湖南沙市2017届高三数学下学期第八次月考试卷文解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|y=}，则A∩B=（）

A．{1，2} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{3，4，5}

2．复数的虚部等于（）

A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i

3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A．45 B．50 C．55 D．60

4．下列说法正确的是（）

A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”

B．“x＞2”是“”的充要条件

C．“若tanα≠，则”是真命题

D．∃x0∈（﹣∞，0），使得3＜4成立

5．欧阳修《煤炭翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．

可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）

A． B． C． D．

6．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）

A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]

7．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，

则=（）

A．20 B．15 C．9 D．6

8．若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）

A．a c＞b c B．ab c＞ba c C．log a b＞log b a D．log a c＜log b c

9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在区间（﹣，）上单调递增，则ω的取值范围为（）

A．（0，1] B．[1，2）C．[，2） D．（2，+∞）

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

11．设A、B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线C上

异于A、B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则取得最小值时，双曲线C的离心率为（）

A．2 B．C．D．

12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣（m+1）f（x）+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）

A．（0，e）B．（1，e）C．（e，2e） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..

13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是．

14．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=5，b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C的大小是．

15．已知P为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，则的最小值为．

16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，

规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A，B之间的“平方弯曲度”，设曲线y=e x+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，则φ（A，B）的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知各项为正的数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足S n=．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设数列{b n}满足b n=，它的前n项和为T n，求证：对任意正整数n，都有T n ＜1．

18．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

19．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，

得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

（I）求证：OD⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线MD与平面ABD所成角的正弦．

20．如图，曲线Γ由曲线C1： +=1（a＞b＞0）和曲线C2：：﹣=1（a＞0，b ＞0，y≤0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，已知F2（2，0）F4（6，0）．

（1）求曲线C1和C2的方程

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求证：弦AB的中点M 必在曲线C2的另一条渐近线上．

（3）若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求△CDF1面积的最大值．

21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，f′（x）＜1恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐

标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）﹣1=0，曲线C的参数方程是

（t为参数）．

（1）求直线l和曲线C的普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+．

[选修4-5不等式选讲]

23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．

（Ⅰ）求m的最大值；

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．2016-2017学年湖南沙市周南中学高三（下）第八次月考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|y=}，则A∩B=（）

A．{1，2} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{3，4，5}

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】由解析式求出函数的定义域B，由交集的运算求出A∩B．

【解答】解：由3﹣x≥0得x≤3，则B={x|y=}={x|x≤3}，

又集合A={1，2，3，4}，则A∩B={1，2，3}，

故选：B．

2．复数的虚部等于（）

A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解： =，

则复数的虚部等于﹣1．

故选：C．

3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A．45 B．50 C．55 D．60

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】求出，代入回归方程计算，从而得出p的值．

【解答】解： ==5，

∴=6.5×5+17.5=50，

∴=50，解得p=60．

故选：D．

4．下列说法正确的是（）

A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”

B．“x＞2”是“”的充要条件

C．“若tanα≠，则”是真命题

D．∃x0∈（﹣∞，0），使得3＜4成立

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】A，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”；

B，由“x＞2”可以得到“”，由“”不能推出”x＞2”

C，若tanα≠，则，则；

D，当x0∈（﹣∞，0）时，3＞4；

【解答】解：对于A，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故错；

对于B，由“x＞2”可以得到“”，由“”不能推出”x＞2”，故错；

对于C，若tanα≠，则，则，故正确；

对于D，∵当x0∈（﹣∞，0）时，∴3＞4，故错；

故选：C

5．欧阳修《煤炭翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．

可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）

A． B． C． D．

【考点】CF：几何概型．

【分析】由题意分别求圆和正方形的面积，由几何概型的概率公式可得．

【解答】解：由题意可得铜钱的面积S=π×（）2=π，

边长为0.5cm的正方形孔的面积S′=0.52=，

∴所求概率P==

故选：A

6．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）

A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]

【考点】EF：程序框图．

【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．

【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；

第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，

当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．

故选：C．

7．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，

则=（）

A．20 B．15 C．9 D．6

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】根据图形得出=+=，

==， =•（）=2﹣，

结合向量结合向量的数量积求解即可．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，

∴根据图形可得： =+=，

==，

∴=，

∵=•（）=2﹣，

2=22，

=22，

||=6，||=4，

∴=22=12﹣3=9

故选：C

8．若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）

A．a c＞b c B．ab c＞ba c C．log a b＞log b a D．log a c＜log b c

【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．

【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．

【解答】解：∵0＜a＜b＜1，c＞1，

∴a c＜b c，ab c＞ba c，

∴log a b＜log b a，log a c＞log b c，

故选：B

9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在区间（﹣，）上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．（0，1]

