数列放缩的几条原则

有的数列无法通过常规途径求和，在证明这类数列的和式与不等式结合问题时困难较大。

比如下面这道：

为有利于求和，我们常常需要对数列的通项进行放大或者缩小，使得放缩之后的数列能够用常规方法进行求和。

首先，我们研究的数列放缩是在初等数学范围内；其实，我们主要研究高考中可能的放缩方法。所以，放缩法也是有一定规律的。

1、放缩的方向

放缩的方向包含两层意思：

①放缩成什么形式？②放大呢还是缩小呢？

第2个问题容易回答，看题目要求即可。

第1个问题这样回答：高中阶段，数列放缩主要有两个方向：①朝等比数列去放缩，即把数列放缩为等比数列。看这样一个例子：

从解答过程能够看出，本题需要放大，原数列无法求和，放大之后为等比数列，顺利实现求和。

②朝裂项相消去放缩，即把数列放缩为能够采用裂项相消法求和的形式。看这个例子：

数列无法求和，需要放缩，而且需要放大。

注意：为保证n-1有意义，n从2开始取值.

2、放缩的度把数列放大或者缩小，是为了有利于求和，有利于靠近所证的结论。

拿简单的问题打比方.假设你要证明2<3,我们可以把2放大到e(自然对数的底数，约为 2.718，是无限不循环小数)，然后再利用e<3完成证明。

但是，如果你直接把2放大到π（圆周率，约为3.1415926，是无限不循环小数），因为我们放的过大，度没有把握好。

回到最初的例题，体会放缩的“度”。

先分析通项，貌似能够朝裂项相消去放缩。

从上式结论看出，我们没有达到题目的要求，放的过大了。

为此，我们需要重新放大一次，这一次要往回收一些。

3、部分缩放法

控制“度”还有一个笨办法，就是保留前面几项，然后再对后面的项进行放缩。这个方法称为保留项放缩法或者部分放缩法。

比如还是这一道题，你采用的是第一种裂项相消的方法，我们把第1项保留，不参与放大，从第2项开始放大。

因为5/18 > 1/4，说明依然放的过大。我们保留前2项，从第3项开始放大。

因为113/450 > 1/4，说明放的依然过大.但是越来越靠近了。我们保留前3项，从第4项开始放缩。

经过仔细运算，37499/154350 < 1/4，终于成功了。

小结：

1.根据不等式符号决定放大还是放小；

2.常用的放缩方向：朝等比放缩和朝裂项相消法放缩；

3.放缩“度”的调节方法：不同形式放缩和保留项放缩。