高一数学统计与概率试题

1. （本小题满分12分）

某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组

[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

【答案】

【解析】略

2. 某班同学利用劳动节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求、、的值；

（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多少人？

【答案】（1）1000,60,0．65  （2）岁中有4人，岁中有2人．

【解析】（1）先由频率分布表的数据计算出各组的频率，即直方图中每一个小矩形的面积，进而得到小矩形的高，补全直方图；（2）中考察的是分层抽样，求解时要根据两组的人数比例确定6人中的抽取比例，从而确定抽取人数分别是多少

试题解析：（1）第二组的频率为，所以高为．频率   直方图如下：

     （2分）

第一组的人数为，频率为，所以．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．

第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．（6分）0

（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人． （10分）

【考点】1．频率分布表及直方图；2．分层抽样

3. 下表是某厂1到4月份用水量情况（单位：百吨）的一组数据

用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为,则a的值为（ ）

A．5．25       B．5          C．2．5        D．3．5

【答案】A

【解析】 ，，样本中心点在回归直线上，所以满足方程，代入，解得：

【考点】1．回归方程；2．回归方程的应用．

4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （   ） 

【解析】由题意得，从高三学生中抽取的人数应为人．

【考点】1．分层抽样；

5. （本小题满分12分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；

（2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；

（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．

【答案】（1）11；（2）576；（3）15．5，15．74

【解析】（1）根据题意，层级在第一、第二组的为优秀，其频率为0．22，然后由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数．

（2）由频率分布直方图知成绩在第四组的频率为0．32，因此估计成绩属于第四组的人数约为．

（3）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数，规律计算最高的小矩形的底边中点横坐标，中位数出现在概率是0．5的地方，由图即可得到中位数和众数的值．

试题解析：（1）样本在这次百米测试中成绩良好的人数=（人）

（2）学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数（人）

（3）由图可知众数落在第三组，是

因为数据落在第一、二组的频率

数据落在第一、二、三组的频率

所以中位数一定落在第三组中．

假设中位数是，所以

解得中位数

【考点】（1）频率分布直方图（2）众数、中位数、平均数

6. 某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图．已知从左往右4个小组的频率分别是0．05,0．15,0．35,0．30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于等于80分为优秀，且分数为整数）（ ）

【解析】根据频率分布直方图，得：分数大于80分的频率为，所以被评为优秀的调查报告有，故选D。

【考点】频率分布直方图

7. 蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．

（1）求x和y的值；

（2）计算甲组7位学生成绩的方差；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）平均数是7名学生的成绩相加除以7，中位数是将7为学生的成绩按由小到大的顺序排列，第4个成绩就是中位数；（2）根据上一问的平均数，写出方差的公式；（3）将甲组和乙组的90分以上的学生分别标号，列举出所以抽取2名学生的基本事件的个数，从中数出至少有1名学生的基本事件的个数，然后相除，即得结果．

试题解析：解：（1）∵甲组学生的平均分是85，

∴．

∴．

∵乙组学生成绩的中位数是83，

∴．

（2）甲组7位学生成绩的方差为：

（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为．

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

．

其中甲组至少有一名学生共有7种情况：

．

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，

则．

答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为．

【考点】1．茎叶图；2．样本方差，平均数，3．中位数；3．古典概型．

8. 给出如下四对事件：

①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；

②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；

③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；

④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，

其中属于互斥事件的有 

【解析】互斥事件是不可能同时发生的事件，由其定义可知①③是互斥事件，②“甲射中7环”与“乙射中8环”是相互的，可能同时发生，④事件“至少有1人射中目标”包含“甲射中，但乙未射中目标”的情况，因此不是互斥的

【考点】互斥事件

9. 箱子中有4个分别标有号码1．2．3．4的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码至少一个奇数的概率为        ．

