北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）

A．AB=AD ．AC⊥BD ．AC=BD ．AD=CD

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）

A．2 ．3 ． ．2

3．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）

A． ． ． ．

4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（  ）

A． ．

C． ．

5．若代数式2x2-5x与代数式·x2-6的值相等，则x的值是（ ）

A．-1或6 ．1或-6 ．2或3 ．-2或-3

6．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ）

A． ． ． ．

7．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（  ）

A． ． ． ．

8．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）

A． ． ． ．

9．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年均增长率为多少？

设该公司这两年缴税的年均增长率为x,根据题意，下列所列的方程正确的是（）

A．40+x2=48.4 ．40(1+x2)=48.4

C．40(1-x)2=48.4 ．40(1+x)2=48.4

10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ）

A．30° ．60° ．90° ．120°

二、填空题

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为__．

12．如果x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，那么

＝__________．_______．

13．把方程化成一般形式是______________

14．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为________．

15．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．

16．关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程的另一个根是________，k=________

17．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____．

三、解答题

18．解方程

（1） （2）x2+（3）

19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．

20．一只不透明袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外都相同．小明搅匀后从中意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．

21．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．

22．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是     ；

（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．

23．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．

（1）求证：△DFC∽△CBE；

（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．

24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

25．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

参

1．C

【解析】

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断，

【详解】

A选项：根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形，本选项正确； 

B选项：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形，本选项正确；

C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项错误；

D选项：根据菱形的定义可得，当AD=CD时▱ABCD是菱形，本选项正确；

故选：C

【点睛】

本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.

2．D

【解析】

分析：首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．

详解：∵四边形ABCD菱形，

∴AC⊥BD，BD=2BO，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAO=60°，

∴BO=sin60°•AB=2×=，

∴BD=2．

故选D．

点睛：本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．

3．D

【详解】

试题解析：

故选D.

4．D

【详解】

试题解析：A、是二元二次方程，故A不符合题意；

B、是高次方程，故B不符合题意；

C、是分式方程，故C不符合题意； 

D、是一元二次方程，故D符合题意；

故选D．

5．C

【分析】

由题意可知，两个代数式的值相等，可根据两个代数式的值相等，列出一个一元二次方程，分析方程的特点，采用分组分解法进行因式分解，解一元二次方程．

【详解】

解：∵因为这两个代数式的值相等，

∴ 

 或 

∴ 

故选C.

【点睛】

本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，由题目所给条件得到一个一元二次方程，分析化简后的方程，用因式分解法解一元二次方程.

6．C

【详解】

试题分析：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：=．故选C．

考点：列表法与树状图法．

7．B

【详解】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．

解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，

所以恰好抽到1班和2班的概率=．

故选B．

8．D

【详解】

试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算概率．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=．

考点：概率的计算．

9．D

【分析】

增长率问题,一般设增长率为x, 设该公司的年增长率为x，则去年总收入是 万元，今年总收入是万元，而今年的总收入为48.4万元，依此即可列出方程求解．

【详解】

解：设该公司的年增长率为x，根据题意得，

故选：D

【点睛】

此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，是一种常见数学模型，可利用公式，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．

10．B

【详解】

试题分析：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．

故选B．

考点：矩形的性质．

11．30

【分析】

根据菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半解答即可．

【详解】

解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，

∴菱形ABCD的面积为=AC•BD=30．

故答案为：30．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，属于基础题目，熟记菱形的面积公式是关键．

12．6    5    

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系求解.

【详解】

解：∵的两个根,

∴

故答案是: (1) 6    (2) 5

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记,是一元二次方程的两根时,.

13．3x2-2x-3=0

【分析】

通过去括号，移项，把方程化成一般形式:.

【详解】

解：,

去括号: 

移项:,

故答案为:.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程化为一般形式，主要通过去括号，移项，可以化成一般形式．

14． 

【详解】

试题分析：列表：

因为共有36种等可能的结果，且朝上一面点数之和为7的有6种．

所以其点数之和为7的概率为：．故答案为．

考点：列表法求概率．

15．

【分析】

先求出的度数，即可求出.

【详解】

解：由题意可得，，

故答案为

【点睛】

本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.

16．-3    -5    

【分析】

先将该方程的已知根-2代入两根之积公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根；然后再求k．

【详解】

解：设方程的另一根为,

根据根与系数的关系可得:，

∵，

∴，

∵，，

∴由根与系数的关系可得：

,

,

,

.

故答案是：【答题空1】-3, 【答题空2】-5.

【点睛】

解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式.

17．（）n﹣1

【详解】

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=；

同理可求：AE=，HE=，…，

∴第n个正方形的边长an=．

故答案为．

18．（1）x1=2 ，x2=6 ；（2）x1=0，x2=－5；（3）x1=1， x2=－；

【分析】

根据因式分解法可以解答此方程，如第一小题首先把等号左边分解因式可得，进而可得一元一次方程，，再解即可.

【详解】

解：（1），

，

，

∴.

（2）,

,

∴.

（3）,

,

,

∴.

故本题答案是：（1），（2），（3）

【点睛】

本题考查解一元二次方程-因式分解法，解答本题的关键是会用因式分解法解方程.

19．证明见解析．

【详解】

试题分析：由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．

试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定．

20．.

【分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，

∴两次摸出的球都是红球的概率为：.

考点：列表法与树状图法．

21．见解析

【分析】

根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论.

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，AD=BC，

∵∠AOC=∠BOD，

∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，

∴∠AOD=∠BOC，

在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC，

∴AO=OB．

22．（1）（2）

【详解】

试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；

（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率.

试题解析：解：（1）． 

（2）用表格列出所有可能的结果： 

第二次

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．

∴P（两次都摸到红球）==．

考点：概率统计

23．（1）证明见解析；（2）DF．

【分析】

（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到∠DCE＝∠BEC，结合题目已知∠DFE＝∠A，及等角的补角相等，可得∠DFC＝∠B，进而证明△DFC∽△CBE；

（2）根据平行四边形的性质，及平行线定理，解得∠EDC＝90°，由勾股定理计算CE的长，最后根据相似三角形对应边成比例的性质解题即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC，CD//AB，

∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，

∵∠DFE＝∠A，

∴∠DFE+∠B＝180°，

而∠DFE+∠DFC＝180°，

∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，

∴△DFC∽△CBE；

（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD//AB，BC＝AD＝4，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥DC，

∴∠EDC＝90°，

在Rt△DEC中，CE3，

∵△DFC∽△CBE，

∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，

∴DF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

24．要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元；

【分析】

本题为一元二次方程的典型应用，设每斤水果降价x元，则每天多售出200x斤，根据每日利润=每斤利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据每天至少售出260斤，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可确定x的值，此题得解．

【详解】

设这种水果每斤的售价降价x元，

则(4－2－x)(100＋200x)＝300.      

解得x1＝1，x2＝.

当x＝1时，每天的销量为300斤；

当x＝时，每天的销量为200斤．

因为为保证每天至少售出260斤，所以x2＝不合题意，应舍去．

此时每斤的售价为4－1＝3(元)．

答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据每日利润=每斤利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程是解题的关键，特别关注销售量与降价幅度有关系.

25．（1）证明见试题解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由矩形的性质及已知条件可得到△AEF≌△DCE，即可证明AE=DC；

（2）由（1）得到AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．

试题解析：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠1=∠3，EF=EC，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；

（2）由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，，即，∴BE=2．

考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．