初中数学等腰三角形及路径最短问题

一．选择题（共14小题）

1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12    B．16    C．20    D．16或20

2．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．50°    B．80°    C．50°或80°    D．40°或65°

4．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）

A．40°，40°    B．80°，20°

C．50°，50°    D．50°，50°或80°，20°

5．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．3

6．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．7cm    B．9cm    C．12cm或者9cm    D．12cm

7．下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（　　）

A．1，1，2    B．2，2，5    C．3，3，5    D．3，4，5

8．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

9．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　）

A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等

B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

D．以上说法都是正确的

10．以下各命题中，正确的命题是（　　）

（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；

（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；

（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；

（4）等边三角形是轴对称图形；

（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

A．（1）（2）（3）    B．（1）（3）（5）    C．（2）（4）（5）    D．（4）（5）

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（　　）

A．30°    B．36°    C．38°    D．45°

12．下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③    D．①②③④

13．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

A．    B．    C．    D．

14．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

二．填空题（共7小题）

15．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为　   　．

16．等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为　   　．

17．等腰三角形的对称轴是　   　．

18．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是　   　cm或　   　cm．

19．如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α=　   　°（填一个即可）

20．已知实数a、b满足|a﹣3|+=0，则以a、b的值为边长的等腰三角形的周长为　   　．

21．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=　   　．

三．解答题（共2小题）

22．已知：如图所示，

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．

（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．

23．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）

如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．

初中数学等腰三角形及路径最短问题

参与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12    B．16    C．20    D．16或20

【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长=8+8+4=20．

故选C．

2．（2017•临沂模拟）如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；

②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；

③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，

1+1+2=4，

故选：D．

3．（2016•杭州二模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．50°    B．80°    C．50°或80°    D．40°或65°

【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．

有两种情况：

①顶角∠A=50°；

②当底角是50°时，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=50°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，

∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．

故选：C．

4．（2016•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）

A．40°，40°    B．80°，20°

C．50°，50°    D．50°，50°或80°，20°

【解答】解：∵外角等于100°，

∴这个内角为80°，

当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；

当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；

故选D．

5．（2016•黄石二模）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．3

【解答】解：作CD⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，

∴AD=1，

∴在直角△ADC中，

CD===，

∴S△ABC=×2×=；

故选C．

6．（2016秋•大石桥市校级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．7cm    B．9cm    C．12cm或者9cm    D．12cm

【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；

②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．

∴其周长是12cm．

故选D．

7．（2016秋•新会区期末）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（　　）

A．1，1，2    B．2，2，5    C．3，3，5    D．3，4，5

【解答】解：A、∵1+1=2，无法构成三角形，故此选项错误；

B、∵2+2＜5，无法构成三角形，故此选项错误；

C、∵3+3＞5，3=3，故组成等腰三角形，此选项正确；

D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．

故选：C．

8．（2016秋•南阳期末）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，

∴DB=DO，OE=EC，

∵DE=DO+OE，

∴DE=BD+CE=5．

故选A．

9．（2016春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　）

A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等

B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

D．以上说法都是正确的

【解答】解：“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；

A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．

故选C．

10．（2016秋•和平区期中）以下各命题中，正确的命题是（　　）

（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；

（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；

（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；

（4）等边三角形是轴对称图形；

（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

A．（1）（2）（3）    B．（1）（3）（5）    C．（2）（4）（5）    D．（4）（5）

【解答】解：（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则三边长为：9cm.9cm，4cm，或4cm，4cm，9cm，因为：4+4＜9，则它的周长只能是为22cm，故此命题错误；

（2）三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，故此命题错误；

（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等错误，必须是夹角；

（4）等边三角形是轴对称图形，此命题正确；

（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确；

如图：

∵AD∥CB，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵AD是角平分线，

∴∠1=∠2，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

即：△ABC是等腰三角形．

故选：D．

11．（2015秋•泸县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（　　）

A．30°    B．36°    C．38°    D．45°

【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，

∴∠B=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣108°）=36°，

∵BD=AB，

∴∠BAD=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，

∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°．

故选B．

12．（2015秋•南开区期末）下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③    D．①②③④

【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；

②这是等边三角形的判定2，故正确；

③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；

④根据等边三角形三线合一性质，故正确．

所以都正确．

故选D．

13．（2015秋•无棣县期末）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．

故选D．

14．（2015秋•滕州市校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

【解答】解：∵P与P1关于OA对称，

∴OA为PP1的垂直平分线，

∴MP=MP1，

P与P2关于OB对称，

∴OB为PP2的垂直平分线，

∴NP=NP2，

于是△PMN周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=6．

故选C．

二．填空题（共7小题）

15．（2015秋•潮南区期末）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为　7.5cm或11cm　．

【解答】解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；

②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．

故答案为：7.5cm或11cm．

16．（2015秋•无锡期末）等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为　40°或70°　．

【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数==70°；

当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，

故它的底角的度数是70°或40°．

故答案为：40°或70°．

17．（2015春•普陀区期末）等腰三角形的对称轴是　底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线　．

【解答】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．

故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．

18．（2015春•历下区期末）等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是　26　cm或　22　cm．

【解答】解：（1）当腰是6cm时，周长=6+6+10=22cm；

（2）当腰长为10cm时，周长=10+10+6=26cm，

所以其周长是22cm或26cm．

故填22，26．

19．（2014•曲靖）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α=　130　°（填一个即可）

【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=50°，

∴当AB=AC时，∠ACB=∠ABC=50°，

∵a∥b，

∴∠α=130°，

故答案为：130．

20．（2014春•曲靖期末）已知实数a、b满足|a﹣3|+=0，则以a、b的值为边长的等腰三角形的周长为　15　．

【解答】解：根据题意得，a﹣3=0，b﹣6=0，

解得a=3，b=6．

①若a=3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，

∵3+3=6，

∴不能组成三角形，

②若a=6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，

能组成三角形，

周长=6+6+3=15．

故答案为：15．

21．（2014秋•随州期末）如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=　75°　．

【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，

∴∠BCA=∠A=15°，

∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，

∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，

∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，

∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，

∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，

∴∠MEF=∠EFD+∠A=60°+15°=75°．

故答案为：75°．

三．解答题（共2小题）

22．（2014•红塔区模拟）已知：如图所示，

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．

（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．

【解答】解：（1）

分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：

A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）

（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，

（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．

23．（2012秋•樟树市期末）作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）

如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．

【解答】解：作图如右图：

牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．