NBA赛程的分析与评价

摘要

本文研究的是NBA赛程的公平性问题。基于编制公平NBA赛事复杂性，需要对所给的赛程进行定量的分析与评价，给出需要考虑的因素及评价赛程利弊的数量指标，并由此计算赛程对各队的利弊指标值，分析编排赛程时选取球队的方法、对该方法给予评价。

在问题一中，主要对2008~2009赛季赛程的合理性和公平性的分析与评价。我们首先对影响赛程的合理性和公平性的主要因素进行了阐述，得到了各队的客场比赛数、背靠背比赛数以及球队的影响力系数等一系列影响因素。同时将球迷对赛程表的评价作为评价赛程表合理性的一部分，并且通过定义赛季主客场满意度，比赛精彩系数等指标将赛程的合理性和公平性进行量化。最后利用各个模型计算出2008~2009赛季的各指标值：公平性系数为0.0531，精彩系数为0.4720，2008~2009赛季赛程的综合评定系数为0.1997。

在问题二中，我们运用问题1中所得的模型对各个球队的满意度进行求解，再用评价赛程利弊的数量指标来对火箭队进行评价，结果得出该赛程对火箭队是有利的。用同样的方法找出该赛程对“波士顿凯尔特人队”最有利，对“孟菲斯灰熊队”最不利。

在问题三中，我们首先对如何选取赛3场的球队的合理性的讨论，得出对选取赛3场的球队的各个影响因素，其次我们对各个影响因素进行了量化分析，得到各个因素的影响系数，然后对各个因素的影响系数加权，利用线性加权法建立出数学模型：，最后讨论对数学模型的应用、分析以及评价。

本题我们对影响赛程利弊的各个因素都进行了严密的数学讨论和分析，模型具有很高精确度和利用价值。

关键词：权重   背靠背  主客场   量化分析   线性加权法   MATLAB软件

一、问题重述

1.1 问题的背景

NBA比赛是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见http://sports.sina.com.cn/nba/ 。

1.2  比赛的规则

在NBA的常规赛中，每支球队与同部同区的每一支球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，共用同一个比赛场馆的球队的主场比赛不能在同一天进行，每支球队的主客场数相同且同部3个区的球队间保持均衡，每个赛季每一支球队的背靠背上限是24对，下限是15对。

1.3 要解决的问题

这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价。

1） 要求我们分析赛程对某个球队利弊有哪些影响因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2） 根据问题一的结果，计算并分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3） 试根据赛程找出与同部不同区球队的比赛中，选取赛3场的球队的方法。并阐述这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

二、问题分析

本题主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价，需要对赛程进行数据处理，对大量的数据进行统计组合。为了简化问题的求解过程，我们省略了一些次要因素，如：一个球队的伤病情况、球员的身体和心理素质及连续客战数。

2.1 对问题1的分析

在该问题中，我们考虑到赛程对某个球队利弊的影响主要有3个方面的因素：即是否满足赛制的要求，球队的满意度，球迷的满意度。其中，球队的满意度又包括每个球队比赛的主客场数、背靠背数、连续客场作战数以及连续与强队比赛数等因素；球迷的满意度又包括比赛时间的安排、对抗的两个球队的实力、比赛中两队的球星的数目等因素。并对这些因素进行讨论和量化分析，然后根据各个因素对赛程合理性和公平性的不同影响程度赋予不同的权重，运用线性加权法建立得数学模型，最后根据所得模型计算出评价赛程利弊的数量指标。

2.1 对文题2的分析

该问题是在问题1所得结果的基础上计算和分析赛程对火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。我们运用问题1中的模型分别求出各个球队对赛程的满意度，再用评价赛程利弊的数量指标来评价赛程对火箭队的利弊以及找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

2.3 对问题3的分析

    欲找出与同部不同区球队的比赛中，选取赛3场的球队的方法，首先我们统计2008—2009赛季的赛程表中的各支球队与另一支球队打3场比赛的赛程，并列成一个关于西部赛区打3场比赛的赛程表（见附录4，其中3表示有3场比赛的交锋队，0表示有其他比赛或没有比赛）。因为是打3场比赛，有（2主1客或2客1主）两种情况，再加上各球队的实力存在一定的差距，所以存在两个相对不均衡的主要问题。然后我们利用相对不均衡问题的互补性来阐明选取赛3场的球队的方法。

