2020-2021学年度第一学期江苏省南京市四校联考九年级期中考试数学试卷...

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.

1.某校足球队有16名队员，队员的年龄情况统计如下：  

A. 14，15                B. 15，15                C. 14.5，14                   D. 14.5，15

2.用配方法解方程x2-2x-2=0时，原方程应变形为(    )            

A. (x+1)2=3                B. (x+2)2=6             C. (x-1)2=3        D. (x-2)2=6

3.若扇形的弧长是  ，半径是18，则该扇形的圆心角是（  ）            

A.                   B.                    C.                  D. 

4.如图，  分别与  相切于  两点，  ，则  (    )  

A.                    B.                       C.                   D. 

5.若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为（　　）            

A. －13                  B. 12                            C. 14                    D. 15

6.如图，点P（3,4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（   ）  

A. 14                   B.                             C.                           D. 26

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

7.已知关于x的方程x2+x+2a-1=0的一个跟是0，则a=________。    

8.甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）.    

9.如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在    上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n=________.  

10.如图，要用纸板制作一个母线长为  底面圆半径为  的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是________  ．  

11.已知两个连续奇数的积是  ，则这两个数的和是________．    

12.如图，AB是  的直径，PA切  于点A  ， 线段PO交  于点C ． 连接BC  ， 若  ，则  ________．  

13.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝________．  

14.已知关于  的一元二次方程  有两个不相等的实数根，则实数  的取值范围是________．    

15.若数据3，a  ， 3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是________；a的值是________；方差是________．    

16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E.若弧DE的长为  π，则阴影部分的面积________.（保留π）  

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，    

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；    

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。    

18.某校组织了一次低于新冠病毒爱心捐款活动，全体同学积极踊跃捐款，其中随机抽查  名同学捐款情况统计以下：  

（1）统计捐款数目的众数是________，中位数是________，平均数是________    

（2）请分别用一句话解释本题中的众数、中位数和平均数的意义    

（3）若该校捐款学生有  人，估计该校学生－共捐款多少元？    

19.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约  万平方米，预计  年绿化面积约为  万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．    

（1）求每年绿化面积的平均增长率；    

（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为  元，若  年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么  年的绿化投资成本需要多少元？    

20.往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．  

（1）求油槽的半径OA；    

（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．    

21.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示： 

根据图示信息，整理分析数据如表：

（1）求出表格中  =________；  =________；c= ________      

（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.    

22.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃. 

（1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为________m；    

（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？    

23.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点.  

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；    

（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积.    

24.图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．  

（1）图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；    

（2）在这10天中，最低气温的众数是________，中位数是________，方差是________．    

（3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．    

25.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：    

（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________．元（用含  的代数式表示）；    

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1428元？    

26.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD=BC，过点D作DG^AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F、M.  

（1）求证：四边形ABCD是矩形；    

（2）若点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；    

27.

（1）问题提出：  

如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为________；

（2）问题探究：  

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2  ，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；

（3）问题解决：  

如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大.若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由.

答案

一、选择题

1.解：中位数为16名队员的年龄数据里，第8和第9个数据的平均数  ， 

在这16名队员的年龄数据里，15岁出现了6次，次数最多，因而众数是15.

故答案为：D.

2.解： x2-2x-2=0 ,

 移项，得：x2-2x=2，

 配方：x2-2x+1=3，

 即（x-1）2=3． 

故答案为：C.

3.解：由弧长公式：  得： 

 ，

故答案为：A.

4.解：连接OA、OB， 

∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∵∠P=72°，

∴∠AOB=108°，

∵C是⊙O上一点，

∴∠ACB=54°．

故答案为：C．

5.解：∵ α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，

 ∴2 β 2-5 β -1=0，α＋β=  ， αβ=-  ， 

 ∴5 β=2 β 2-1，

 ∴ 2α2＋3αβ＋5β = 2α2＋3αβ+2 β 2-1

 =2（α2＋β 2）+3αβ-1

 =2（α＋β）​​​​​​​2-αβ-1

 =2×（）2+-1

 =12.

