高中数学必修一第四章指数函数与对数函数章末复习

一.总体分析

指数函数与对数函数是两类重要的、应用广泛的基本初等函数，指数函数与对数函数具有紧密的联系，它们互为反函数.本章在研究指数幂和对数的基础上，以研究函数概念与性质的一般方法为指导，借鉴研究幂函数的过程与方法，学习指数函数和对数函数，帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质，理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法，探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题，体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用，从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，提升数学抽象、数学建模、数算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.

二.教学目标

1．掌握指数式、对数式的运算、求值、化简、证明。

2．掌握通过函数性质比较几个数的大小关系。

3．会求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值和单调区间

4．能够做到知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．

5．理解方程的解与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

6．学会用二分法求出零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．

7．会用函数建立数学模型解决实际问题

三.课时安排

4课时

四.教学重点

1. 知识系统整合

2.规律方法

（1）指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

（2）比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

（3）求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

（4）掌握零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．

五.教学难点

1.与指数函数、对数函数有关的复合函数的定义域、值域问题。

2.与指数函数、对数函数有关的复合函数的单调性问题。

3.在实际情境中选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律。

第一课时

指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．

1．求定义域

[典例1]　(1)函数y＝的定义域是(　　)

A．[－2，＋∞)    B．[－1，＋∞)

C．(－∞，－1]    D．(－∞，－2]

(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－2,0)∪(0,2]    B．(－1,0)∪(0,2]

C．[－2,2]    D．(－1,2]

解析　(1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.

(2)要使函数式有意义，需

即得x∈(－1,0)∪(0,2]．

答案　(1)C　(2)B

[跟踪训练1]：函数的定义域为（    ）

A．      B．（2，+∞）    C．    D．

【答案】C

【解析】：要使函数有意义需满足：,

得,且,故函数的定义域为.故选：C

2．比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．

[典例2]　若0A．3y<3x    B．logx3C．log4x解析　因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，错误．

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，错误．

答案　C

[典例3]　比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．

解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.320＝1，∴log20.3<0.32<20.3.

解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3.

[跟踪训练2]：若则，它们的大小关系正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】∵y为减函数，y为减函数，

∴a1，c0，

又y＝log3x为增函数，∴0＝log31＜b＝log32＜log33＝1，∴a＞b＞c．故选：A．

3．与指数、对数函数相关的单调性问题

[典例4]　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

解　设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．

当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递增，故应满足解得a>，∴a>1.

当0综上可知，存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，a的取值范围是a>1.

[跟踪训练3]已知f(x)=log4(4x-1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)求f(x)在区间[,2]上的值域.

【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].

【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定义域为(0,+∞).

(2)设0因此log4(4x1-1)故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

(3)因为f(x)在区间[,2]上单调递增,

又f()=0,f(2)=log415,

因此f(x)在区间[,2]上的值域为[0,log415].

第二课时

函数的图象问题

对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．

1．图象的变换

[典例1]　为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．

答案　C

2．根据函数解析式确定图象

[典例2]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　)

解析　由f(4)g(4)<0知a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0答案　B

[典例3]  函数f(x)＝的图象(　　)

A．关于原点对称    B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称    D．关于y轴对称

答案　D

解析　易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝＝＝f(x)，

∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．

[跟踪训练1]函数的图象的大致形状是

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.

第三课时

一、等价转化思想的体现

一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．

[典例1]　已知函数f(x)＝x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．

解　∵x∈[－1,1]，∴x∈.

∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3

＝2＋3－a2.

令t＝x，则t∈.

若a<，则当t＝，即x＝1时，

ymin＝－＋3＝－.

若≤a≤3，则当t＝a，即x＝loga时，ymin＝3－a2.

若a>3，则当t＝3，即x＝－1时，

ymin＝9－6a＋3＝12－6A．

综上可知：g(a)＝

二、函数零点与方程的解

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．

[典例2]　关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于(　　)

A．6    B．5  

C．4    D．3

解析　将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.

答案　D

[典例3]　已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．

答案　x1＜x2＜x3

解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x；

令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；

在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，所以＝，即x3＝2＞1.所以x1＜x2＜x3.

[跟踪训练1]设函数与的图象的交点为，则所在的区间为(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】C

【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.

第四课时

函数模型的应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．

[典例1]　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

解　(1)描点、作图，如图甲所示：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：

y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．

【跟踪训练】 载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为(－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.

(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；

(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？

解　(1)由题意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8，

所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln .

(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.

将y＝8代入(1)中所得式中，得

8＝8ln .

解得x≈303.3.

答：应装载约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．