三、模型假设

（1）假设考察一个赛程安排是否合理主要考虑下面这三个因素：是否满足赛制的要求、球队的满意度以及球迷的满意度，不考虑其它因素。

（2）假设个球队的排名情况和拥有的球星数能够说明该队的受关注程度。

（3）假设各球队对赛程的满意度仅取决于对“主客场数”和“背靠背数”的满意度。

（4）假设球迷对赛程的满意程度主要取决于“各球队的实力”和“球星的影响力”。

（5）假设08—09季度的比赛每个周末比赛日的比赛场数固定，非周末比赛日比赛场数大体相等。

（6）假设选取赛3场的球队的因素只有球队的实力和主客场战数，不考虑其他因素对比赛的影响，或者认为其他因素的影响度很小，可以忽略不计。

四、符号说明

：表示客队队名的编号；

：表示在2007---2008赛季的排名；

：表示第i支球队参加的背靠背比赛数；

：表示第i支球队的客场比赛数；

：表示排名为第n名的球队的实力系数；

：表示各支球队对背靠背数的满意度；

：表示第i支球队的影响力；

：表示第i支球队的影响力系数；

Vi：表示第i支球队的比赛的精彩系数；

：表示观众对赛程安排的满意程度；

：表示综合评定系数；

：选取赛3场的球队的评定指标

：合理性评定系数；

：表示排名为的球队与其同部另两个分区中的任一分区选取的两个球队中排名为的球队打主客比赛对排名为的球队的影响性系数。

五、模型的建立及求解

5.1 问题1的求解 

要分析赛程对某一支球队的合理性和公平性，主要由以下3个主要因素来衡量：

第一：满足赛制的要求。

第二：球队从自身利益出发对赛程的满意程度。

第三：观众对赛程的满意程度。

其分析流程如下图所示：

模型分析示意图

5.1.1 满足赛制的要求的验证

1）同一分区内赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，必须要对每支球队在分赛区的赛程安排进行检验。要求每个分赛区的球队在常规赛中要与在同一个分赛区的球队比赛四场（如：编号为1—5的各个球队就属于同一分区的情况，则其中一个球队与其余的四个球队各比赛4场），各个球队的分区情况以及编号（见附录1）。

2）同赛区不同分区的赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，必须要对每支球队在同一赛区不同分区的赛程安排进行检验。要求分赛区的每支球队要与分赛区以外，但是在同在一个大赛区的每支球队相遇三到四次（如：编号为1—5的球队与编号为6—10的球队属就于同赛区不同分区的情况，则编号为1—5内的每个球队需要与编号为6—10内的每个球队比赛3—4场）。

3）不同赛区内的赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，还需要对每支球队在不同赛区的赛程安排进行检验。要求小赛区的每支球队要与不同大赛区的每支球队比赛两场（如：编号为1—15的球队与编号为16—30的球队就属于不同大赛区的情况，编号为1—15内的球队需要与编号为16—30的球队比赛两场）。

只有当一个赛程的安排同时满足上面的三个条件时，该赛程才符合了赛程安排的基本要求，才能够进一步进行合理性和公平性的分析。

5.1.2 球队对赛程的满意程度的评价

对于一个确定的赛程，球队就有确定的主客场数、背靠背数、连续客场作战数，而球队会从自身利益出发对自己的赛程做出评价，一个合理公平的赛程应该使各球队的主客场数、背靠背数、连续客场作战数都大致相等。

（一）各球队对赛程安排满意度的量化分析

通过给出的材料，我们知道“每支球队的主客场数”、“背靠背数”、“连续客场数”这几个因素是衡量球队满意度的主要因素。

1）各球队主客场数的讨论

根据题目（附件）中所给的赛程表，我们计算出每个球队的主客场比赛数是相等的，即Hi=41（见附录1），所以这个因素对结果没有任何影响。其中Hi表示第i支球队的客场比赛数。

