高中数学选修2-1知识点总结

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若p，则q”：p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、若原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“若q，则p”.

4、若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p⌝，则q⌝”.

5、若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为“若q⌝，则p⌝”.

6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、p 是q 的充要条件：p q ⇔

p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>, p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>p q ≠> 8、逻辑联结词：

（1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。

（2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。

（2）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．真假性相反 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

假 真 真 真 假

假

假

假

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．

含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．

例：“a=1”是“0,21a x x x

∀>+≥”的（ ）

A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

第二章 圆锥曲线与方程

1、椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于

12

F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的

距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质： 焦点的位

置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()22

2210x y a b a b

+=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率

()2

2101c b e e a a

==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于

12

F F ）

的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质： 焦点的位

置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()22

2210,0x y a b a b

-=>> ()22

2

210,0y x a b a b

-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()10,a A -、()20,a A

轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

离心率 ()2

211c b e e a a

==+> 渐近线方

程

b y x a

=±

a

y x b

=±

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．

8、焦半径公式：

若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02

p

F

x P =+

；

若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02

p F x P =-+

；

若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F

y P =+

； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02

p F y P =-+

． 9、抛物线的几何性质： 标准方程 22y px = ()0p > 22y px =-

()0p > 22x py

= ()0p > 22x py =-

()0p >

图形

顶点 ()0,0

对称轴 x 轴

y 轴

焦点 ,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

0,2p F ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

0,2p F ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

准线方程 2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

离心率 1e =

范围 0x ≥

0x ≤

0y ≥ 0y ≤

解题注意点：

1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。如：

（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆

锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

2、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.

应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)

常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；

②点差法

（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：

1212210021

2,2,22x x y y y y x y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）

① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y

1212AB x y =-==-

② 直线斜率不存在,则

12

AB y y =-.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（121k k =-） 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）

（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

例1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）；

A ．4

21=+PF PF B ．

6

21=+PF PF C ．

10

21=+PF PF D ．122

2

21

=+PF PF

例2已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，3122

1=∆F

PF S ．求该双曲线的标准方程（答：

22

1412

x y -=）

例3 已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若由焦点到直线的距离为3.

（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N ，当|AM|=|AN|时，求m

的取值范围。（答：2

211; (,2)32

x y m +=∈）

例4过点

A （2，1）的直线与双曲线x y 2

2

2

1-=相交于两点

P 1、P 2，

求线段P 1P 2中点的轨迹方程。

第三章 空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算设

()

111,,a x y z =，

()

222,,b x y z =，则

()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．

()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．

()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()

7211a a a x y =⋅=++

()821

cos ,x a b a b a b

x ⋅〈〉=

=

+

()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =

AB =

（10）共面向量定理：,,(,)p a b p xa yb x y R ⇔=+∈共面；

P 、A 、B 、C 四点共面

)

1(=++++=⇔++=⇔+=⇔z y x OC z OB y OA x OP AC

y AB x OA OP AC

y AB x AP 其中

（11）空间向量基本定理

(,,)p xa yb zc x y z R =++∈（不共面的三个向量

,,a b c 构成一组基

底，任意两个向量都共面）

2、平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（,a b 是a,b 的方向向量，

n 是平面α

的法向量）

线线平行：//a b ⇔//a b 线面平行：//a a n α⇔⊥ 或 //a b ，b α⊂ 或 (a xb yc b c =+，是α内不共

线向量）

面面平行：12////n n αβ⇔ 3、垂直

线线垂直：a b ⊥⇔0a b a b ⊥⇔⋅=

线面垂直：//a a n α⊥⇔ 或 , (a b a c b c ⊥⊥，是α内不共线向量）

面面垂直：12n n αβ⊥⇔⊥ 4、夹角问题

线线角 ||

,|||||a b a b a b ⋅<>=

线面角

||

,|||||

a n a n a n ⋅<>=

二面角 121212||,|||||

n n n n n n ⋅<>=（一般步骤①求平面的法向量；②

计算法向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由）） 1. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）

P 到平面α

的距离 ||

||

PA n n ⋅ （其中A 是平面α内任一点，n 为平面α

的法向量）

2. 立体几何解题一般步骤

坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）； 线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；