试卷类别：闭卷考试时间：120分钟
考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 总分 |
| 得分 | ||||||||
| 阅卷人 | ||||||||
| 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设经过初等行变换变为，则（）.(下面的分别表示矩阵的秩)。 ；； ；无法判定与之间的关系。 2．设为阶方阵且，则（）。 中有一行元素全为零；有两行（列）元素对应成比例； 中必有一行为其余行的线性组合；的任一行为其余行的线性组合。 3.设是阶矩阵(),,则下列结论一定正确的是:() 4．下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是（） 存在一组不全为零的数使得； 不存在一组不全为零的数使得 的秩等于； 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（）。 1；；；. 6．四阶行列式的值等于（）。 ；； ；. 7．设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（）。 ；；； 8．设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（ ） ； ； ； 9．设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 与的秩相同；与的特征值相同； 与的特征矩阵相同；与的行列式相同； 10．设为阶矩阵,则以为特征值是的（）。 充分非必要条件；必要非充分条件； 既非充分又非必要条件；充分必要条件； 二．填空题（每小题3分，共18分） 1．计算行列式。 2._______________________。 3．二次型对应的对称矩阵为。 4．已知，，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的坐标为。 5．已知矩阵的特征值为则___________。 6．设均为3维列向量，记矩阵， 。如果，则。 三．(8分),求。 四．（10分）设向量组，，，，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 五．（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。 六．（14分）设，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵，使得为对角矩阵。 七．（8分）对任意的矩阵,证明： (1)为对称矩阵,为反对称矩阵； (2)可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 | ||||||||
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | C | D | A | B | D | C | C | C | D |
1、256；2、；3、；
4、；5、4；6、2。
三．解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此.为了求,可利用下列初等行变换的方法：
―――――（6分）
所以.―――――（8分）
四．解：对向量组作如下的初等行变换可得：
――――（5分）
从而的一个极大线性无关组为，故秩＝2（8分）
且，，――――（10分）
五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：
(1)当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）
(2)当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）
(3)当此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
故原方程组与下列方程组同解:
令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;
它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素,令可得
为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.
此时原方程组的通解为――――（12分）
六．解：（1）由于的特征多项式
故的特征值为（二重特征值），。――――（3分）
当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为,不全为零的任意常数。――――（6分）
当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为,为非零的任意常数。
------(8分)
(2)将正交化可得：。
再将其单位化得：
将单位化得：。――――（12分）
则是的一组单位正交的特征向量，令
则是一个正交矩阵，且。――――（14分）
七．证明：(1)因为,因此为对称矩阵。
――――（2分）
同理,因为,因此为反对称矩阵。――――（4分）
(2)因为――――（6分）
而由(1)知为对称矩阵,为反对称矩阵,因此任何矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分）
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