线性代数习题集

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．二阶行列式≠0的充分必要条件是（　　　）

A．k≠-1        B．k≠3

C．k≠-1且k≠3        D．k≠-1或≠3

2．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（　　　）

A．a        B．a2

C．a3        D．a4

3．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（　　　）

A．|AB|=|BA|        B．|A+B|=|A|+|B|

C．（AB）-1=A-1B-1        D．（A+B）2=A2+2AB+B2

4．设A可逆，则下列说法错误的是（　　　）

A．存在B使AB=E        B．|A|≠0

C．A相似于对角阵        D．A的n个列向量线性无关

5．矩阵A=的逆矩阵的（　　　）

A．        B．

C．        D．

6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（　　　）

A．0        B．1

C．2        D．3

7．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（　　　）

A．α1+α2        B．α1-α2

C．β+α1+α2        D．β+

8．若A=相似，则x=（　　　）

A．-1        B．0

C．1        D．2

9．若A相似于，则|A-E|=（　　　）

A．-1        B．0

C．1        D．2

10．设有实二次型f(x1,x2,x3)=，则f（　　　）

A．正定        B．负定

C．不定        D．半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.

12．在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_________.

13．设A=，则A*=_________.

14．设三阶方阵A等价于，则R（A）=_________.

15．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.

16．矩阵[1  -1  1]的秩为_________.

17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是_________.

18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_________.

19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.

20．二次型f(x1,x2,x3)=-2 x1x2+x2x3的矩阵是_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21．求行列式

22．设A=

求（1）（A+2E）-1（A2-4E）

（2）（A+2E）-1（A-2E）

23．求向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。

24．设有非齐次线性方程组

问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.

25．设A=的特征值是λ1=λ2=2，λ3=4.

（1）求x;

（2）A是否相似于对角阵，为什么？

26．设二次型f(x1,x2,x3)=2（其中a>0）可通过正交变换化为标准型，求参数a及所用的正交变换.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.

28．设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵

全国2006年10月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是4阶矩阵，则|-A|=（　　　）

A．-4|A|    B．-|A|

C．|A|    D．4|A|

2．设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（　　　）

A．（2A）T=2AT    B．（3A）-1=3A-1

C．[（AT）T]-1=[（A-1）-1]T    D．（AT）-1=A

3．设2阶方阵A可逆，且A-1=，则A=（　　　）

A．    B．

C．    D．

4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（　　　）

A．α1，α2，α1+α2    B．α1，α2，α1-α2

C．α1-α2，α2-α3，α3-α1    D．α1+α2，α2+α3，α3+α1

5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（　　　）

A．（2，0，0）    B．（-3，2，4）

C．（1，1，0）    D．（0，-1，0）

6．设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（　　　）

A．0    B．1

C．2    D．3

7．设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（　　　）

A．无解    B．有唯一解

C．有无穷多解    D．解的情况不能确定

8．在R3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（　　　）

A．（-1，0，1）    B．（-1，0，1）

C．（1，0，-1）    D．（1，0，1）

9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（　　　）

A．    B．

C．    D．

10．二次型f(x1,x2,x3)=的秩等于（　　　）

A．0    B．1

C．2    D．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．行列式=__________.

12．设矩阵A=，则AAT=__________.

13．设矩阵A=，则行列式|A2|=__________.

14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.

15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.

16．矩阵的秩等于__________.

17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，又已知k1α1+k2α2也是Ax=b的解，则k1+k2=__________.

18.已知P-1AP=,其中P=，则矩阵A的属于特征值=-1的特征向量是__________.

19．设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为__________.

20．实对称矩阵A=所对应的二次型xTAx=__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21．计算行列式D=的值.

22．设矩阵A=，B=，求矩阵方程XA=B的解X.

23.设t1,t2,t3为互不相等的常数，讨论向量组α1=（1，t1,）, α2=（1，t2,）, α3=（1，t3,）的线性相关性. 

24.求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

25．设矩阵A=.

