2022-2023学年北京市房山区初三数学第一学期期末试卷及解析

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

1．如图，在中，，如果，，，那么的值为　　

A．4 B．6 C．8 D．9

2．在中，，如果，，那么的值为　　

A． B． C． D．

3．把二次函数化为的形式，下列变形正确的是　　

A． B． C． D．

4．如图，点、、是上的三点，，则的度数是　　

A． B． C． D．

5．堤的横断面如图．堤高是5米，迎水斜坡的长时13米，那么斜坡的坡度是　　

A． B． C． D．

6．点，，，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么，的大小关系是　　

A． B． C． D．

7．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：　　

A． B． C． D．

8．如图，在平面直角坐标系中，，两点同时从原点出发，点以每秒2个单位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒1个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论：

①的大小始终不变；

②始终经过原点；

③半径的长是时间的一次函数；

④圆心的运动轨迹是一条抛物线；

⑤始终平行于直线．

其中正确的有　　

A．①②③④ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③⑤

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9．二次函数图象的顶点坐标为 　　．

10．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则的值为 　　．

11．在正方形网格中，的位置如图所示，则为 　　．

12．抛物线与轴只有一个交点，则的值为　　．

13．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于，两点，测得为，为，则该圆形镜子的半径是 　　．

14．如图，在矩形中，若，，且，则的长为 　　．

15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：

“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”

其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”

根据题意，该内切圆的直径为　　步．

16．在平面直角坐标系中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点，直线与轴交于点，当取得最小值时，的值为 　　．

三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）

17．．

18．抛物线过点和．

（1）求，的值；

（2）直接写出当取何值时，函数随的增大而增大．

19．如图，中，，．

（1）求的长．

（2）是边上的高，请你补全图形，并求的长．

20．下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．

已知：如图，及外一点．

求作：过点的的切线为切点）．

作法：①连接与交于点，延长与交于点；

②以点为圆心，长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，在上方两弧交于点；

③连接，，与交于点；

④作直线．

则直线即为所求作的的切线．

请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成以下证明过程：

证明：由作图可知，，，

点 　　为线段中点，

又点在上，

是切线　　

21．如图，割线与交于点，，割线过圆心，且．若，的半径，求弦的长．

22．电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出电视塔的高度（结果精确到．

（参考数据：，，，，，．

23．在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧，测得弧所对的弦长为，弧中点到弦的距离为．设弧所在圆的圆心为，半径于，连接．求这个盏口半径的长（精确到．

24．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．

（1）求的值；

（2）点，是图象上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点．

①当时，判断与的数量关系，并说明理由；

②当时，直接写出的取值范围．

25．如图，是的直径，直线与相切于点．过点作于，线段与相交于点．

（1）求证：是的平分线；

（2）若，，求的长．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）抛物线上存在两点，，若，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点，，，当时，求的取值范围．

27．已知为等腰直角三角形，，．点为平面上一点，使得．点为中点，连接．

（1）如图，点为内一点．

①猜想的大小；

②写出线段，，之间的数量关系，并证明；

（2）直接写出线段的最大值．

28．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点，点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点，，组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．