 故答案为：B.

6.解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM. 

∵点P（3,4），

∴OP=  .

∵A（2.8，0），B（5.6,0）

∴OA=AB，

∵点C是MB的中点，

∴CM=CB，

∴AC=  OM，

∴当OM最小时，AC最小，

∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=  OM′=  （OP﹣PM′）=  .

​故答案为：B.

二、填空题

7.解：把x=0代入方程 x2+x+2a-1=0 ，得2a-1=0 ，

 解得a=.

 故答案为：.

8.解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8， 

∴乙所得环数的平均数为  ，

∴乙所得环数的方差为  ，

∵  ，

∴成绩较稳定的是甲，

故答案为：甲.

9.连接OC， 

∵AB是⊙O内接正六边形的一边，

∴ 

∵BC是⊙O内接正八边形的一边，

∴ 

∴ 

∴ 

故答案为24；

10.圆锥形小漏斗的侧面积＝  ×12π×8＝48πcm2 ．  

故答案为48πcm2 ． 

11.解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），

由题意得，x（x+2）=15，

解得，x=3或x=-5，

故答案是：3和5或-3和-5．

12.如图，连接AC  ，  

 是  的直径，

∴  ，

∴  ，

∵PA切  于点A  ， 

∴  ，

∴  ，

∵  ，  ，

∴  ，解得  ，

故答案为：  ．

13.解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD， 

根据垂径定理可知：

CF＝DF，

∵∠CEA＝30°，

∴∠OEF＝30°，

∴OE＝2，EF＝  ，

∴DF＝DE﹣EF＝5﹣  ，

∴CD＝2DF＝10﹣2  ．

故答案为：10﹣2 

14.∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 

∴k≠0且 

解得k≠0， 

∴答案为k≠0且k＞-1.

15.解：根据题意得， 

3+a+3+5+3=3×5，

解得：a=1，

则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，

方差为：  =  =1.6，

故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6

16.解：如图，连接  ， 

 以  为直径的  与  相切于点  ，

 .

设  ，

 ，弧  的长为  ，

  .

 .

 ，  .

 ，  .

 .

 .  

 .

故答案是：  .

三、解答题

17. （1）证明：∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0， 

△=[-(2k+1)]2-4 (k2+k)=1>0，

∴此方程有两个不相等的实数根。

（2）解：∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根， 

且由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，

∴必然有AB=5或AC=5

即x=5是原方程的一个解

将x=5代人方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，得25-5(2k+1)+k2+k=0，

解得k=4或k=5

当k=4时，原方程为x2-9x+20=0，

x1=5，x2=4，以5，5， 4为边长能构成等腰三角形。

当k=5时，原方程为x2-11x+30=0，

x1=5，x2=6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形。

∴k的值为4或5。

18. （1）50元；50元；81元

（2）解：捐款数目为  元的学生人数最多，八  班学生有一半的捐款数目在  元以上且人均捐款数目是  元；

（3）解：根据题意得：  （元）   

答：估计该校学生共捐款  元.

解：（1）  在这组数据中，  出现了  次，出现次数最多， 

 学生捐款数目的众数是  元，

 按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是  ，

 中位数为  元，

这组数据的平均数  （元）；

19. （1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程  

1000（1+x）2=1210

解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去）

所以每年绿化面积的平均增长率为10%．

（2）解：  （万平方米）   

 （元）

答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．

20. （1）解：如图所示：   

过O作OC⊥AB，延长CO与圆交于D，

由题意可知AB=CD=80cm，

由垂径定理可得AC=CB=  AB=40cm，

设OA为xcm，则OC=（80-x）cm，

在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：  ，   

 解得：x＝50，

答：油槽的半径OA为50cm.

