数学高考压轴题

（集有关信息编制，内部资料，仅供参考）   2006.5.28

1.设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝

⑴求f(α)·f(β)的值；

⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；

（3）当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？

解：⑴ f(α)f(β)＝－4

⑵设α≤x1又∵2x12-ax1-2≤0, 2x22-ax2-2≤0,∴a(x1+x2)+4≥2(x12+x22)　得4+a(x1+x2)－4x1x2≥2(x12+x22) －4x1x 2=2(x1-x2)2>0，得f(x1)⑶由⑴⑵可知，f(x)max=f(β)>0，f(x)min＝f(α)<0

∵|f(α)|·f|(β)|＝4，而f(β)－f(α)＝|f(β)|+|f(α)|≥4

符号在f(B)＝2时成立，即

2.   设曲线ｃ：ｙ＝ｘ２（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x轴交于Q１，过Q１作平行于y轴的直线与曲线c交于P１（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c的切线交x轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y轴的直线与曲线c交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N) 

(Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程；  

(Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式；  

(Ⅲ)设Ｓｎ＝ｘ０＋ｘ１＋…＋ｘｎ，求Ｓｎ.      

解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０   4分

(Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过Pｎ的切线方程为

ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ）                                            6分

将Qｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：

－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ）

∴ｘｎ＋１＝                                                8分

故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为的等比数列

∴ｘｎ＝f(n)=2·（）ｎ，即f(n)＝（）ｎ－１                                10分

(Ⅲ)Ｓｎ＝

∴Sn=4(1-)=4                                        14分

3.如图，A、B为函数图像上两点，且AB∥x，点M（1，m）（m>3）是△ABC边AC的中点。

    （I）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)；

（II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。

 解：（I）设B，A，，M是△ABC边AC的中点

    ∴  4分

    （II）∵，M是△ABC边AC的中点

    ∴

    ∴ 

    当时，

    当且仅当。

    此时点C的坐标是  （）  8分

    当m>9时，S=f(t)在区间（0，1]上是增函数，证明如下：

    设

    ∵， 

    又

    ∴

    ∴S=f(t)在（0，1]上为增函数，  11分

    故t=1时，。  13分

4.设二次函数，对于任意恒有，．

（1）求证：且．

（2）若函数的最大值为8，求的值．

解：（1）由题可得：当时，恒成立；当时，恒成立。

所以，，且（），

所以，，，即。

（2）

函数的最大值为8当时，函数的最大值为8。

因为在［－1，1］上单调递减，所以，。所以。带入解得：。

5.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药量残留在蔬菜上．设用单位的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．

（1）试规定的值，并说明其实际意义．

（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质．

（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

（1），表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持不变。

    （2）函数应该满足的条件和具有的性质是：；在上单调递减；且。

    （3）仅清洗一次，残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，

将水平均分成两次后清洗两次，残留的农药量与清洗前相比为。

于是，当时，，分两次清洗残留的农药量较少；

时，，两种清洗方法效果相同；

时，，一次清洗残留的农药量较少。

6.（本题满分14分）

已知函数：．

   （1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；

   （2）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；

   （3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．

解（1）证明： 

．

∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’

（2）证明： 

当，，

，，

∴．

    即．………………………………………………………………8’

（3）  

①当．

如果  即时，则函数在上单调递增，

∴． 

如果．

当时，最小值不存在．……………………………………………………10’

②当，  

如果．

如果． 

当．

．……………………………………………12’

综合得：当时， g（x）最小值是；当时， g（x）最小值是；当时， g（x）最小值为；当时， g（x）最小值不存在．

7. 一条斜率为1的直线l与离心率的双曲线(a>0, b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程。

解：∵ ， ∴ b2=2a2，∴ 双曲线方程可化为2x2-y2=2a2,

　　设直线方程为 y=x+m,

　　由得 x2-2mx-m2-2a2=0,

　　∴ Δ=4m2+4(m2+2a2)>0

　　∴ 直线一定与双曲线相交。

　　设P(x1, y1), Q(x2, y2), 则x1+x2=2m, x1x2=-m2-2a2,

　　∵ ， ,

　　∴ , ∴ 

　　消去x2得，m2=a2,

　　=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)

　　=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3

　　∴ m=±1, a2=1, b2=2.

