将军饮马问题(讲)

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．

【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．

3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?

4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小

5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（　　 ）

　　A. 15　　　 B 7.5　　　 C. 10　　　 D. 24

6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.

练习

1、已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．

2、如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

3、 已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小．

4、如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．

5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。

6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

7、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

8、,当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值.

9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时，求a的值.

10、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．

练习

1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（   ）

   A．1个              B．2个           C．3个              D．4个

2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

A．等边三角形   B．矩形           C．等腰梯形      D．平行四边形

3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（     ）

A．1个               B．2个               C．3个               D．4个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是(    )

(A)对应点连线与对称轴垂直        (B)对应点连线被对称轴平分

(C)对应点连线被对称轴垂直平分    (D)对应点连线互相平行

6、对右图的对称性表述，正确的是（    ）．

A．轴对称图形      B．中心对称图形    C．既是轴对称图形又是中心对称图形                        D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

7、如图，△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的，则这个变换过程是

（A）平移　　（B）轴对称   （C）旋转　  （D）平移后再轴对称

8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S关于的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

   此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

∴

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

10．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；，

（3）将△A2B2C2平移得到△ A3B3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3

 ，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出△ A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标。

【答案】

（1）C1(-1,-3)   (2)C2(3,1)   (3)A3(2,-2),B3(2,-1)

11、分别按下列要求解答：

（1）在图1中,将△ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到△A1B1 C1.画出△A1B1C1；

（2）在图2中,△ABC经变换得到△A2B2C2.描述变换过程.

【答案】

(1) 如图．          

(2) 将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移

2个单位,得到△A2B2C2．（变换过程不唯一）

12、(1)观察发现

    如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

    做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

    再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

    做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这

  点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为        ．   

题18(a)图                     题18(b)图                

(2)实践运用

    如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

题18(c)图                        题18(d)图

 (3)拓展延伸 

    如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留

作图痕迹，不必写出作法．  

【答案】解：（1）；

（2）如图：

作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是的中点，

所以∠AEB=15°，

因为B关于CD的对称点E，

所以∠BOE=60°，

所以△OBE为等边三角形，

所以∠OEB=60°，

所以∠OEA=45°，

又因为OA=OE，

所以△OAE为等腰直角三角形，

所以AE=.

（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，

13、如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相等？