2020-2021学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须持试题卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则复数（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设，，分别为的三边，，的中点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.若，求（    ）

A.    B.    C.    D.

4.某校新成立3个社团，规定每位同学只能参加其中一个社团，假定每位同学参加各个社团的可能性相同，则该校甲、乙两位同学参加同一个社团的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知复数，，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

6.将曲线上各点的战坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线，把向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（    ）

A.的最小正周期为

B.是的一条对称轴

C.在上的圾大值为

D.在上单调递增

7.在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，是顶角为的等腰三角形，，为线段上的两个黄金分割点，则有.据此计算（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图所示的一个圆锥形的金瓜配件，重75.06克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该形配件的重量约为（    ）

A.34.37克    B.34.03克    C.33.36克    D.32.69克

二、选择题：本题共4小题，每小陋5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某地区经过一年的新农村延设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中正确的是（    ）

A.新农村建设后，种植收入减少了

B.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

C.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

10.已知，是平面内夹角为的两个单位向量，向量在该平面内，且，则下列结论正确的是（    ）

A.    B.    C.    D.的最小值为

11.在棱长为1的正方体中，点、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ）

A.与所成角为

B.点到平面的距离为

C.直线与平面所成角的正弦值为

D.平面减正方体得到的截面图形是梯形

12.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（    ）

A.    B.    C.    D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.

13.“幸福感指数”是某个人对自己目前生活状态满意程度的主观指标数值，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民进行调查，他们的“幸福感指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是______.

14.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为_____.

15.设向量，.若，，则______，向量在向量上的投影向量为______.

16.某小微企业生产一种如下图所示的电路子模块：要求三个不同位置1，2，3接入三个不同的电子元件，，，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，假设接入三个位置的元件能否正常工作相互，当且仅当3号位元件正常工作同时1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作，则该电路子模块能正常工作的概率最大值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

如图，在三棱锥中，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）已知，，则棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

18.（12分）

已知，，

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

19.（12分）

2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年.为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在内的概率.

20.（12分）

已知函数.

（1）根据函数单调性的定义，研究的单调性；

（2）若有唯一零点，求的值.

21.（12分）

如图，是底部不可到达的一个建筑物，为建筑物的最高点.某学习小组准备了两种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）与米尺（测量长度）.请你利用准备好的工具，设计一种测量建筑物高度的方案，包括：

①指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；

②用文字和公式写出计算的步骤.

22.（12分）

如图，已知正四棱锥与正四面体所有的棱长均为.

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）把正四面体与正四棱锥全等的两个面重合，排成一个新的几何体，问该几何体由多少个面组成？并说明理由.

福州市2020-2021年第二学期质量检查

数学参及评分细则

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.B    2.A    3.A    4.D    5.B

6.B    7.C    8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.BCD    10.BD    11.CD    12.AB

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.8    14.    15.13；或    16.0.846

12.【解答】因为，所以，故A正确；

由余弦定理得，，所以，

由正弦定理得，，所以，即，

所以，所以或，

因为，若，可得，所以，

又，所以，此时，，满足，故B正确；

当，时，，故C错误；

由B选项可知，故，即，故D错误。

15.【解答】因为，，所以，向量在向量上的投影向量为。

16.【解答】将，，型电子元件分别接入3号位，1号位，2号位，或者将，，型电子元件分别接入3号位，2号位，1号位时，该电路子模块能正常工作的概率最大，记事件“元件正常工作”，事件“元件正常工作”，记事件“元件正常工作”，记事件“电路子模块能正常工作”，则.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查空间想象能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.

【解答】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面……2分

因为平面，所以，

又，而，平面，

平面，所以平面.………………4分

又因为平面，所以.………………5分

（2）存在点，满足时，使得平面平面.………………6分

理由如下：在平面内，因为，，即，

所以.…………7分

又因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面.…………9分

又，平面，又平面，

故平面平面.

故存在点，满足时，使得平面平面.………10分

18.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数算等核心素养；体现基础性.

【解答】解法一：（1）由，

联立可得，…………1分

解得或，……3分

又，，故不合题意，舍去.…………4分

，………………5分

于是，………………6分

（2）由，，可得，…………7分

所以.…………9分

又因为，，

所以，

所以，…………10分

所以.………………12分

解法二：（1）由，

可知，

所以…………2分

即…………3分

解得或。…………4分

又，则，

当时，，，符合题意.

