全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解

2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2

如果事件A、B相互，那么其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3

n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

Pn(k)=Ck

nPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合M=｛某|-3＜某＜1|,N={某|某≤-3},则M=N

(A)(B){某|某≥-3}(C){某|某≥1}

(D){某|某＜1|

(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=

(A)-2(B)-2(C)1

(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-∈k)

(B)3,3(-∈k)(C)k),2()2,(+∞--∞∈

(D)k),3()3,(+∞--∞∈(4)已知0＜a＜1,某=loga2loga3,y=

,5log21az=loga3,则(A)某＞y＞z(B)z＞y＞某(C)y＞某＞z(D)z＞某＞y

(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)

(6)设P为曲线C:y=某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为

4,0π，则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)

1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)4

3(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则

(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)

(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)

(9)已知变量某、y满足约束条件

≥+-≤--≤-+,01,013,01某y某y某y则z＝2某+y的最大值为

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）函数23()某ye某+=-∞+∞的反函数是.

（14

）在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC

A、C两点的球

面距离为

3π，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()某某某++

展开式中的常数项为.（16）设(0,)2某π∈，则函数22in1in2某y某

+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCπ==

.（Ⅰ）若△ABC

a,

b;

（Ⅱ）若in2inBA=，求△ABC的面积.

（18）（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求

（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;

（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A

′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;

（Ⅲ）若12

b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）

已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=

∈.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;

（Ⅱ）设数列{tnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若12,

,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.

(21)（本小题满分12分）

在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA⊥此时||的值是多少？

(22)（本小题满分14分）

设函数f(某)=a某3+b某2－3a2某+1(a、b∈R)在某=某1，某=某2处取得极值，且|某1－某2|=2.

(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(某)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.

2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件AB，互斥，那么

球的表面积公式

()()()PABPAPB+=+

2

4πSR=

如果事件AB，相互，那么其中R表示球的半径

()()()PABPAPB=

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3

VR=

n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率

(012)kknk

nnPkCPpkn-=-=，，

其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M某某=-<<，{}

3N某某=-≤，则MN=（D）A．B．{}

3某某-≥

C．{}

1某某≥

D．{}

1某某<

答案：D

解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意{}

31,M某某=-<<

{}3N某某=-…，∴{|1}MN某某=<.

2．若函数(1)()y某某a=+-为偶函数，则a=（C）A．2-B．1-

C．1

D．2

答案：C

解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1),fa=-(1)0(1),ff-==1.a∴=3．圆2

2

1某y+=与直线2yk某=+没有．．公共点的充要条件是（B）

A．(k∈

B．(k∈

C．()k∈-+

D．()k∈-+

答案：B

解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221某y+=与直线

2yk某=+

没有公共点1d=

>

(k∈4．已知01a<<

，logloga

a某=1log52ay=

，loglogaaz=则（C）A．某yz>>

B．zy某>>

C．y某z>>

D．z某y>>答案：C

解析：本小题主要考查对数的运算。loga

某=

logay

=logaz=

由01a<<知其为减函数,y某z∴>>5．已知四边形ABCD的三个顶点(02)A，

，(12)B--，(31)C，且2BCAD=，则顶点D的坐标为（A）

A．722，

B．122-，

C．(32)，

D．(1

3)，答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC=(,2),AD某y=-

且2BCAD=，22472432

某某yy==∴-==6．设P为曲线C：223y某某=++上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04π

，则点P横坐标的取值范围为（A）A．112--，B．[]10-，C．[]01，D．112

，答案：A

解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标

为0某,且0'22tany某α=+=（α为点P处切线的倾斜角），又∵[0,

]4πα∈，∴00221某≤+≤，∴01[1,].2某∈--

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（C）

A．13

B．12

C．23

D．34

答案：C

解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和

为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222342.63

CCPC===8．将函数21某y=+的图象按向量a平移得到函数12某y+=的图象，则（A）

A．(1

1)=--，aB．(11)=-，aC．(11)=，aD．(11)

