新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)

1．复数对应的点在虚轴上，则（ ）

A．，或 ．，且

C．，或 ．

2．设，则复数所对应点组成的图形为（ ）

A．单位圆 ．单位圆除去点 ．单位圆除去点 ．单位圆除去点

3．设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）

A． ． ． ．

4．设，则“”是“复数为纯虚数”的(　　)

A．充分必要条件 ．必要不充分条件

C．充分不必要条件 ．既不充分也不必要条件

5．若复数为纯虚数，，则（ ）

A． ． ． ．或

6．若复数是纯虚数，其中是实数，则=(  )

A． ． ． ．

7．若，则复数对应的点在（ ）

A．实轴上 ．虚轴上 ．第一象限 ．第二象限

8．若，且，则的最小值是（ ）

A．2 ．3 ．4 ．5

9．若实系数一元二次方程有两虚数根，且，那么实数的值是（ ）

A． ． ． ．

10．已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为（ ）

A． ． ． ．

11．为虚数单位，复平面内表示复数的点在（ ）

A．第一象限 ．第二象限

C．第三象限 ．第四象限

12．已知复数满足：，那么的最小值为（ ）

A． ． ． ．

二、填空题

13．已知复数 ，，复数z满足，则_____________．

14．若复数满足，则复数的最大值与最小值的乘积为___________．

15．已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.

16．已知复数满足等式（为虚数单位），则的最大值为________.

17．若复数满足，则的代数形式是_____________.

18．复数、分别对应复平面内的点、，且，线段的中点对应的复数为（是虚数单位），则________.

19．关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第____象限.

20．设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.

三、解答题

21．已知i是虚数单位，设复数z满足.

（1）求的最小值与最大值；

（2）若为实数，求z的值.

22．已知，复数，当m为何值时，

（1）z为实数？

（2）z为虚数？

（3）z为纯虚数？

（4）z在复平面内对应的点在第四象限？

23．复数，其中 .

（1）若，求的模；

（2）若是实数，求实数的值.

24．已知复数，是实数．

（1）求复数z；

（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．

25．已知为虚数，为实数．

（1）若为纯虚数，求虚数；

（2）求的取值范围．

26．已知为坐标原点，向量、分别对应复数、，且，.若是实数.

（1）求实数的值；

（2）求以、为邻边的平行四边形的面积.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

利用复数的运算性质和几何意义即可得出.

【详解】

解：由于复数对应的点在虚轴上,

因此, ，解得，或

故选C

【点睛】

熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.

2．D

解析：D

【分析】

根据复数，得到复数z对应点的坐标为：，然后由，利用复数的模求解.

【详解】

因为复数，

所以复数z对应点的坐标为：，

即，

所以，

因为，

又因为，

所以，

所以，

所以，

即，

所以复数z对应点组成的图形为单位圆除去点.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3．B

解析：B

【分析】

由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可.

【详解】

，则，

故选B.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．A

解析：A

【解析】

分析：先化简“复数为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.

详解：因为复数为纯虚数，

所以

因为“x=1”是“x=1”的充要条件，

所以“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.

故答案为A.

点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.

5．B

解析：B

【解析】

分析：由题意得到关于的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数为纯虚数，则：

，即：，

结合，可知：，故.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．A

解析：A

【解析】

因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.

7．B

解析：B

【分析】

首先分析题目，设，将其代入进行化简可得，从而可得结论.

【详解】

设，则，

即，

解得，

所以，它对应的点在虚轴上.

故选B.

【点睛】

本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.

8．B

解析：B

【分析】

由复数的模的几何意义，可得在复平面的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.

【详解】

设，则，

所以，表示圆心为，半径为的圆.

，表示点和之间的距离，

故.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

9．A

解析：A

【分析】

根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：，由此可得的表示形式，根据即可求得的值.

【详解】

因为，所以，

又因为，所以，所以，解得：.

故选A.

【点睛】

实系数一元二次方程，有两虚根为，注意此时的，因此在写方程根时应写成：而不能写成了.

10．B

解析：B

【分析】

先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.

【详解】

因为))，

所以

因为，所以，选B.

【点睛】

本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

11．C

解析：C

【解析】

．故选C

12．A

解析：A

【分析】

先求出复数对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.

