成都七中2012年自主招生数学试题

考试时间：110分钟     满分：120分   姓名：           得分：        .

1、选择题（共10小题，每小题6分，共60分）

1、设是方程的两根，则（   ）

A.             B.           C.            D. 

2、一次函数的图象与反比例函数的图象交点个数为（   ）

A.0               B.1            C.2             D.1或2

3、某三角形面积为，周长为，其内切圆半径为（   ）

A.0.5cm           B.1cm          C.1.5cm         D.2cm

4、计算（   ）

A.2011            B.2012         C.2013          D.2014

5、平面上有无数条彼此相距3cm的平行线，将半径为1cm的硬币掷在平面上，硬币与平行线相交的概率为（   ）

A.              B.           C.            D. 

6、某三棱锥的主视图和左视图如右，则其俯视图不可能是（   ）

A.            B.             C.               D.

7、从五个数中选出两个数，则表示不同函数的种数为（   ）

A.15             B.14           C.13             D.12

8、设为正整数，记，，则（   ）

A.         B.        C.          D. 

9、如图，O为矩形ABCD的中心，过O且互相垂直的两条直线被矩形四边怕截，设截得的线段EF和GH长度分别为，四边形EGFH的面积为S，当这两条直线保持垂直且围绕O点不停旋转时，下列说法正确的是（   ）

①某一阶段，随的增大面增大，是的正比例函数

②某一阶段，随的增大面减小，是的反比例函数

③仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大

④仅当四边形EGFH的两条对角线长度相等时，S最小

A.①②          B.①③          C.①②③        D.①③④

10、2012年6月6日发生了天文奇观“金星凌日”，当地球.金星.太阳在一条直线上，从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳表面缓慢移动（金星的视直径约为太阳的3%），如图，圆O为太阳，小圆为金星，弦AB所在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置I称为入凌外切，位置II称为入凌内切，设金星视直径为，，那么金星从位置II的视位移可以估计为（   ）

A.         B.       C.        D. 

2、填空题（共8小题，每小题6分，共48分）

11、方程的解为        .

12、关于的不等式与同解，则的取值为        .

13、如图，在长方体中，AB=5，AD=3，，经长方体表面从A到的最短距离为        .        

14、若，有，，则的最大值为        .  

15、梯形ABCD中，AD∥BC，，M，N分别在线段AB和CD上，有MN∥AD，且MN将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则MN=        .

第（17）题图

16、方程组的解为        .

17、如图，点P（2，3）在圆O上，点E、F为轴上的两点，是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE、PF交圆于D、C两点，直线CD交轴于点A，则的值为        .

18、某百货商场为回馈客户推出“满200赠100”的优惠活动，措施如下：凡现金消费每满200元可获赠100元的消费券，例如：现金消费390元可获赠100元消费券，现金消费400元可获赠200元消费券，而用消费券购买商品则不再获赠消费券。现一客户购买两件商品，欲用购买第一件商品所得消费券抵现金购买第二件商品（不足部分再用现金补足），已知两件商品的总价格为1095元，为使客户在本次购买中所付现金最少，营业员可以重新设定两件商品各自的价格，设第一件商品的价格为元，则的取值范围为        .                  

3、解答题（共2小题，共42分）

19、如图，直线平行于轴，与轴交点为，A为抛物线上一动点，以A为圆心的圆A始终与直线相切。

（1）若点A的横坐标为，圆A与轴交于D、E两点，求的外接圆的半径？

（2）证明：轴上仅存在一定点F恒在动圆A上，并确定F的坐标。

（3）在（2）问的基础上，直线AF与抛物线交于另外一点B，求证为定值，并求出该值。

20、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，现定义点与点的运算，规则如下：

设，若，则有

（1）若，，且，求A点的坐标？

（2）一般地，若，判断OA、OB与OC的大小关系，并证明。

（3）按以下方式构建点列为正整数）： 

①若为大于1的整数，，其中为整数且大于3，试确定及对应的的值？

②若，求