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；

（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使    P-1AP=D.

26．设

（1）确定α的取值范围，使f为正定二次型；

（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.

28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.

全国2006年7月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示方阵A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A、B均为n阶方阵，则必有（　　　）

A．|A|·|B|=|B|·|A|            B．|（A+B）|=|A|+|B|

C．（A+B）T=A+B            D．（AB）T=ATBT

2．设A=，则A-1=（　　　）

A．        B．

C．        D．

3．若4阶方阵A的行列式等于零，则必有（　　　）

A．A中至少有一行向量是其余向量的线性组合

B．A中每一行向量都是其余行向量的线性组合

C．A中必有一行为零行

D．A的列向量组线性无关

4．设A为m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b有唯一解，则必有（　　　）

A．m=n        B．R(A)=m

C．R(A)=n        D．R(A)5．若方程组存在基础解系，则λ等于（　　　）

A．2        B．3

C．4        D．5

6．设A为n阶方阵，则（　　　）

A．A的特征值一定都是实数

B．A必有n个线性无关的特征向量

C．A可能有n+1个线性无关的特征向量

D．A最多有n个互不相同的特征值

7．若可逆方阵A有一个特征值为2，则方阵（A2）-1必有一个特征值为（　　　）

A．-        B．

C．        D．4

8．下列矩阵中不是正交矩阵的是（　　　）

A．        B．

C．        D．

9．若方阵A与方阵B等价，则（　　　）

A．R（A）=R（B）

B．|（λE-A）|=|（λE-B）|

C．|A|=|B|

D．存在可逆矩阵P，使P-1AP=B

10．若矩阵A=正定，则t的取值范围是（　　　）

A．0C．t>2        D．t≥2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．A=（），B=E-ATA，C=E+2ATA（E为3阶单位矩阵），则BC=___________。

12．已知|A|=2，且A-1=，则A*=___________。

13．设A=，A*为A的伴随矩阵，则| A*|=___________。

14．已知A=，则（A+3E）-1（A2-9E）=___________。

15．向量组α1=（1，2，3，4），α2=（2，3，4，5），α3=（3，4，5，6），α4=（4，5，6，7），则向量组{α1，α2，α3，α4}的秩是___________。

16．方程组=的基础解系所含向量个数是___________。

17．若A=相似，则x+y=___________。

18．如果方阵A与对角阵D=，则A10=___________。

19．二次型f(x1,x2,x3)=的对称矩阵为___________。

20．二次型f(x1,x2)=2经正交变换化成的标准形是___________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21．计算行列式D=

22．用克莱姆规则解方程组

23．设向量组α1=（1，-1，2，4）；α2=（0，3，1，2）；α3=（3，0，7，14）；α4=（1，-1，2，0）；α5=（2，1，5，6）.问{α1，α2，α4}是否是其一个最大线性无关组？说明理由。

24．求齐次线性方程组的一个基础解系。

25．求矩阵A=的特征值与全部特征向量。

26．化二次型（用配方法）

f=为标准型，并求所用的变换矩阵。

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．若向量α1，α2，α3线性无关，问α1+α2，α2+α3，α3+α1的线性相关性，并证明之。