2）各队背靠背比赛场数的讨论

根据题目（附件）中所给的赛程表，我们可以计算出各个球队背靠背比赛场数Ci (见附录2)。其中Ci表示第i支球队参加的背靠背比赛数。

球队都希望自己的背靠背比赛数尽量少，但是竞赛委员会为了公平公正，应该尽量照顾到每支球队，因此竞赛委员会在每个赛季给一支球队定的背靠背上限是24对，下限是15对。由于某个球队的背靠背比赛场数越少，则对该队越有利，也就是说，某个球队的背靠背比赛场数越少，则该球队的满意度就越高。为了量化的说明球队对背靠背数的满意程度，我们定义：第i支球队对背靠背数的满意程度（Ri）等于第i支球队参加的背靠背比赛数（Ci）的倒数。

即                      

经过求解得到各个球队对背靠背数的满意度（Ri）如表一所示

由上述分析可知，其它因素对赛程安排的公平性影响不大，赛程安排的公平性主要由各球队对背靠背数的满意程度来决定，所以我们取各球队对背靠背数的满意度（Ri）的平均值作为公平性系数（）： 

即                                （1）

也就是说，当时，第i支球队对赛程的安排表示满意；当时，第i支球队对赛程的安排表示不满意。

（二）观众对赛程安排的满意度量化分析

观众想要观看一场比赛，主要会考虑到比赛的精彩度。而对于观众来说，一场比赛是否精彩，一方面是看对抗的两个球队的实力是否强大，一般来说，实力越强的两个球队进行比赛，观看的人将会越多；另一方面，观众都有自己喜欢的球星，因此，比赛中两队的球星越多越能吸引观众。

因此，影响观众对赛程满意程度的两个主要因素就是：“各球队的实力”和“球星的影响力”。

1）各球队的实力

对参加NBA常规赛的这30支球队进行编号（见附录1）。根据2007—2008赛季对这30支球队的排名情况，我们可以得到一个关于这30支球队排名信息的的表格，如表二所示

即排名越靠前面相对其实力就越强大。

在此，为了计算第i支球队排名为第n名时的球队的实力系数（Win），我们定义：参赛球队总数的倒数作为排名第n名和排名第（n-1）的实力系数（Win）的差值参数，所以由下列公式：

举例：第5号球队的排名n=12时的实力系数：

同理可算得各个球队的实力系数如下表三所示

2）球星的影响力

我们将参加上赛季全明星的队员设定为具有个人影响力的球星（可在“NBA中文网”中得到）。

其名单为：姚明---火箭、科比---湖人、邓肯---马刺、艾弗森---掘金、安东尼---掘金、勒布朗-詹姆斯---骑士、德怀特-霍华德---魔术、波什---猛龙、韦德---热火、基德---篮网、纳什---太阳、保罗---黄蜂、斯塔德迈尔---太阳、诺维茨基---小牛、布泽尔---爵士、大卫-韦斯特---黄蜂、罗伊---开拓者、雷-阿伦---凯尔特人、比卢普斯---活塞、贾米森---奇才、乔-约翰逊---老鹰、汉密尔顿---活塞、保罗-皮尔斯---凯尔特人、拉希德-华莱士---活塞。

