角平分线的性质(复习)

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，

专题一：三角形角平分线性质的直接应用

1.如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

2. △ABC的∠B外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线距离相等.

归纳：1.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等.

2.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等.

3.三角形外角平分线的交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.

专题二：角平分线的性质定理与判定定理的综合运用

1.如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

(1)求证AM平分∠DAB；(2)求证DM⊥AM.              

变式1：如图，在四边形中，的平分线交于．求证：当是的平分线时，有．

变式2：如图，，平分，平分，点在上．

1探讨线段、和之间的等量关系．

2探讨线段与之间的位置关系．

2.针对训练

如图，已知∠B＝∠E＝90°，CE=CB，AB∥CD，求证：AD＝CD.

专题三：角平分线的性质与三角形全等的综合运用

1. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：(1)AE=AF;(2)DA平分∠EDF.

2.针对训练

如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∠1＝∠2，下列结论不正确的是（     ）

A.PD=PE                B.OD=OE

C. ∠DPO=∠EPO          D.OD＝OP             

专题四：三角形角平分线性质在求三角形周长中的运用

如图，△ABC中，∠C＝90°,AC=BC, AD平分∠CAB，并交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6cm，求△DEB的周长.

专题五：探究新题型

在学习完角的平分线后，老师在黑板上出了这样一道题目：在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证∠A+∠C=180°.