指数函数主要题型与解题思路

一、比较大小

【例1】化简下列各式： （1）4

1)

0081.0(－－［3×（8

7）0］－1·［81－

0.25＋31)833(－］21－－10×31

027.0；

（2）

3

233

23

1

3

4248a

ab b b a a ＋＋－÷（1－23

a

b

）×3ab ． 思路分析：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a

3

2，

2

－b

a 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：

①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）；②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2； ③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．

答案：（1）原式＝0.3－1

－3－1

·（3－1

＋32）21

－－10×0.3＝310－3

1－3＝0；

（2）原式＝

2

313

13

12

31

3

1)

(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×

3

13

13

12b

a a

－×3

131b a ＝)

8()

8(3

1b a b a a －－×31a ×3

1

31b a ＝a 3b ．

【例2】设y l ＝a 3x －

1，y 2＝4

2－＋x x a

（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）

y 1＞y 2．

思路分析：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a

3x －1

＝4

2

－＋x x a ，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1． （2）当a ＞1时，a 3x －

1＞4

2－＋x x a ，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；

当0＜a ＜1时，4

2－＋x x a

＜a 3x －

1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．

【例3】比较下列各数的大小：

①5

2

)2(－；②21)23(－；③52

)23(－

－；④3)3

1(－；⑤54

)32(－．

思路分析：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，

①5

2

)2(－＝5

22；②21)2

3(－＝21)23(；③52

)23(－

－＝52

)32(；

④3)31(－＝－27

1

；⑤54)32(－＝54

)32(

显然，以0、1为界将五个数分成三类：①5

2)2(－＞1，④3

)3

1(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x

)3

2(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．

答案：5

2

)2(－＞52

)23(－－＞21)23(－＞54

)32(－＞3

)3

1(－．

点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路分析： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．

（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”．

（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7

为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．

二、指数函数的单调性

【例4】对于函数y ＝1

22)

3

1(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；

（2）确定函数的单调区间． 解析：函数y ＝1

22)3

1

(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u

)3

1(“复合”而

成．

（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u

)3

1(总有意义，∴定义域为R ；

又由u ≥－2，∴0＜u )3

1(≤9，∴原函数的值域为（0，9］．

（2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，

∴1)31(u ＞2

)3

1(u ，即y 1＞y 2．

∴函数y ＝1

22)3

1(－－x x 在［1，＋∞］上递减．

同理可得函数y ＝1

22)3

1(－－x x 在（－∞，1）上递增．

点评：形如y ＝)

(x f a

（a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：

（1）定义域与函数定义域相同；

（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝u

a （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)

(x f a

（a ＞0，a ≠1）的值域；

（3）函数y ＝)

(x f a

（a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝u

a （a ＞0，

a ≠1）按照“同增异减”的原则来确定．

从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用． 三、指数函数的定义域与值域

【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝1

12

－x ；（2）y ＝1

25

－x ；

（3）y ＝2

2)

2

1(x x －；（4）y ＝x

9＋2×x

3－1．

解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定

义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法．

（1）要使函数有意义，则x －1≠0， ∴x ≠1．∴函数定义域为{x |x ≠1}；

∵x ≠1，1

1

－x ≠0， ∴1

12

－x ≠1，∴函数值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．

（2）∵2x －1≥0，∴函数定义域为{x |x ≥2

1}； ∵2x －1≥0，∴12－x ≥0，∴y ＝1

25－x ≥1．∴函数值域为{y |y ≥1}．

（3）函数定义域为R ； ∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1， ∴y ＝2

2)

2

1(x x －≥

21．∴函数值域为{y |y ≥2

1}． （4）函数定义域为R ；

令t ＝x

3，则t ＞0，y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2，其对称轴为t ＝－1．

∵t ＞0，函数y ＝（t ＋1）2－2单调递增，

∴y ＝（t ＋1）2－2＞1－2＝－1． ∴函数值域为{y |y ＞－1}．

点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x R 得t ＞0（即得到内函数的值域B ），然后由t ＞0得到函数值域为{y |y ＞－1}．若（4）中的x ≥1，你还能求出它的值

域吗？

四、指数函数的奇偶性

【例6】若函数y ＝1

212·－－－x x a

a 为奇函数，

（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．

解析：先将函数1212·－－－x x a a 化简为y ＝1

21－－x

a ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即

121－－－x

a ＋1

21－－x a ＝0，∴2a ＋x

x 2121－－＝0，∴a ＝－21

． （2）∵y ＝－

21－121－x ，∴x

2－1≠0． ∴函数y ＝－21－1

21

－x 定义域为{x |x ≠0}．

（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x 2－1＞－1． ∵x 2－1≠0，∴0＞x 2－1＞－1或x 2－1＞0．

∴－

21－121－x ＞21，－21－121

－x ＜－2

1， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2

1

}．

法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－2

1，可得x 2＝

2

121

＋

－

y y ． ∵x 2＞0，∴

2121＋

－

y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2

1

}．

（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1

21

1

－x ＝

)

12)(12(221

22

1－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x

＜22x

．

∴12x

－22x

＜0，12x

－1＜0，22x

－1＜0．

∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－

21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－1

21

－x 在（－∞，0）上递减．

点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，∵x 2为增函数，∴x 2－1为增函数，121－x 递减，一1

21

－x 为增函数，∴y ＝－

21－1

21

－x 在（0，＋∞）上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y

＝

)

(1

x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）． 【例7】已知函数y ＝x （

131－x

＋2

1

）． （1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0． 解析：（1）定义域为{x |x ≠0}．

（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋1

31－－x ＋1）＝x （1331－－x x ＋1）＝0，

∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x

3＞1，∴x

3－1＞0．∴131－x ＋21＞2

1． ∴x （

131－x

＋2

1）＞21

x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0； 当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x

3－1＞－1．∴131－x ＋2

1＜－1．

∴x （131－x ＋2

1

）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．

综上，f （x ）在定义域上恒大于0．

点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用

分类讨论来逐步求解．

五、指数函数的最值

【例8】如果函数y ＝122－

＋x

x a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．

解析：设t ＝x

a ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1．

（1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a

1

≤t ≤a ． ∵t ＝x

a 在［－1，1］上递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［

a

1

，a ］时也递增， ∴原函数在［－1，1］上递增．

故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．

由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）．

（2）若1＞a ＞0，可得当x ＝－1时，y max ＝a －

2＋2a －

1－1＝14，解得a ＝

31或a ＝－5

1

（舍）．综上，a ＝

3

1

或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．

六、指数函数的实际应用

【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是

T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝2

1

（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使

上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a

＝h t

)2

1

(（T 0－T a ）．

现有一杯 195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在 75F 的房间中，如果咖啡降温到

105F 需20分钟，问欲降到

95F 需多少时间？

解析：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即

T ＝h t

)2

1

(（T 0－T a ）＋T a ，

将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t

)21(＝75＋120×h t

)21

(．

再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h 20)21

(，解得h ＝10．

∴T ＝75＋120×10)2

1

(t

，

欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．

点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．