空间向量与立体几何测试题

一、选择题(每小题5分,共50分)

1. 若则是的    （    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件   C．充要条件     D．既不充分又不必要条件

2. 若, ,  则=    （    ）

    A．  4            B．  15            C．  7            D．  3

3. 已知,均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（    ）

A．        B．             C．            D．4

4.下列结论恒成立的是            （    ）

①若平面α内两条直线与平面内两条直线分别平行，则α∥　　

②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行　　　

③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等　　　　

④若，则A,B,C三点共线。

A．①②　　　　　B．②③　　　　　C．③④　　　　　　D．②④

5. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，

能得到M∈平面ABC的充分条件是 （    ）                                               ）

（A）；  （B）；

（C）；        （D）

6．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关(　　)．

A．相交      B．平行         C．垂直                D．不能确定

7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(   )

A.     B.     C.     D. 

8．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于(   )

A.     B.      C.     D. 

9．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(    )

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

10.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(   )

A．AC⊥BE                    

 B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥ABEF的体积为定值    

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．在空间四边形ABCD中，＝ａ－2ｃ，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则＝________.

12．到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________．

13. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是       .

14. 向量，，则和所夹角是        

15．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，①＋＋＝；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．

三、解答题(本题共6小题，共75分)

16.设向量，计算，并确定的关系，使与z轴垂直

17. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．

18.如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：

（1）BC与平面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

19. 如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

    (1) 求证：AB平面PCB；   (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小； 

    (3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

20.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQ⊥QD？    （3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，求二面角Q-PD-A的大小．

21．如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．