反比例函数动点综合题

1．如图1，已知双曲线y＝（＞0）与直线y＝k′ x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A的坐标为（4，2）则点B的坐标为_____________；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为_____________；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y＝（＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：

将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．

若它与反比例函数y＝的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（－m，0）、C（m，0）（m是常数，且m＞0）．

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是_____________；

（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p、α和m的值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不用证明）

（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点坐标；若不能，说明理由．

3．如图，是反比例函数y＝－和y＝－在第二象限中的图像，点A在y＝－的图像上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交y＝－的图像于点C，AB、CD均平行于x轴，分别交y＝－、y＝－的图像于点B、D．

（1）用m表示A、B、C、D的坐标；

（2）求证：梯形ABCD的面积是定值；

4、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

（1）求k的值；

（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．

跟踪训练

1．如图，已知直线y＝－2x＋b与双曲线y＝（k＞0且k≠2）相交于第一象限内的两点P（1，k）、Q（，y2）．

（1）求点Q的坐标（用含k的代数式表示）；

（2）过P、Q分别作坐标轴的垂线，垂足为A、C，两垂线相交于点B．是否存在这样的k值，使得△OPQ的面积等于△BPQ面积的二倍？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．（P、Q两点请自己在图中标明）

2．在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB．

（1）求m的值；

（2）求证：DC∥AB；

（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式