当，，，不合题意，舍去.………………5分

综上所述，…………6分

（2）同解法一.……………12分

19.【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、应用性.

【解答】解法一：（1）由频率分布直方图可得，

，解得.…2分

样本数据的平均数为：

.…………5分

（2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1，

所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在内的有5人，成绩在的有2人.……7分

从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件“2人中至少有1人成绩在内”，

事件“2人中恰有1人成绩在内”，

事件“2人成绩都在内”，则.

因为与互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.

将成绩在内的5个人分别记为，，，，，将成绩在内2个人分别记为，，

设从这7人中第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.

可知样本空间，

，

，

因为样本空间包含的样本点个数为，…8分

且每个样本点都是等可能的，又因为，，……10分

由古典概型公式可得………………12分

解法二：（1）同解法一.………………5分

（2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1，所以采用分成抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在内的有5人，成绩在的有2人……7分

从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件“2人中至少有1人成绩在内”，

事件“2人中恰有1人成绩在内”，

事件“2人成绩都在内”，则.

因为与互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.

将成绩在内的5个人分别记为1，2，3，4，5，将成绩在内2个人分别记为6，7，设从这7人中抽取的2个人记为，，不妨设，则可用数组表示样本点.可知样本空间

，，

因为样本空间包含的样本点个数为，…………8分

且每个样本点都是等可能的，又因为，，………10分

由古典概型公式可得………………12分

20.【命题意图】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数算等核心素养；体现基础性、综合性.

【解答】解法一：（1）的定义域为，对任意的，有，

所以函数为偶函数………1分

考虑在上的单调性：

，且，

有…………2分

…………4分

由，得，，，于是，

即，所以在上单调递增.…………5分

又因为是偶函数，所以在上单调递减.

综上所述，在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………6分

（2）因为

将的图像向左平移1个单位得到，…7分

对任意的，有，故是偶函数.…………9分

要使有唯一零点，即有唯一零点，而的图像关于轴对称，

故，求得.………………11分

由（1）可知，当时，在区间上单调递增，在上单调递减，又，故可知有唯一零点0，符合题意，故………12分

解法二：（1）同解法一………6分

（2）因为

，

所以，即为的对称轴.………9分

要使函数有唯一零点，所以的零点只能为，………10分

即，解得…11分

由（1）可知，当时，在区间上单调递增，在上单调递减，

又，故可知有唯一零点1，符合题意，故……12分

21.【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、创新性、应用性.

【解答】解法一：①作图如下

…………3分

选择一条水平基线（如图），使得，，三点在同一条直线上…4分

在，两点用测角仪测得的仰角分别为，.…………5分

用米尺测得，即，测得测角仪的高度是.（若没有做出，扣掉1分）

………6分

②在中，由正弦定理，可得，即，…………8分

在中，有，…………10分

所以建筑物的高度（若漏掉，扣一分）.………………12分

解法二：①同解法一.…………6分

②在，中分别有，，…………8分

所以，

所以.…………10分

所以建筑物的高度（若漏掉，扣一分）.………………12分

22.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平面与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数算等核心素养；体现基础性和综合性.

【解答】解法一：（1）连接交于，连接，…………1分

因为，分别为，的中点，所以……………2分

又因为平面，平面，所以平面.…………4分

（2）因为，所以，，

故为二面角的平面角.…………6分

因为，，

所以由余弦定理可得，…………7分

取的中点，连接，，

因为，所以，，

故为二面角的平面角.…………9分

因为，

由余弦定理可得，.…………10分

故，即二面角的平面角与二面角的平面角互补..........11分

故当与，与，与重合时，正四面体的侧面与正四棱锥的侧面为同一平面，

由对称性同理可得，正四面体的侧面与正四棱锥的侧面为同一平面，故拼成的新的几何体由5个面组成.……12分

解法二：（1）同解法一.…………4分

（2）如图所示，

由于平面，平面，故设平面平面，在直线上取一点，使其在点的右侧，并满足，连接与，下证是棱长为的正四面体：

因为，平面，平面，所以平面.……………6分

又因为平面平面，平面，所以，

所以……………8分

又，故为边长为的正三角形，所以.………10分

同理可得，所以是棱长为的正四面体，

所以正四面体的侧面与正四棱锥的侧面为同一平面，正四面体的侧面与正四棱锥的侧面为同一平面，故拼成的新的几何体由5个面组成.…………12分