为了对球星的影响力进行定量描述，我们可以做如下量化处理：

将首发的影响力记为2，替补的影响力记为1，其他为0。则由08—09赛季的全明星名单如表四所示

由上表我们不难看出，各个球队的影响力（Ki）的取值范围在[0，4]之间，且Ki∈N+，所以我们可以定义Pi关于Ki的分段函数为：

因此，各个球队的的影响力系数如下表五所示

假设：综合实力和球星效应对球队的影响力有相同的权重，则有：第i队对观众的吸引系数，亦即第i支球队的比赛的精彩系数（Vi）。

                   （2）

举例：第8支球队的比赛的精彩系数：

同理可算得到第i支球队的比赛的精彩系数（Vi）如下表六所示

观众对赛程安排的满意程度主要表现在比赛的精彩系数，所以，我们取30支球队的比赛的精彩系数（Vi）的平均值作为观众对赛程安排的满意度：

即                    

也就是说，当时，观众对赛程的安排表示满意；当时，观众对赛程的安排表示不满意。

对于一个赛程的的合理性和公平性的分析与评价，它的主要影响因素有：满足赛制的要求、球队对赛程的满意度和观众对赛程的满意程度。对于NBA的比赛来说，赛制的要求对其合理性和公平性是没有任何影响的，因为大家都满足赛制要求。所以我们对合理性和公平性量化分析时，只需考虑各球队对赛程安排满意度和观众满意度这两个因素的影响，而且由于各因素的影响程度不同，需赋予不同的权重。在此，我们赋予各球队对赛程安排满意度的权重为0.65，观众满意度权重为0.35。我们运用线性加权法建立得赛程对第i支球队的利弊系数（Qi）的数学模型：

           （3）

依据上述模型，我们用赛程对各支球队的利弊系数（）的平均值作为赛程的综合评定系数，也就是评价赛程利弊的数量指标（）：

即               

也就是说，当时，这个赛程对第i支球队来说是有利的；当时，这个赛程对第i支球队来说是不利的，的值越趋向于，说明赛程安排的公平性和合理性就越高。

5.2 问题2的求解

欲判断一个赛程对某支球队的利弊，我们得充分考虑影响这支球队比赛成绩的主要因素，例如：每个球队比赛的主客场数、背靠背数、连续客场作战数连续对强队作战数等因素。我们在问题一中建立模型的时候已经充分地考虑了这些主要因素对各球队比赛成绩的影响，并且我们在此基础上建立得模型，所以我们可以运用问题1中的模型对问题2进行求解。

5.2.1 对08~09赛季赛程对火箭队的利弊分析

在问题一中可得到关于火箭队的相关信息：，，，所以由上述公式可以推导得：

由问题一中的模型计算出赛程对火箭队合理系数为：

所以得到2008~2009赛季的赛程总体上对火箭队而言是有利的。

5.2.2 找赛程对30支球队最有利和最不利的球队

欲找出赛程对那支球队最有利和最不利，我们得根据所给赛程进行量化分析，量化分析所得的结果如问题一中的各个表格显示，然后根据赛程对各支球队的利弊系数模型：

求出赛程对各支球队的利弊系数如下表七所示

从表七中可以看出，当时，有；当，有。也就是说，2008~2009赛季赛程安排对1号球队（即波士顿凯尔特人队）最有利，对30号球队（即孟菲斯灰熊队）最不利。

5.3 问题3的求解

5.3.1 对如何选取赛3场的球队的合理性的讨论

1）不管如何选取赛3场的球队，都要遵循公平性和合理性的原则，且不得违反赛制的规定。

2）在选取赛3场的球队时，我们主要考虑球队的实力和球队的主客战数两个主要因素的影响。

3）因为两支球队之间打3场比赛，相对这两支球队来说，存在主客场战数的不均衡问题，如何安排主客场战数才更加合理。

5.3.2 对影响因素的量化分析

1）对球队的实力的量化分析

根据2007---2008赛季常规赛的比赛结果，我们对西部赛区的各支球队进行区内排名，排名结果如下表八所示：

在此，我们定义第球队所排名次（）的倒数作为该球队的实力系数：

例如：火箭队的实力系数

同理，很容易得出其他各支球队的实力系数，在此就不一一列举。

2）对主客场战数的量化分析

因为在选取赛3场的球队的方法中，要保证每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间均衡，所以对于某个分区中的i球队来说，他与同部另两个分区中的任一分区选取两个球队来打3场比赛，其中当他与一个球队打2主1客的比赛，就必与另一个球队打1主2客的比赛。

在此，我们定义：表示排名为的球队与其同部另两个分区中的任一分区选取的两个球队中排名为的球队打主客比赛对排名为的球队的影响性系数，则有

           （4）

其中， =1或=2， =1或=2，且。

5.3.3 选取赛3场的球队的合理性评定系数分析

经过对对选取赛3场的球队的两个主要影响因素进行了量化分析，并假设这两个影响因素对选取赛3场的球队的合理性的影响程度不同，所以我们给和赋予不同的权重，则排名为的球队与其同部另两个分区中的任一分区选取的两个球队中排名为的球队打主客比赛对排名为的球队的合理性评定系数（）模型为：