（2）解：如图所示：   

当油面下降到EF位置时， 

∵EF∥AB，CD⊥AB，

∴CD⊥EF，

连接OF，设CD与EF交于点G，由题意知EF=60cm，

由垂径定理可得GF=  EF=30cm，

在Rt△OGF中，  

由（1）可知OC=80-50=30cm

∴CG=OC+OG=30+40=70cm

答：油面下降的高度为70cm．

21. （1）85；80；85

（2）S2初=  ， 

 S2高=  ， 

 ∵S2初＜S2高  ， 

 ∴初中部选手成绩稳定.   

解：（1）a=  ， b=80，c=85，

 故答案为：85；80；85；

22. （1）30－3x

（2）解：由题意得：﹣3x2+30x＝63.  

解此方程得x1＝7，x2＝3.

当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；

当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；

故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2.

】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x， 

故答案为：30﹣3x；

23. （1）解：直线DE与⊙O相切，  

理由如下：连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中  ，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵DE、AE是⊙O的切线，  

∴DE＝AE，

∵点E是AC的中点，

∴AE＝  AC＝3，

∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴图中阴影部分的面积＝2×  ×2×3﹣  ＝6-  π.

24. （1）解：由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，  

补全统计图如图；

（2）7；7.5；2.8

（3）解：6℃的度数，  ×360°=72°，   

7℃的度数，  ×360°=108°，

8℃的度数，  ×360°=72°，

10℃的度数，  ×360°=72°，

11℃的度数，  ×360°=36°，

作出扇形统计图如图所示．

（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天， 

所以，众数是7；

按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，

所以，中位数为  （7+8）=7.5；

平均数为  （6×2+7×3+8×2+10×2+11）=  ×80=8，

所以，方差=  [2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，

=  （8+3+0+8+9），

=  ×28，

=2.8

25. （1）2x；50-x

（2）解：由题意得：（50-x）（30+2x）=1428（0≤x＜50） 

化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，

解得：x1=36，x2=-1（舍去），

答：每件商品降价36元，商场日盈利可达1428元．

解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，故答案为2x，50-x； 

26. （1）证明：∵AC为⊙O直径  

∴  

在  与  中

∴  

∴  

∴  

∵  

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵  

∴四边形ABCD是矩形；

（2）证明：如下图，  

连接OB

∵在  中，点G为MF的中点

∴  

∴  

∵  

∴  

∵  

∴  

∴  

∴  

∴BG是⊙O的切线.

27. （1）

（2）解：如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD于点E，交CD于点F，过点M作MG⊥BC，交CB的延长线于点G，  

∵点B，点M关于AD对称，∴BE＝EM，AB＝AM＝2  ，∴BM＝4  ，

∵点B，点N关于CD对称，∴BF＝FN，BC＝CN＝3，

∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，

由轴对称的性质知：此时MN的长即为△BEF周长的最小值.

∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，

∴∠GBM＝∠GMB＝45°，

∴BG＝GM，

∵BG2+GM2＝BM2  ， 

∴BG＝4＝GM，

∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，

∴在Rt△GMN中，MN＝  ＝  ＝2  ，

∴△BEF的最小周长为2  .

（3）解：作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，  

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝30°，

∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形BCMN是矩形，

∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠ABN＝60°，∴∠BAN＝30°，

∴BN＝  AB＝1，AN＝  BN＝  ，

∴AM＝  +2，CM＝1，

∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，

∴AE＝2AM＝2  +4，ME＝  AM＝3+2  ，

∴CE＝CM+ME＝4+2  ＝AE，

∴点E在AC垂直平分线上，

∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE  ， 且S△ABC是定值，AC长度是定值，点E在△ABC的外接圆上，

∴当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大，

此时S四边形ABCE＝S四边形ABCM+S△AME＝  ×  ×1+  ＝8+4  

解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°， 

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵∠ADC＝60°，

∴∠ADB＝∠CDB＝30°，

∴AB＝BC＝  ，

∴四边形ABCD的面积＝2S△ABD＝2×  ×3×  ＝3  .

故答案为：3  ；