【答案】

【解析】两次记下号码共有种基本事件，两个都是偶数的事件为种，所以两次记下的号码至少一个奇数的概率为．

【考点】古典概型．

10. 下列事件是随机事件的是

（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．  

（2）异性电荷相互吸引      

（3）在标准大气压下，水在℃时结冰             

（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 

【解析】根据随机事件的定义：在相同条件下，可能发生也可能不发生的现象（2）是必然发生的，（3）是不可能发生的，所以不是随机事件，故选择D

【考点】随机事件的定义

11. 给出下列结论:

①扇形的圆心角，半径为2，则扇形的弧长；

②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽样方法；

③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件；

④；

⑤．

其中正确结论的序号为           ．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①②③⑤

【解析】①因为扇形的圆心角为，半径为2，所以扇形的弧长，所以正确；②符合系统抽样的定义，所以正确；③一个人打靶时连续射击两次，所有基本事件为：两次都不中，中一次，中二次，而“至少有一次中靶”包括中一次和中二次，所以和“两次都不中靶”互为对立事件，所以正确；④的方差为，所以错误；⑤当有三角函数线可得，所以正确，故正确的有①②③⑤

【考点】1．弧长公式；2．系统抽样定义；3．对立事件概念；4．方差性质；5．三角函数线

12. (本小题满分14分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.

（1）求，的值；

（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；

（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.

【答案】（1），（2）（3）甲队成绩较为稳定，理由略；

【解析】（1）分别根据甲乙两队的中位数和平均数的求解方法，得出，的值；（2）甲队中成绩不低于80的有三名学生，乙队中成绩不低于80的有四名，列举出甲、乙两队各随机抽取一名的所有可能发生事件，然后挑出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的种数，两个数做比值即可得到概率；（3）分别计算甲乙两队的方差，方差较小的比较稳定；

试题解析：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，

65，，所以；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以；

（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5， 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为．

（3）因为甲的平均数为，

所以甲的方差

，

又乙的方差

，

因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.

【考点】1.茎叶图；2.古典概型；3.方差；

13. 一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25，25.3)，6；[25.3,25.6），4；[25.6,25.9）,10；[25.9,26.2）,8；[26.2,26.5）,8；[26.5,26.8）,4；样本在[25，25.9)上的频率为（ ） 

【解析】∵[25，25.9]包括[25，25.3]，6；[25.3，25.6]，4；[25.6，25.9]，10；三组数据，因此频数为，则频率为．

故选C．

【考点】频率分布表

14. （2015秋•邢台期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ） 

【解析】A是对立事件；B和不是互斥事件；D是互斥但不对立事件．

解：从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，

在A中：至少有1个黑球与都是红球，不能同时发生，也不能同时不发生，故A是对立事件；

在B中，至少有1个黑球与都是黑球，能够同时发生，故B不是互斥事件，更不是对立事件；

在C中，至少有1个黑球与至少有1个红球，能够同时发生，故C不是互斥事件，更不是对立事件；

在D中，恰有1个黑球与恰有2个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故D是互斥但不对立事件．

故选：A．

【考点】互斥事件与对立事件．

15. （2015秋•宁德期末）为了调查某校2000名高中生的体能情况，从中随机选取m名学生进行体能测试，将得到的成绩分成[60，70），[70，80），…，[110，120]六个组，并作出如下频率分布直方图，已知第四组的频数为12，图中从左到右的第一、二个矩形的面积比为4：5．规定：成绩在[60，70）、[70，90）、[90，110）、[110，120）的分别记为“不合格”、“合格”、“良好”，“优秀”，根据图中的信息，回答下列问题．

（Ⅰ）求x和m的值，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）利用样本估计总体的思想，估计该校学生体能情况为“优秀或良好”的人数；

（Ⅲ）根据频率分布直方图，从“不合格”和“优秀”的两组学生中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好形成“一帮一”（一个优秀、一个不合格）互助小组的概率．

【答案】（Ⅰ）x=0.0125，m=40；（Ⅱ）1100；（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出x，从而求出第四组的频率，由此能求出m，并补全频率分布直方图．

