初二数学勾股定理知识点及习题

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一．知识归纳

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

2、.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在中，，则，， 

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

3.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度（这个一定要牢记于心）

常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。

考点一：勾股定理的直接应用

例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（    ）

A、1      B、2  C、       D、                      （例2图）

例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为

考点二：求第三条边的长

例1．若Rt△ABC中，且c=37,   a=12，则b=（    ）

A、50         B、35     C、34         D、26

例2．已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取        时，这三条线段能组成一个直角三角形。（提示：所给的两条边长不一定都为直角边。）

例3．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, ,则（    ）

A、169             B、119           C、169或119       D、13或25 

考点三：与高、面积有关

例1．两条直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是          

例2．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是

4.勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，判断步骤：先比较a、b、c大小，找最长边，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面         。（填“合格”或“不合格” ）

例2．试判断：三边长分别是的三角形是不是直角三角形？

                                         【习题】

【勾股定理】

一、选择题

1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（    ）

A、2               B、4                C、3         D、5 

2、等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为（      ）

A．10               B.12              C.15           D.20

3、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（     ）

A、h≤17cm      B、h≥8cm      C、15cm≤h≤16cm         D、7cm≤h≤16cm

二、填空题

1、如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。

2、如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是          cm

3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为            。

4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的与都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？

5.已知中， ， ，边上的中线，求证： 

6.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。反走私艇A和走私船C的距离是13海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？(精确到分)