生的“边角边”判定定理的理解。

巩固证明三角形全等的书写格式。

系统归纳本节知识点，提高归纳问题的能力。

学

目

标

技能

2.会用“角边角”、“角角边”证明全等.

方法

态度

1.三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

3.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、探究新知

问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？

问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

问题4：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

例题：如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

三、课堂训练

1.如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，请添加一个条件使△ABC≌△DEF，则需添加的条件是__________(只需写出一个).

2.．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　）

A．带①去　B．带②去　　　

C．带③去　D．带②和③去

3.如图，已知AE∥CF，且AE=CF，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D.

求证：FB=DE. 

4. 如图，已知：D在AB上，E在AC上，BE、CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.

求证：OB=OC

四、小结归纳

1.用“角边角”和“角角边”来判定两个三角形全等；

2.用三角形全等来证明线段的相等或角的相等；

3.到目前已学了的判定三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。

五、作业设计

1.教材11.2第5题；

2.补充作业：

 ①填表：

已知

条件

条件

方法

回忆两个三角形中满足三个条件对应相等的四种情况。

学生思考回答。

学生作图、比较。

生类比“SSS”“SAS”归纳“角边角”定理。

学生利用尺规作图法，作出△A′B′C′，并与△ABC比较。最终形成三角形全等的判定定理——“角边角”

学生探究、证明，获得“角角边”判定定理。

观察图形，找全等三角形及三角形全等所需的条件。

完成证明后与教材中对照。

学生充分讨论，综合应用所学知识解决问题。

归纳本节内容，及目前证明三角形全等的方法。

熟悉四种情况和本节课要探究的问题。

明确两角一边还可以分为两种情况：角边角、角角边。

培养学生的动手能力、合作能力。

培养学生的类比、归纳能力。

复习用尺规作一个角等于已知角的方法及加深对“角边角”定理的理解。

应用“角边角”定理解题，强化知识间的联系。

规范证明的过程的书写。

巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

系统地把握本节知识，提高归纳问题的能力。

学

目

标

技能

5.知道“斜边、直角边”判定法的内容.

6.会用“HL”判定两个直角三角形全等.

方法

态度

多媒体展示：

1、判定两个三角形全等的方法：       、      、      、         

2、如图，Rt△ABC中，直角边是         、         ，

   斜边是            

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF           （填“全等”或“不全等”）根据              （用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF           （填“全等”或“不全等”）根据              （用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF           （填“全等”或“不全等”）根据              （用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF          （填“全等”或“不全等”）根据              （用简写法）

二、探究新知

1.让学生画一个一条直角边是2cm，斜边是3cm的直角三角形。

2.已知线段a，c (a   a             b        

3.规律总结：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

应用格式：可以简写为“斜边、直角边”或“HL”

4.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD。

三、课堂训练

多媒体展示：

1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC           （填“全等”或“不全等” ）根据              （用简写法）

2.如图，是用两根拉线固定电线杆的示意图．其中，两根拉线的长 AB =AC。 BD 和DC 的长相等吗？为什么？

3. 如图，点E、A、D、B在同一条直线上，CA⊥EB于A，FD⊥EB于D，CA=FD，CE=FB.

求证：∠FEB=∠CBE

四、小结归纳

1.判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边；

2.直角三角形全等的所有判定方法：

    SSS、SAS、ASA、AAS、HL。

五、作业设计

1.教材习题11.2第7题；

2.补充作业：

①判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（      ）

（A）两条直角边对应相等  

（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等  

（D）两个锐角对应相等

②如图，已知：AB=AD，∠B=∠D=90°.

求证：BC=DC

③如图，△ABC中，高AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长.