（Ⅱ）由频率分布直方图能估计“优秀或良好”的人数，由此利用列举法能求出所抽取的2人恰好形成“一帮一”互助小组的概率．

解：（Ⅰ）依题意得：，

解得x=0.0125

∴第四组的频率为1﹣10（0.010+0.0125+0.0225+0.020+0.005）=0.3，

∴，解得m=40

补全频率分布直方图如图

（Ⅱ）由图估计“优秀或良好”的人数为2000×10×（0.03+0.02+0.005）=1100

（Ⅲ）“不合格”的人数为0.010×10×40=4，

“优秀”的人数为0.005×10×40=2，

设“不合格”的4人分别为a1，a2，a3，a4，“优秀”的2人分别为b1，b2，

从中任取2人的所有基本事件为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），

（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），

（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共15种（10分）

设所抽取的2人恰好形成“一帮一”互助小组为事件A，其中包含的基本事件为：

（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），

（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），共有8种，（11分）

故所抽取的2人恰好形成“一帮一”互助小组的概率．（12分）

（注：15种基本事件，全对得（2分），列错1～7种扣（1分），错8种及以上不给分）

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…后得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生0人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于建立关于的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求；（3）成绩在分数段内的人数，以及成绩在分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可.

试题解析：（1）得 ；   

（2）由频率分布直方图高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）成绩在分数段内的人数为人，分别记为，.

成绩在分数段内的人数为人，分别记为.

若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,共种. 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共种.

所以所求概率为.

【考点】1、频率分布直方图的基本含义；2、古典概型的概率公式.

17. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

（2）利用（1）中所求出的直线预测该地2012年的粮食需求量.

【答案】（1）；（2）万吨.

【解析】（1）以年为基准，处理数据得到样本点和中心点，根据回归系数的计算公式，求出回归直线方程；（2）在（1）的条件下，年对应，代入回归直线方程得到粮食需求量的预测值.

试题解析：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，对数据预处理如下：

，，由上述计算结果，知所求回归直线方程为，即①

（2）利用直线方程①，可预测年的粮食需求量为（万吨）

【考点】回归直线方程及其应用.

方法点睛：本题主要考查了回归分析、回归直线方程及其实际应用，属于基础题.本题解答的关键是合理处理数据，为计算的方便可以以年为基准，把年份作为自变量，求回归系数的解答为难点，因其计算量大，所以应分布解决，有因为回归直线必定经过样本中心点的坐标，所以，代入即得回归直线方程，并对生产、生活作出预测.

18. 样本的平均数为，样本的平均数为，若样本的平均数，其中，则的大小关系为（  ） 

【解析】由统计学知识，可得，， ，所以.所以，故，因为，所以，所以，即，故选A.

【考点】样本的数字特征——平均数.

方法点睛：本题主要考查了样本平均数的定义，属于中档题.解答本题的关键是根据第三个样本的特点和条件建立前两个样本平均数之间的关系，入手点是样本平均数的定义.要比较的大小关系可考虑判断它们差的符号，结合给出的的范围，即可得到它们之间的关系.

19. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．

【答案】①乙       ②数学

【解析】①甲乙两人对比，数学排名：甲大于乙，总成绩排名：甲小于乙，所以，语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②丙位于直线的下方，其语文成绩相对较低，所以数学成绩排名更靠前.

【考点】散点图．

20. 某奶茶店为了促销准备推出“掷骰子（投掷各面数字为1到6的均匀正方体，看面朝上的点数）赢代金劵“的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券，用于在以后来店消费中抵用现金．设事件：“两连号”；事件：“两个同点”；事件：“同奇偶但不同点”．

① 将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级奖依次对应的事件并求相应概率．

【答案】“两个同点”对应一等奖，概率为；“两连号”对应二等奖，概率为；“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为；其余事件对应感谢奖，概率为．

【解析】投掷各面数字为到的均匀正方体两次，方法数有种，将所有情况列举出来，然后看符合题意要求的有多少种，分别求出它们的概率.