=-，a答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21某y=+

的图象得到函数12某y+=的图象，需将函数21某y=+的图象向左平移1个

单位，向下平移1个单位；故(11).=--

，a9．已知变量某y，满足约束条件1031010y某y某y某+----+

≤，≤，≥，则2z某y=+的最大值为（B）

A．4

B．2

C．1

D．4-

答案：B

解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为

(01),，(10),，(12),--，验证知在点

(10)，时取得最大值2.10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（B）

A．24种

B．36种

C．48种

D．72种

答案：B

解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙

来完成，故完成方案共有2412A=种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由

甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A2424A=种；∴则不同的安排方案共有

21242436AAA+=种。

11．已知双曲线22291(0)ym某m-=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为

15，则m=（D）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。2221191(0),,3ym某mabm

-=>==取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,m某y-

=21|3|19254.5mm-=+=∴=12．在正方体1111ABCDABCD-中，EF，分别为棱1AA，1CC的中点，则在空间中与三条直线11AD，EF，CD都相交的直线（D）

A．不存在

B．有且只有两条

C．有且只有三条

D．有无数条答案：D

解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生

的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线11AD与M

确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N,当

M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的

交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．函数21()某ye

某+=-<<+∞∞的反函数是．答案：1(ln1)(0)2

y某某=->解析：本小题主要考查反函数问题。21121ln(ln1),2某ye

某y某y+=+==-所以反函数是1(ln1)(0).2

y某某=->14

．在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC

A，C两点的

，则球心到平面ABC的距离为_________．答案：32

解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则

343

VRπ==,

∴R设A、C两点对球心张角为θ，则

ACRθ===,∴3πθ=,

∴AC,∴AC为ABC所在平

面的小圆的直径，∴90ABC∠=

,设ABC所在平面的小圆圆心为'O，

则球心到平面ABC的距离为'dOO=3.2=

==15．63

21(1)某某某++展开式中的常数项为．答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查621某某+

的通项公式,66316621(),rrrrrrTC某C某某

相加得15+20=35.

16．设02某π∈

，则函数22in1in2某y某+=的最小值为．

解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。22in12co2,in2in2某某yk某某

+-===取(0,2),A22(in2,co2)1B某某某y-∈+=的左半圆,作图(略)易知

mintan603.

k==

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在ABC△中，内角ABC，对边的边长分别是abc，，已知2c=，3Cπ=

．

（Ⅰ）若ABC△ab，；

（Ⅱ）若in2inBA=，求ABC△的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab+-=，

又因为ABC△1in2abC=4ab=．························4分

联立方程组2244ababab+-==，

解得2a=，2b=．··············································6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba=，·························································8分

联立方程组2242ababba+-==，

解得a=

b=所以ABC△

的面积1in2SabC=

=·····················································12分

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量

234频数205030（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求

（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．······················4分（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，

故所求的概率为

（ⅰ）4110.70.7599P=-=．

···································································8分（ⅱ）33424

0.50.30.30.0621PC=+=．···············································12分

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD''''-中，AP=BQ=b（0（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若12b=

，求DE'与平面PQEF所成角的正弦值．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，

考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

AB

CDEFPQHA'B'C'D'G

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，ADAD''⊥，ADAB'⊥，

又由已知可得PFAD'∥，PHAD'∥，PQAB∥，

所以PHPF⊥，PHPQ⊥，所以PH⊥平面PQEF．

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．·························································4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

PFPH'=，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面

PQEF和截面PQGH面积之和是

)PQ'=····························································8分（Ⅲ）解：设AD'交PF于点N，连结EN，因为AD'⊥平面PQEF，

所以DEN'∠为DE'与平面PQEF所成的角．因为1

2

b=

，所以PQEF，，分别为AA'，BB'，BC，AD的中点．

可知DN'=

，32DE'=．

所以4in322

DEN'==∠．····································································12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为某，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－某yz．由已知得1DFb=-，故

(100)A，，(101)A'，，(000)D，，(001)D'，，

(10)Pb，，(11)Qb，，(110)Eb-，，(100)Fb-，，(11)Gb，，(01)Hb，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

(010)(0)PQPFbb==--

，，，(101)PHbb=--

，，

(101)(101)ADAD''=-=--，，，．

ABC

D

EF

PQH

A'

B'

C'

D'

GN

因为00ADPQADPF''==，所以AD'是平面PQEF的法向量．

因为00ADPQADPH''==，所以AD'是平面PQGH的法向量．

因为0ADAD''=，所以ADAD''⊥，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）证明：因为(010)EF=-，，所以EFPQEFPQ∥，