【详解】

表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；

表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；

，表示的轨迹是直线，如图所示：

表示直线上的点到圆和圆上的点的距离，

先作出点关于直线的对称点，连接, 与直线交于点.

的最小值为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.

二、填空题

13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模

解析：

【分析】

根据复数的四则运算公式，求得，再结合复数的模的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，复数 ，，

则，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

14．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为

解析：24

【分析】

设，（），结合条件得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义求解即可．

【详解】

设，（）则由,

得，即．

复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，

表示复数在复平面内对应点到点的距离

所以最大值为．

最小值为

故最大值与最小值的乘积为

故答案为：

【点睛】

本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.

15．【分析】写出P点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z点对应的复数【详解】解：由题意得P点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题

解析：

【分析】

写出P点对应的复数为，根据复数乘法的几何意义可写出Z点对应的复数.

【详解】

解：由题意得，P点对应的复数为，

由复数乘法的几何意义得：

，

故填.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.

16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到

解析：

【分析】

根据复数的几何意义得表示以为圆心，1为半径的圆，表示复数所对应的点到点的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.

【详解】

解：根据复数的几何意义得表示以为圆心，1为半径的圆，

表示复数所对应的点到点的距离，

点到圆心的距离为，

所以的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.

17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题

解析：

【分析】

先写出的三角形式，再进行化简整理即可.

【详解】

设，则，

∴，

∴，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数三角形式的定义，属基础题.

18．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛

解析：

【解析】

【分析】

设为坐标原点，根据可知以线段、为邻边的平行四边形是矩形，且线段的中点为，由此可计算出的值.

【详解】

设为坐标原点，由知，以线段、为邻边的平行四边形是矩形，即为直角，

又是斜边的中点，且，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段、为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．二【解析】分析：先根据x的不等式mx2-nx+p>0(mnp∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp∈R

解析：二.

【解析】

分析：先根据x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2)得到再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.

详解：∵mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),

即m<0,p>0.

故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.

故答案为二.

点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.

20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和

解析：

【解析】

分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.

详解：因为，所以，

，故答案为.

点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和

三、解答题

21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析

【分析】

（1）根据题意，可知的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果；

（2）根据为实数，列出等量关系式，求得结果.

【详解】

（1）设，根据，

所以有，

所以的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，

所以，

其表示点到的距离，

所以其最大值为圆心到的距离加半径，

最小值为圆心到的距离减半径，

所以最大值为，最小值为；

（2），

因为为实数，所以，

即，所以或，

又因为，

所以（舍去），，，，

所以或或.

【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.

22．（1）或（2）且（3）（4）

【分析】

由题意得解得，

（1）由，求出m即可；

（2），即可得出m；

（3）由，解得范围；

（4）根据象限特征，由，解得范围.

【详解】

解：，

（1）由得或，

即当或时，z为实数；

（2）由得且，

即当且时，z为虚数；

（3）由得，

即当时，z为纯虚数；

（4）由解得，

即当时，z在复平面内对应的点在第四象限.

【点睛】

本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．

23．（1）（2）或.

【解析】

（1），则，

则，

∴的模为.

（2）

因为是实数，所以，解得或

故或.

24．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据复数的除法运算，化简得，结合是实数，列出方程，即可求解；

（2）根据是方程的根，得到，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.

【详解】

（1）因为，

可得，

又由是实数，可得，解得，所以．

（2）因为是方程的根，

所以，即，

可得，解得.

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

25．（1）或；（2）.

【分析】

（1）由于为虚数，可设，，，根据为纯虚数，求得的值，再由为实数求出的值，即得虚数；

（2）由为实数且，可得，根据，求得的范围，根据复数的模的定义，化简为，进而求出的范围，即可得出的取值范围．

【详解】

解：由于为虚数，可设，，，

（1）则，

由为纯虚数，得，

，

又因为为实数，

则，

得，，

所以或.

（2），

因为为实数，

，

，，

，

则，解得：，

，

由于，则，所以，

即，

所以的取值范围为.

【点睛】

本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．

26．（1）；（2）.

【分析】

（1）求出和，由复数是实数，可求得实数的值；

（2）求出和，利用平面向量的数量积求出，进一步求出，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.

【详解】

（1）由题意可得，

，则，

由于复数是实数，则，解得；

（2）由（1）可得，，则点，，

因此，以、为邻边的平行四边形的面积为.

【点睛】

本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.