试题解析：由题意知，基本事件总数为36，枚举如下：1-1，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，2-1，2-2，2-3，2-4，2-5，2-6，3-1，3-2，3-3，3-4，3-5，3-6，4-1，4-2，4-3，4-4，4-5，4-6，5-1，5-2，5-3，5-4，5-5，5-6，6-1，6-2，6-3，6-4，6-5，6-6．

事件共包含10个基本事件，枚举如下：1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，4-5，5-4，5-6，6-5．

∴；

事件共包含6个基本事件，枚举如下：1-1，2-2，3-3，4-4，5-5，6-6，

∴；

事件共包含12个基本事件，枚举如下：1-3，1-5，2-4，2-6，3-1，3-3，3-5，4-2，4-6，5-1，5-3，6-2，6-4，

∴；

∴，

∴事件：“两个同点”对应一等奖，概率为；

事件：“两连号”对应二等奖，概率为；

事件：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为；

其余事件对应感谢奖，概率为．

【考点】古典概型．

21. 有五组变量：

①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；

②平均日学习时间和平均学习成绩；

③某人每日吸烟量和身体健康情况；

④圆的半径与面积；

⑤汽车的重量和每千米耗油量．

其中两个变量成正相关的是（   ） 

【解析】①随着重量的增加，行驶里程数在减少，因此是负相关；②学习时间增长，学习成绩为提高，是正相关；③吸烟量增加，身体健康情况下降，因此是负相关；④正方形边长和面积是函数关系；⑤汽车重量增加，百公里耗油量增加，因此是正相关.

【考点】正相关与负相关.

22. 已知施肥量与水稻之间的回归直线方程为，则施肥量时，对产量的估计值为（ ） 

【解析】成线性相关关系的两个变量可以通过回归直线方程进行预测，本题中当时，.

【考点】线性相关

23. 某市居民年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_____，家庭年平均收入与年平均支出有____线性相关关系.

【答案】13；（13.02，9.48）．

【解析】由题意知本题求一组数据的中位数，要把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是中位数，回归直线一定过样本中心点，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点．

求居民收入的中位数，把居民收入这一栏数据按照从小到大排列，最中间的一个数字是13，∴居民家庭年平均收入的中位数是13，

∴回归直线一定过（13.02，9.48）．故答案为：13；（13.02，9.48）．

【考点】众数，中位数，平均数；两个变量线性相关

24. 在区间上任取两数和，组成有序实数对，记事件为“”，则为（  ） 

【解析】这是一个有关几何概型的概率问题，其中基本事件的总数所对应的区域面积是，而符合条件的事件所对应的区域面积是单位圆的面积，如图所示：则所求的概率为．

【考点】几何概型．

【思路点晴】本题是一个关于几何概型的问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，由于基本事件是在区间上任取两数和，组成有序实数对，鉴于两数和的取法都具有无限性，因此可考虑“几何概型”，为此作出基本事件的总体所对应的区域，是一个边长为的正方形，事件“”所对应的区域面积单位圆，进而可求出所需概率.

25. 如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．（用分数作答）

【答案】

【解析】∵向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件，,平方米，故答案为.

【考点】模拟方法估计概率.

【方法点晴】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论,，即，可得.

26. 右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（  ）

【解析】由频率分布直方图 可估计样本重量的中位数在第二组，设中位数比大，由题意可得，得，所以中位数为，故选C.

【考点】1、频率分布直方图；2、中位数的求法.

27. 由于计算器不能直接产生区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到：如果是区间上的均匀随机数，则就是区间上的均匀随机数，据此，区间上的均匀随机数对应于区间上的均匀随机数为        ．

【答案】

【解析】因为是区间上的均匀随机数，则就是区间上的均匀随机数，所以区间上的均匀随机数对应于区间上的均匀随机数为，故答案为.

【考点】随机数的产生方法.