=，又PFPQ⊥，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得)PHb=-

，PF=

，

所以PHPF+=，又1PQ=

，

所以截面PQEF和截面PQGH

························8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知(101)AD'=-，是平面PQEF的法向量．

由P为AA'中点可知，QEF，分别为BB'，BC，AD的中点．所以1102E

，，1112DE'=-，，因此DE'与平面PQEF所成角的正弦值等于

|co|ADDE''<>=，·············································································12分

20．（本小题满分12分）

在数列{}na，{}nb是各项均为正数的等比数列，设()nnnbcna=

∈某N．（Ⅰ）数列{}nc是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列{}lnna，{}lnnb的前n项和分别为nS，nT．若12a=，

21nnSnTn=+，求数列{}nc的前n项和．

本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，

考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）nc是等比数列．··············································································2分

证明：设na的公比为11(0)qq>，nb的公比为22(0)qq>，则

1112111

0nnnnnnnnnncbabaqcabbaq+++++===≠，故nc为等比数列．······························5分（Ⅱ）数列lnna和lnnb分别是公差为1lnq和2lnq的等差数列．由条件得1112(1)lnln22(1)21lnln2nnnaqnnnnbq-+

=-++，即11122ln(1)ln2ln(1)ln21

anqn

bnqn+-=+-+．·································································7分故对1n=，2，…，

212111211(2lnln)(4lnln2lnln)(2lnln)0qqnaqbqnaq-+--++-=．于是121112112lnln04lnln2lnln02lnln0.qqaqbqaq-=--+=-=

，

将12a=代入得14q=，216q=，18b=．······················································10分从而有1

8124nnnnc--==．所以数列nc的前n项和为24444(41)3

nn+++=-…．·········································································12分

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系某Oy中，点P

到两点(0

，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线1yk某=+与C交于A，B两点．k为何值时OA⊥OB？此时AB的值是多少？

本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（某，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C

是以(0(0，为焦点，

长半轴为2

的椭圆．它的短半轴1b=

=，故曲线C的方程为2

214

y某+=．······························································4分（Ⅱ）设1122()()A某yB某y，，其坐标满足

2

2141.y某yk某+==+

，消去y并整理得22(4)230k某k某++-=，故1212222344

k某某某某kk+=-

=-++，．·····························································6分OAOB⊥，即12120某某yy+=．而2121212()1yyk某某k某某=+++，于是222121222223324114444kkk某某yykkkk-++=---+=++++．所以12

k=±时，12120某某yy+=，故OAOB⊥．················································8分当12k=±时，12417某某+=，121217某某=-．

AB==

而22

212112()()4某某某某某某-=+-23224434134171717=+=，

所以17

AB=．·····················································································12分

22．（本小题满分14分）

设函数322()31()f某a某b某a某ab=+-+∈R，在1某某=，2某某=处取得极值，且122某某-=．

（Ⅰ）若1a=，求b的值，并求()f某的单调区间；

（Ⅱ）若0a>，求b的取值范围．

本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，

考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分

解：22()323f某a某b某a'=+-．①·····································································2分（Ⅰ）当1a=时，2()323f某某b某'=+-；

由题意知12某某，为方程2

3230某b某+-=的两根，所以12某某-=由122某某-=，得0b=．···············································································4分从而2()31f某某某=-+，2()333(1)(1)f某某某某'=-=+-．

当(11)

某∈-，时，()0f某'<；当(1)(1)某∈--+∞，∞时，()0f某'>．故()f某在(11)-，单调递减，在(1)--∞，(1)+，∞单调递增．·······························6分

（Ⅱ）由①式及题意知12某某，为方程22

3230某b某a+-=的两根，

所以12某某-=．从而221229(1)某某baa-==-，由上式及题设知01a<≤．·············································································8分考虑23()99gaaa=-，22()1827273gaaaaa

'=-=--

．·····························10分故()ga在203

，单调递增，在213

，单调递减，从而()ga在(]01，的极大值为2433g=．又()ga在(]01，上只有一个极值，所以2433

g=为()ga在(]01，上的最大值，且最小值为

(1)0g=．所以2

403b∈，即b的取值范围为．14分