28．设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB

（1）证明A-E为可逆矩阵。

（2）若B=，求矩阵A。

全国2006年4月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．行列式的值为（　　　）

A．2    B．1

C．0    D．-1

2．设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（　　　）

A．ACB=E    B．CBA=E

C．BAC=E    D．BCA=E

3．设n阶方阵A中有n2-n个以上元素为零，则的值（　　　）

A．大于零    B．等于零

C．小于零    D．不能确定

4．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且=2，=-1，则=（　　　）

A．4    B．2

C．1    D．-4

5．线性方程组 有解的充分必要条件是α=（　　　）

A．-1    B．-

C．    D．1

6．设A为m×n矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件是（　　　）

A．m=n

B．Ax=0只有零解

C．向量b可由A的列向量组线性表出

D．A的列向量组线性无关，而增广矩阵的列向量组线性相关

7．设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（　　　）

A．0    B．1

C．2    D．3

8．设矩阵A=，则A为（　　　）

A．对称矩阵    B．反对称矩阵

C．正交矩阵    D．正定矩阵

9．下列二次型中为规范形的是（　　　）

A．-    B．-

C．-    D．

10．已知A是n阶实对称矩阵，A2=A，秩（A）=n，则xTAx是（　　　）

A．正定二次型    B．负定二次型

C．半正定二次型    D．不定二次型

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

    请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

11．行列式中（2，3）元素的代数余子式A23的值为______.

12．设A是4阶方阵，=-2，则=________.

13．设矩阵A=，则A-1=________.

14．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为________.

15．设向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可以由向量组β1，β2，…，βt线性表出，则s与t的大小关系为_______.

16．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A（3α1-5α2+2α3）=______.

17．设α，β是n元非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，秩（A）=n-1，那么方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解为_____.

18．已知方程组有非零解，则t=          .

19．设矩阵A=与B=相似，则y=_______.

20．设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21．计算行列式的值.

22．设A=，且矩阵X满足AX=A+2X，求X.

23．设A=，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.

24.求线性方程组 的通解，并用其基础解系表示.

25．求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由.

26．已知二次型f(x1,x2,x3)=的矩阵A的一个特征值为1，求α并写出该二次型的标准形.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.

28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

全国2006年1月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

   试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是3阶方阵，且|A|=2，则|-A|=（      ）

A．-6                                B．-2

C．2                                D．6

2．设A=，则A的伴随矩阵A*=（      ）

A．                        B．

C．                    D．

3．秩A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（      ）

A．r(A)≤n-1                            B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示

C．|A|=0                                D．A的n-1阶余子式全为零

4．设A为n阶方阵，AB=0，且B≠0，则（      ）

A．A的列向量组线性无关                B．A=0

C．A的列向量组线性相关                D．A的行向量组线性无关

5．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（      ）

A．                            B．

C．                        D． 

6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（      ）

A．r(A)=0                                B．r(A)=1

C．r(A)=2                                D．r(A)=3

7．设A与B等价，则（      ）

A．A与B合同                            B．A与B相似

C．|A|=|B|                                D．r(A)=r(B)

8．已知A相似于∧=，则|A|=（      ）

A．-2                                    B．-1

C．0                                    D．2

9．设是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是（      ）

A．                                    B．

C．                                    D．

10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为1，0，-1，则（      ）

A．|A|≠0                                B．|A|=0

C．A负定                                D．A正定

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分。

11．按自然数从小到大为标准次序，则排列54123的逆序数=__________。

12．=__________。

13．设A=，则A-1=__________。

14．设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，则y=__________。

15．设=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，0），=（1，2，-3），则秩（，，，）=__________。

16．若A是秩为1的三阶方阵，是Ax=b的解，且与无关，则Ax=b的通解可表示为x=__________。

17．已知A=与B=相似，则x=__________。

18．若向量α=（1，-2，1）与β=（2，3，t）正交，则t=__________。

19．已知三阶实对称矩阵A有三个特征值2,1,-2,B=A2+2E，则B的特征值是__________。

20．二次型f(x1，x2，x3，x4)=的对称矩阵是__________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分)

21．计算行列式的值。

22．设A=且AB=A+2B，求B。

23．设向量组：=（-1，-1，0，0）T， =（1，2，1，-1）T，=（0，1，1，-1）T 、  =（1，3，2，1）T、=（2，6，4，-1）T，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组。

24．讨论p取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解。

25．已知A=的一个特征向量是=(1，1，-1)T

（1）确定a,b以及的特征值。

（2）求r(A)。

26．用正交变换化二次型f(x1，x2，x3)=2为标准型，并写出所用的正交变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A可逆，并求其逆阵。

28．设是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明,也是Ax=0的基础解系。