28. 一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（   ） 

【解析】设在20人的样本中应抽取管理人员人数为，由分层抽样的特点，得，解得，即在20人的样本中应抽取管理人员人数为4；故选B．

【考点】分层抽样．

29. 如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中月收入在千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为（   ）

【解析】由频率分布直方图，得月收入在千元的频率为，所以此次抽样的样本容量为；故选A．

【考点】频率分布直方图．

30. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） 

【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：

3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．

选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；

选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；

选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立

【考点】互斥事件与对立事件

31. 下列说法正确的是（  ） 

【解析】根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件.故选B．

【考点】互斥事件与对立事件．

【方法点睛】根据对立事件和互斥事件的概念，互斥的事件不能同时发生，而对立事件有且只有一个发生，所以对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．属于基础题．

32. 通过模拟试验，产生了20组随机数：

6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884

2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725

6576 5929 9768 6071 9138 6754

如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，那么表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____．

【答案】%

【解析】四次射击中恰有三次击中目标有，故所求概率.

【考点】随机数模拟概率的近似值.

【方法点晴】本题主要考查随机数模拟概率的近似值，属于较易题型.解决先确定样本空间的总体个数，再从中选取符合事件范围的基本事件个数，如：恰有三次击中目标，就必须寻找四位数中要有三个数字是.抽签法中的随机数表法有所不同的是：重号可以重复计算（切记！）.然后代入公式即可求出正解.

33. 已知实数的取值如下表所示.

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.

注：回归方程为，其中，.

【答案】（1）见图（2）

【解析】（1）按照描点法绘制散点图（2）根据数据，依次代入相应公式，得，，，

试题解析：（1）散点图如下：

（2），，

，，

故，则，

所以回归直线的方程为.

【考点】线性回归方程

【名师】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a，写出回归方程，回归直线方程恒过点（，）.

34. 已知与之间的一组数据：求得关于与的线性回归方程为，则的值为

（  ）

A．1                   B．0.85                    C．0.7                   D．0.5

【答案】D

【解析】因,故将其代入,可得.应选D.

【考点】线性回归方程及运用.

35. 如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒豆子，其中有1000粒豆子落在正方形中，180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________.

【答案】0.18

【解析】此为几何概型，正方形的面积为1，设阴影面积为x,所以，故填：0.18.

【考点】几何概型

36. 用固定的速度向如图形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是右图中的

【答案】B

【解析】刚开始时由于瓶底底面积较大，因此注入相同的体积高度上升较少，即高度的变化速率较慢，只有变化逐渐加快，因此B正确

【考点】函数变化率

37. 已知函数．

⑴从区间内任取一个实数，设事件表示“函数在区间上有两个不同的零点”，求事件发生的概率；

⑵若联系掷两次一颗均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为）得到的点数分别为和，记事件表示“在上恒成立”，求事件发生的概率．

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)利用题意考查 ，据此得到关于实数 的不等式组即可求得实数 的取值范围，然后求解事件发生的概率.

(2)结合题意分别讨论 ； ； ； ，然后利用分类加法计数原理求解满足题意的基本事件个数，然后结合古典概型的计算公式计算事件发生的概率.

试题解析：

（1）因为函数在区间上有两个不同的零点，

所以，即有两个不同的正根和，

所以，所以．    

（2）由已知，所以即在上恒成立，

故需且只需 （*）．

当时，适合（*）；当时，适合（*）；当时，均   适合（*）；

当时，适合（*）．满足（*）的基本事件个数为   ．而基本事件总数为，

所以．                   

38. 利用计算机产生之间的均匀随机数、，则事件“”发生的概率为（  ） 

【解析】由题意得：所求概率测度为面积，概率为，选A．

【考点】几何概型概率

39. 我校高三年级共有24个班，学校为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ） 

【解析】设抽到的最小编号为，组距为：，所以抽取的编号依次为：，根据已知条件得：，解得：，选B．

【考点】系统抽样．

40. 有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4.把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被5整除的概率为（   ） 

【解析】根据题意，把两个玩具各抛掷一次，向下的面写有的数字有16种情况；

分别为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4),(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)；

其中之和能被5整除的有(1,4),(2,3)(3,2),(4,1)4种；

则之和能被5整除的概率为.