　　直线方程为y=x±1，双曲线方程为。

8. 对于函数，若存在实数，使成立，

则称为的不动点.

（1）当a=2，b=－2时，求的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.

（1）f（x）的不动点为－1、2；

   （2）0   （3）b的取值范围为

9. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF=C1G．

 (1)求证：B1F⊥D1E；

 (2)当三棱锥C1－CEF的体积取得最大值时，求二面角C1－EF－C的大小．

（3）三棱锥G－CEF的体积的最大值。

解(1)证：以A为原点，分别以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　设BE＝x，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，

   E(a，x，0)，F(a－x，a，0)                 2分

　　∴

　　∴

　　因此，B1F⊥D1E．                        4分

(2)解：    6分

　　当时，三棱锥C1－CEF的体积最大，这时E、F分别为BC、CD的中点 8分

　　连结AC交EF于G点，连结C1G，则AC⊥EF

　　由三垂线定理知C1G⊥EF，∴∠C1GC是二面角C1－EF－C的平面角       10分

　　∵，∴

　　即二面角C1－EF－C的大小为．        12分

10. 已知函数是奇函数。

（1）求m的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明；

（3）当时，的值域是，求的值.

解：（1）m=－1…………3分

（2）上是减函数；……7分

当0（3）当a>1时，要使的值域是，则，

；而a>1，∴上式化为①（10分）

又∴当x>1时，.  当.

因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式①，

当且仅当时成立.12分

.…………………………14分

11．某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施  

（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限n的函数；  

（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？ 

解：（Ⅰ）第n年共有5n个职工，那么基础工资总额为5n(1+)n（万元）

医疗费总额为5n×0.16万元，房屋补贴为

5×0.04+5×0.04×2+5×0.04×3+…+5×0.04×n=0.1×n(n+1)（万元）        2分

∴y=5n(1+)n+0.1×n(n+1)+0.8n

=n［5(1+)n+0.1(n+1)+0.8］（万元）                                    6分

（Ⅱ）5(1+)n×20%-［0.1(n+1)+0.8］

=(1+)n- (n+9)

=［10(1+)n-(n+9)］

∵10(1+)n=10(1+Cn1Cn1+Cn2+…)

＞10(1+)＞10+n＞n+9

故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20%        

12. 设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线. 

（Ⅰ）试求双曲线C的方程；  

（Ⅱ）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；  

（Ⅲ）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.

  .解：（Ⅰ）由抛物线y2=2x-4,即y2=2 (x-),可知抛物线顶点为（,0）,准线方程为x=.

在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=,

∴

∴双曲线c的方程3x2-y2=1                                            4分

（Ⅱ）由

∴|AB|=2                                                        8分

（Ⅲ）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),

②

③

则

由          ④

由②③，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2                       ⑤

由④知：x1+x2=代入⑤

整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称.  

13. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0. 

（Ⅰ）求证：b≥0；

（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3)；  

（Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.

（Ⅰ）证明：因f(m1),f(m2)满足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2)=0

即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0

∴f(m1)=-a或f(m2)=-a,

∴m1或m2是f(x)=-a的一个实根，

∴Δ≥0即b2≥4a(a+c).

∵f(1)=0,∴a+b+c=0

且a＞b＞c,∴a＞0,c＜0,

∴3a-c＞0,∴b≥0                                                    5分

(Ⅱ)证明：设f(x)=ax2+bx+c=0两根为x1,x2,则一个根为1，另一根为,

又∵a＞0,c＜0，

∴＜0,

∵a＞b＞c且b=-a-c≥0,

∴a＞-a-c＞c,∴-2＜≤-1

2≤|x1-x2|＜3                                                        10分

（Ⅲ）解：设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-) 

由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a

不妨设f(m1)=-a则a(m1-1)(m1-)=-a＜0,

∴＜m1＜1

∴m1+3＞+3＞1

∴f(m1+3)＞f(1)＞0

∴f(m1+3)＞0                                                            12分

同理当f(m2)=-a时，有f(m2+3)＞0,

∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一个为正数                                    14分