                              （5）

根据上述模型，我们可取的平均值作为选取赛3场的球队的评定指标，即         

也就是说，当时，选取赛3场的球队相对而言是比较合理的；当与S的值相差较大时，选取赛3场的球队相对而言是不合理的。

5.3.4 模型的应用

根据模型（5）可知，只要我们知道各个球队的排名（即实力）情况，我们就可以带到该模型中进行求值。比如说，我们欲为一个排名为n的球队选取赛3场的球队，把两个球队的排名带到模型（5）中进行求值，将所求得的值跟S值进行对比，如果说，则说明这两个球队选取赛3场相对而言是比较合理的；如果说与S的值相差越大时，则说明这两个球队选取赛3场相对而言是不合理的。该方法容易、方便、快捷，也可用软件编程求解。

六、模型结果的分析

在进行模型求解的过程中，我们对大量的数据进行了统计，并对一些影响因素忽略，例如连续与强队赛数、在赛阶段中间休息时间过长等因素都会影响球队的比赛成绩，但是这些影响因素属于次要因素，误差在允许范围内。

在讨论赛程对球队利弊程度的主要影响因素时，我们考虑得比较全面，且分析得很严谨，所以所得的结果还是正确可信的。

七、模型的检验

为了检验模型是否正确，我们利用MATLAB软件作出赛程对各支球队的利弊系数（数据见上表七）的正态分布图，图形如下图

                              正态分布图

    由图像可以看出服从正态分布，即，所以可以直接用数学软件MATLAB求出。用[,,c, c]=normfit(r)命令可求得：

             =0.1995     c= [ 0.172  0.227]

           =0.0736     c= [0.059  0.098]

其中：为平均值（即期望），为标准差， c为的置信区域， c为的置信区域。

根据上述结果显示，，且的值很小，也就是说，我们所求得的模型是稳定可靠而且具有普遍性利用价值的。

八、模型的改进、推广及优缺点分析

8.1 模型的改进方向

应该尝试实现数据的自动化处理，尽量用计算机统计所有的数据；做大量的调查获取更多的信息和数据，对自定义的各种系数做修正，使其更好的反映出赛程表对各球队利弊的各项指标。

8.2 模型优缺点的分析

   8.3.1 模型的优点

（1）数据采集科学、合理、精密、可信度高。

   （2）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。

   （3）建立的数学模型算法简便，容易理解，具有很高的推广价值。

   （4）用多种方法统计数据，反复对照，再进行组合，提高了结果的准确度。

   （5）考虑了球队，球迷对赛程公平性的影响，考虑的因素比较全面；自定义了各种评价赛程公平性和合理性的各种系数，量化了赛程的合理性和公平性。

   8.3.2 模型的缺点

   （1）为了方便计算，在假设部分我们剔除了一些对结果影响不大的因素，给计算结果造成一定的误差，但误差在允许范围内。

   （2）在求取赛程的算法中，赛程的表述只是用数字表述，未能用具体球队的对阵形势给出，不方便查阅；未能实现数据的完全自动化处理。

   （3）由于统计的数据量较大，设置的变量较多，使得过程相对复杂。

8.3 模型的推广

本文建立的是一个典型的优化组合模型，由于是根据已有的NBA赛程而来的，在实际生活中有着广泛的使用空间。

例如，当一个NBA赛程出来了，作为某个球队的教练，就可以根据此模型得知赛程对己方的利与弊，以及结合球队自身情况，该怎么调整队员的状态、怎么分配休息时间等，来解决背靠背和连续客场比赛，最大限度地发挥水平。

九、参考文献

[1] 梁  炼，数学建模，广州：华南理工大学出版社，2003

[2] 朱道元，数学建模精品案例，南京：东南大学出版社，1999

[3] 冯  杰、黄力伟、王  勤、尹成义，数学建模原理与案例，北京：科学出版社，2007

[4] NBA中文官方站：http://china.nba.com/nbaindex.html

[5] 数学建模网：http://lib.hkc.edu.cn/shuxue/index.html

十、附录

附录1