本题选择B选项.

点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

41. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取__________．

【答案】8、30、10

【解析】略

42. 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了名学生的成绩得到频率分布直方图如下：

（1）若用分层抽样的方法从分数在和的学生抽取人，该人中成绩在的有几人？

（2）在（1）中抽取的人中，随机抽取人，求分数在和各人的概率．

（3）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

【答案】（1）1（2）（3）92

【解析】

(1)结合抽样比可得该人中成绩在的有1人；

(2)利用题意写出所有可能的情形，结合古典概型公式可得概率；

(3)结合频率分布直方图可估计该校高三学生本次数学考试的平均分为92分.

试题解析：

（1）样本中分数在[30，50)和[130，150]的人数分别为6人和3人

所以抽取的3人中分数在[130，150]的人有（人）

（2）由（1）知：抽取的3人中分数在[30，50)的有2人，记为；分数在[130，150]的人有1人，记为，从中随机抽取2人，总的情形有三种．

而分数在[30，50)和[130，150]各1人的情形有两种，故所求概率

（3）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为

0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92．

点睛：　一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；

二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

43. 某人射击一次命中7—10环的概率如下表

计算这名射手在一次 射击中：

（1）射中9环或10环的概率；

（2）至少射中7环的概率；

（3）射中环数不足8环的概率

【答案】（1）0.52（2）0.87（3）0.29

【解析】

利用题意结合概率公式可得：

(1)射中9环或10环的概率为0.52；

(2)至少射中7环的概率为0.87；

(3)射中环数不足8环的概率为0.29

试题解析：

设“射中10环” 、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则

（1）P(AUB)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.

（2）P(AUBUCUD)="P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,"

至少射中7环的概率为0.87.

（3）P(DUE)="P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29," 射中环数不足8环的概率为0.29.

44. 小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7∶00至8∶30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

【答案】

【解析】

将题中所给的问题转化为面积型几何概型的问题，然后利用几何概型计算公式可得小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是.

试题解析：

解：设送报人到达的时间为x，小明离开家的时间为y。（x,y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为这是一个矩形区域，面积事件A所构成的区域为

这是一个几何概型，所以，所以小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是。

点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)=.

45. 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为________.

【答案】

【解析】，所以所求概率为

【考点】几何概型

46. 一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 (   ) 

【解析】平均数 

∴原来一组数据的平均数是 其方差不变，仍是4.4．选C

47. 汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两类型号，某月的产量如下表：（单位：辆）. 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆.

（1）求的值；

（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，，由此先求出，从而能求出．（2）设所抽样本中有辆舒适型轿车，则 ，从而得到抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，由此利用列举法能求出从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率．（3）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，利用古典概型的概率公式求出概率．

试题解析：（1）设该厂这个月生产轿车辆，由已知，解得

则

（2）设所抽取样本中有辆舒适型轿车，由题意，解得，

因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，

用表示2辆舒适型轿车，表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”.

则基本事件空间包含的基本事件有：，

共10个，事件包含的基本事件有：，共7个，

所以，即所求概率为.

（3）样本平均数，设表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”则基本事件空间中有8个基本事件，事件包含的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以，即所求概率为.

【考点】1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.分层抽样方法；3.古典概型及其概率计算公式．

【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为，即；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数，事件包含的样本点数为，则事件的概率.

48. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是 

【解析】由题意知至少有一枚正面包括有一正两反，两正—反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况,故不正确；最少有枚正面包括两正一反，三正与怡有枚正面是互斥事件，不是对立事件，故不正确；最多一枚正面包括一正两反，三反，最少有枚正面包括正和三正，是对立事件，故正确；最多一枚正面包括一正两反，三反与怡有枚正面是互斥的但不是对立事件，故不正确，故选C.

49. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（    ）

【解析】由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×4%=10000×4%=400，

抽取的高中生人数为2000×4%=80人，

则近视人数为80×0.5=40人，

故选：B

50. 在遂宁市商务区的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、2只白色的乒乓球(其体积,质地完全相同)，旁边立着一 块小黑板写道：

摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得统一颜色的3个球，摊主送个摸球者10元钱；若摸得非同一颜色的3个球。摸球者付给摊主2元钱。

(1)摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少?

(2)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?

【答案】(1)；(2)2400元。

【解析】

(1)由题意列出所有可能的基本事件，然后结合古典概型公式可得摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少是；

(2)由概率知识计算可得这个摊主一个月(按30天计)能赚2400元钱.

试题解析：

(1)设黄球为A1，A2，A3 ；白球为B1，B2。

由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共10个：

（A1，A2，A3），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2）

（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A1，B1，B2），（A2，B1，B2），（A3，B1，B2）

摸出的3个球中至少有1个白球的事件中包含9个基本事件，

∴事件发生的概率为P=

(2)设事件A={摸出的3个球为同一颜色}，

则P(A)==0.1，假定一天中有100人次摸奖，

由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件A发生有10次，不发生90次。

则一天可赚90×2-10×10=80，

故这个摊主一个月(按30天计)可赚2400元。

点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

51. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（   ） 

【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A.

【考点】古典概型及其概率计算公式.

52. 下图是2007的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为(    )

【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据为84，84，85，84，88，

这组数据的平均数为= (84+84+85+84+88)=85；

方差为s2= [(−1)2×3+02+32]=2.4.

故选：B.

53. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…后得到如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）

（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？

【答案】（1）71；（2）抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人

【解析】【试题分析】（1）依据题设提供的频率分布直方图中的图形信息与数据信息可知众数为75，中位数为70．3，平均数为。（2）按照分层抽样的思想方法求出各层的抽取的比例为1:3，然后计算出各层的人数分别为6,9,9,18,15,3，进而算出所抽取的人数2人；3人；3人；6人；5人；1人。

解：（1）由图可知众数为75，当分数x<70．3时对应的频率为0．5，所以中位数为70．3，平均数为

（2）各层抽取比例为，各层人数分别为6,9,9,18,15,3，所以抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人

54. （2014•邢台二模）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，新产品数量之比依次为k：5：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（　　）

A.24    B.30    C.36    D.40

【答案】C

【解析】根据分层抽样的定义求出k，即可得到结论．

解：∵新产品数量之比依次为k：5：3，

∴由，解得k=2，

则C种型号产品抽取的件数为120×，

故选：C

点评：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．

55. 若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是 (   ) 

【解析】平均数为10+1=11，方差不变，仍为2，选C.

56. 集合，在集合中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值不小于2的概率是（  ） 

【解析】由题意可得：，任意取两个数，有种方法，满足题意的事件为：

六个可能的事件，

结合古典概型公式可得满足题意的概率值为.

本题选择C选项.

57. 已知某中盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样本容量为）进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在的数据）

（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在分以上（含分）的学生中随机抽取名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的名学生中恰有一人得分在内的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为，列举法易得

试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量， ……2分

， ……4分

．……6分

（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：

 ．

其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种，

∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图

58. 一个正 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，则蚂蚁不相撞的概率是__________．

【答案】

【解析】如图：

设三只蚂蚁分别为A、B、C，每只蚂蚁只能爬向另一只蚂蚁，列树状图得：

共8种情况，蚂蚁不相撞的情况数有2种，所以概率

为.

59. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（  ） 

【解析】A、B中两个事件不互斥，当然也不对立；D中的两个事件互斥但不对立；C中两个事件不仅互斥而且对立,故选D.

60. 积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：

请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（   ）

A. 240吨    B. 360吨    C. 180吨    D. 200吨

【答案】A

【解析】根据10户家庭一个月的节水情况可得,平均每户节水：

(0.5×2+1×3+1.5×4+2×1)÷(2+3+4+1)=1.2(吨)

∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×1.2=240(吨)

故选A