（1）已知抛物线．

①若点横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为 　　，“纵径”长为 　　；

②若点横坐标为，用表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时的值；

（2）已知抛物线，若点在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时的取值范围．

答案与解析

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

1．解：，

，即，

解得，，

，

故选：．

2．解：，，，

由勾股定理得，，

，

故选：．

3．解：，

，

．

故选：．

4．解：对的圆心角为，对的圆周角为，，

，

故选：．

5．解：由勾股定理得：米．

则斜坡的坡度．

故选：．

6．解：反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内随的增大而减小，

，

，、，两点均位于第三象限，

．

故选：．

7．解：图中的管道中心线的长为，

故选：．

8．解：①由题意得：，，

则，

的大小始终不变，正确；

②是圆的直径，

则所对的圆周角为，即，

始终经过原点，正确；

③由点、的坐标，根据中点坐标公式得：点，

则，

即的长度是时间的一次函数，正确；

④由③知，点，

则点在直线上，故④错误；

⑤设直线的表达式为：，

则，解得：，

故直线的表达式为：，

始终平行于直线，正确，

故选：．

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9．解：二次函数图象的顶点坐标为：．

故答案为：．

10．解：反比例函数的图象经过点和点，

，解得，

故答案为：．

11．解：如图：

在中，，，

，

，

故答案为：．

12．解：抛物线与轴只有一个交点，

△，

；

．

故答案为：1．

13．解：如图，连接，

，

为圆形镜子的直径，

，，

，

圆形镜子的半径为，

故答案为：5．

14．解：四边形为矩形，

，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

．

故答案为：．

15．解：根据勾股定理得：斜边，

内切圆直径（步，

故答案为：6．

16．解：连接，如图：

在中，令得，

，

与相切，

，

，

最小时，最小，此时轴，即，与重合，

过作轴于，如图：

，，，

，

，

，

，，

，，

把，代入得：

，

解得，

由对称性可得，当在第四象限时，，

故答案为：或．

三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）

17．解：原式

．

18．解：（1）抛物线过点和，

，

解得，

（2）由（1）知，，，

抛物线的解析式为，

顶点坐标为：，

，

抛物线开口向下，

当时，函数随的增大而增大．

19．解：（1）过点作，垂足为，

，，

，

在中，，

，

，

，

的长为；

（2）如图：

，

，

在中，，

，

的长为．

20．解：（1）如图：

即为所求；

（2）证明：由作图可知，，，

点为线段中点，

（三线合一），

又点在上，

是切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），

故答案为：，三线合一，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．

21．解：作于，

，

，的半径，

，

，

，

，

，

，

．

22．解：由题意得：

米，米，，

设米，

在中，，

（米，

米，

在中，，

，

解得：，

经检验：是原方程的根，

（米，

电视塔的高度约为386米．

23．解：由题意得：，，

，

设这个盏口半径的长为，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

答：这个盏口半径的长为．

24．解：（1）把点代入得：，

解得：；

（2）①，理由如下：

由（1）可得，反比例函数解析式为：，

当时，，

点的坐标为，

过点作轴的垂线交轴于点，

，

过点作轴的垂线交直线于点，

当时，，

点的坐标为，

，

；

②设，联立和并解得：，

当时，则点在的上方，

当时，即，

解得：，

当时，则点在的下方，

当时，即，

解得：，

故：或．

而点在第二象限，即，

故．

25．（1）证明：连接，

直线与相切于点

，

，

，

，

，

，

，

，

，即是的平分线；

（2）连接，连接交于点，

为直径，

，

，

由（1）知，为的中点，

，

，

，

，

．

26．解：（1）抛物线的对称轴；

（2）当时，

由知：点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，即，

即，无解；

当时，

同理可得：，

即，

，即抛物线有最高点；

（3）由，知，，，

由（2）知，，

则为抛物线的最高点，

若，则、均为负数，与不符，故，

则、同号，

即，

解得：，

而，

．

27．解：（1）①如图，连接，

为等腰直角三角形，，点是的中点，

，，，

，

点，点，点，点四点共圆，

；

②，理由如下：

如图，过点作，交于，

，，

，，

，，

又，

，

，

，，

，

；

（2）如图，取的中点，连接，

，

，

，

点在以为半径的圆上运动，

点在的延长线时，有最大值，

即的最大值为．

28．解：（1）①如图，设线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为，则点重合，

点，则点，

则圆的半径，则，

由点的坐标知，，则，

故答案为：4，6；

②若点横坐标为，则点，则点，

则圆的直径为，

则，

则，

解得：（舍去）或，

即；

（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为，即点，

联立和并解得：，

当时，，即点，

则点，则，圆的半径为，

则，

则，

解得：．

点在点左侧，，即，

．