学生填空，回顾所学判定三角形全等的方法。

教师巡视，指导作图方法。学生作图，同桌比较是否全等。

学生发现规律，并进行概括。

明确应用“HL”公理证明三角形全等所需条件。

学生寻找全等三角形，然后依据“HL”公理寻找证明全等所需条件，写出证明过程。

教师规范证明书写格式。

学生应用“HL”判定公理解题。

学生归纳本节所学内容及归纳可证两个直角三角形全等的方法。

使学生系统地把握对前面所学的知识，并为后续问题的探究作铺垫。

巩固三角形的画法。

培养学生的归纳、概括能力。

规范使用“HL”公理证明三角形全等的书写格式。

巩固本节所学知识。

学生准确把握直角三角形全等的所有判定方法。

学

目

标

技能

8.会用不同作图工具作已知角的平分线.

9.掌握角平分线的性质，并会简单应用.

10.了解证明几何命题的一般步骤和格式.

方法

2.了解我的平分线的性质在生活、生产中的应用.

态度

1.复习角平分线的定义；

2.提出问题：给定一个角，你能做出它的角平分线吗？方法都有哪些？

二、探究新知

探究一：角的平分线的画法

多媒体展示：已知：∠AOB。

            求作：∠AOB的平分线。

思考：

1.用圆规和直尺作已知角的平分线的依据是什么？

2.在角平分线作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗 

3.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

巩固练习：教材第19页练习。

探究二：角的平分线的性质

实验：

1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.

2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。

3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。

4.再换一个新的位置比较一下，并试着说明理由。

归纳角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

应用：

如图，已知中， D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。求证：AB=AC

三、课堂训练

1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，若∠1=∠2，求证OB=OC.

2.如图，四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD

四、小结归纳

1.用尺规作图法作出已知角的角平分线的方法；

2.角的平分线的性质；

3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

五、作业设计

1.教材习题11.3第2、4小题；

2.补充作业：

①如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE=2，求AB、CD间的距离.

②如图，在△ABC中∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为_________㎝。

②思考题：

已知：如图，任意中，AD为∠BAC的平分线。

求证：BD∶DC=AB∶AC

（提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明）

思考并回答问题。

提出问题，学生自学教材19页探究题，并作∠AOB的平分线，教师巡视指导。

学生思考并回答。

学生做练习。

学生画图，教师巡视指导。

观察、讨论PD与PE的数量系。

学生通过三角形全等，说明PD=PE。

教师引导学生归纳出角的平分线的性质。

教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。

学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。

学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。

搞好新旧知识的衔接，创设问题情境。

培养学生的自学能力，强化角平分线的画法。

培养学生用全等三角形解决问题的能力。

巩固用尺规作图法作已知角的角平分线的方法。

通过学生实验得到结论，重视知识的发生发展过程。

使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

从总体上把握学知识。

学

目

标

技能

2.会用角平分线的性质和判定证明.

3.会作一点到三角形三边距离相等.

方法

2.了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用.

态度

1.角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？

2.角平分线性质定理的作用是证明什么？

3.填空   如图：

∵OC平分∠AOB，               

∴AC=BC（角平分线性质定理）

二、探究新知

探究角的平分线的判定：

思考：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？

证明上面的猜想。

归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角平分线的判定定理的应用：

多媒体展示：

（1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？

已知：，    CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC

求证： OC平分∠AOB

证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOC中

∴△AOC≌△BOC（HL）

∴∠AOC=∠BOC    ∴OC平分∠AOB

证法2：∵    CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC

∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）

（2）已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点

求证：O在∠C的平分线上

三、课堂训练

多媒体展示：、

1.如图，已知DB⊥AN于B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB=OC，若∠OAB=25°，求∠ADB的度数.

2.如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F，且DE=DF.

求证：BD=DC

四、小结归纳

1.角平分线判定定理及期作用；

2.在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计

1.教材习题11.3第3、4题；

2.补充作业：

  如图，的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F。

求证：(1) ∠BFC=；

(2) 点F在∠DAE的平分线上.

学生思考回答，复习角的平分线的性质。

学生思考并回答。

学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后分组讨论，写出证明过程。

学生根据上面的猜测及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在已知一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师规范书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

学生总结所学知识，谈谈判定定理的用途。

把平分线的性质与判定的结论与题设相对照。

由性质到判定强化二者的关系。

进一步巩固全等三角形的判定。

培养学生的归纳概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

巩固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

巩固本节所学。

及时小结形成知识块。