B ．[1，2）

C ．[，2）

D ．（2，+∞）

【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f （x ）=2sin （ωx+），在区间（﹣

，

）上单调递增，即可且

，k ∈Z ，根据ω＞0，

可得ω的取值范围．

【解答】解：函数f （x ）=

sin ωx+

cos ωx （ω＞0），

化简可得：f （x ）=2sin （ωx+），

∵在区间（﹣，

）上单调递增，

∴

且

，k ∈Z ，

解得： k ∈Z ，

∵ω＞0，

当k=0时，可得0＜ω≤1， 故选A

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为2，即可求出该四棱锥的体积．

【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为2的等腰直角三角形，

高为2，所以它的体积V==，

故选A．

11．设A、B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线C上

异于A、B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则取得最小值时，双曲线C的离心率为（）

A．2 B．C．D．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】由题意求得直线AP及PB斜率，根据对数的运算性质即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得t=1时，h（t）取最小值， =1，利用双曲线的离心率公式即可求得答案．

【解答】解：由A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），

则﹣=1，y02=b2（），

则m=，n=，

则mn==，

ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，

则=+ln=+2ln，

设=t，t＞0，

则h（t）=+2lnt，t＞0，

h′（t）=﹣=，

t＞1时，h（t）递增；0＜t＜1，h（t）递减．则t=1时，h（t）取最小值，

∴=1时

则双曲线的离心率e===，

故选：C．

12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣（m+1）f（x）+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）

A．（0，e）B．（1，e）C．（e，2e） D．（e，+∞）

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，根据方程可得f（x）=1或f（x）=m，根据图象可知f（x）=m有三解，从而得出m的范围．

【解答】解：当x＞1时，f（x）=，f′（x）=，

∴f（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，

∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=e，

同理可得f（x）在（0，1）上单调递增，

作出f（x）的函数图象如图所示：

由f2（x）﹣（m+1）f（x）+m=0得f（x）=1或f（x）=m，

由图象可知f（x）=1只有1解，

∴f（x）=m有三个解，∴m＞e．

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..

13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是﹣2 ．

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，得A（﹣1，﹣1），

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，

由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．

14．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=5，b+c=2a，3sinA=5sinB，

则角C的大小是．

【考点】HP：正弦定理．

【分析】由正弦定理化简已知等式可得3a=5b，进而可求b，c的值，利用余弦定理可求cosC 的值，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．

【解答】解：∵3sinA=5sinB，

∴由正弦定理可得：3a=5b，

又∵a=5，b+c=2a，∴b=3，c=7，

∴cosC===﹣，

又∵C∈（0，π），

∴C=．

故答案为：．

15．已知P为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为

原点，则的最小值为．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【分析】圆心C（2，2）到直线l的距离d=3，O到直线l的距离h=，当C、P、O、Q

共线，且OQ⊥l时，取最小值．

【解答】解：P为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O 为原点，

圆心C（2，2）到直线l的距离d==3，

O到直线l的距离h==，

如图，当C、P、O、Q共线，且OQ⊥l时，

|OQ|=，|OP|=3=2，

此时取最小值为|2|=．

故答案为：．

16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，

规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A，B之间的“平方弯曲度”，设曲线

y=e x+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，则φ（A，B）的最大值为．【考点】3O：函数的图象．

【分析】根据定义得出φ（A，B）的解析式，利用基本不等式求出最大值．

【解答】解：k A﹣k B=（e+1）﹣（e+1）=e﹣e=e（e﹣1），

|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+[（e﹣e）+（x1﹣x2）]2=1+[e（e﹣1）+1]2

=e（e﹣1）2+2e（e﹣1）+2，

∴φ（A，B）==≤

=，

当且仅当e（e﹣1）=即x2=ln时取等号．

故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知各项为正的数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足S n=．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设数列{b n}满足b n=，它的前n项和为T n，求证：对任意正整数n，都有T n ＜1．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）由，得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣

=，从而，由数列{a n} 1

各项为正，得a n﹣a n﹣1=1，从而数列{a n}是以a1=1为首项，公差为1的等差数列，由此能求出a n．

（2）b n=＜=，由此利用裂项求和法能证明对任意正整数，都有T n ＜1．

【解答】解：（1）∵各项为正的数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足S n=．

∴，解得a1=1，或a1=0（舍），

当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==，

∴=，

∵数列{a n}的各项为正，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，

∴数列{a n}是以a1=1为首项，公差为1的等差数列，

∴a n=1+（n﹣1）×1=n．

（2）证明：∵数列{b n}满足b n=，∴，

由（n∈N*）…

得：T n=

＜（）+（）+…+（）

=1﹣＜1．

∴对任意正整数，都有T n＜1．

18．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

【考点】B8：频率分布直方图．

【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．

（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．

【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300=800X﹣39000，

当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，

∴T=．

（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．

由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．

19．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，

得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

（I）求证：OD⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线MD与平面ABD所成角的正弦．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）只需证明OD⊥AC，DO⊥OM，即可证得OD⊥面ABC．

（Ⅱ）设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD所成的角为α

由V M﹣ADB=V D﹣ABM求出h，即sin即可

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC …

△ADC中，AD=DC=4，∠ADC=120°，∴OD=2，

又M是DC中点，∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM…

OM，AC⊂面ABC，OM∩AC=0，∴OD⊥面ABC …

（Ⅱ）△ABM中，AB=4，BM=2，∠ABM=120°

s△ABM==2

由（Ⅰ）得OD⊥面ABC

∴V M﹣ADB=V D﹣ABM==．

设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD所成的角为α．

∵，∴A到DB的距离d==．

∴

∴V M﹣ADB==

∴，即sin=

∴直线MD与平面ABD所成角的正弦为．

20．如图，曲线Γ由曲线C1： +=1（a＞b＞0）和曲线C2：：﹣=1（a＞0，b ＞0，y≤0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，已知F2（2，0）F4（6，0）．

（1）求曲线C1和C2的方程

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求证：弦AB的中点M 必在曲线C2的另一条渐近线上．

（3）若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求△CDF1面积的最大值．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】（1）由F2（2，0），F4（6，0），可得，解得a，b的值；

（2）曲线C2的渐近线为y=±x，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=（x﹣m），与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的

关系、中点坐标公式，只要证明y0=﹣x0即可．

（3）设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1）∵F 2（2，0），F 4（6，0），

∴⇒，

则曲线Γ的方程为+=1（y ≤0）和﹣=1（y ＞0）；

（2）证明：曲线C 2的渐近线为y=±x ，如图，

设直线l ：y=（x ﹣m ）

则⇒2x 2﹣2mx+（m 2﹣a 2）=0，

△=（2m ）2﹣4•2•（m 2﹣a 2）=8a 2﹣4m 2＞0⇒﹣a ＜m ＜a ，

又由数形结合知m ≥a ，a ≤m ＜a ，

设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）

则x 1+x 2=m ，x 1x 2=，

∴x 0==m ，y 0=（x 0﹣m ）=﹣•，

∴y 0=﹣x 0，

即弦AB 的中点M 必在曲线C 2的另一条渐近线y=﹣x 上．

（3）由（1）知，曲线C 1为+=1（y ≤0），点F 4（6，0）．

设直线l 1的方程为x=ny+6（n ＞0）

由⇒（4n 2+5）y 2+48ny+=0，

△=（48n ）2﹣4×（4n 2+5）＞0⇒n 2＞1，

设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），

由韦达定理：y 3+y 4=﹣，y 3y 4=，

|y3﹣y4|==16•．

S=|F1F4|×|y3﹣y4|=×8×16×=×

令t=＞0，∴n2=t2+1，

S=×=×，

∵t＞0，∴4t+≥12，当且仅当t=即n=时等号成立．

∴n=时，△CDF1面积的最大值为．

21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，f′（x）＜1恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；

（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．

【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a．

若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，

若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．

综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；

（2）由于a=1，所以f′（x）＜1⇔（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1，

当x＞0时，e x﹣1＞0，故（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1⇔k＜+x﹣﹣﹣﹣①，

令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，

所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，

即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，

设此零点为a，则a∈（1，2）．

当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；

所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得e a=a+2，

所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．

故整数k的最大值为2．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐

标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）﹣1=0，曲线C的参数方程是

（t为参数）．

（1）求直线l和曲线C的普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程化为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程．

（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到

，由此利用韦达定理能求出的值．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，

得x﹣y﹣1=0…

因为消去t得y2=4x，所以直线l和曲线C的普通方程分别为x﹣y﹣1=0和y2=4x．…

（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，

设直线l的参数方程：（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．

，

，…

∴====1．…

[选修4-5不等式选讲]

23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．

（Ⅰ）求m的最大值；

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3H：函数的最值及其几何意义．

【分析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．

（Ⅱ）构造柯西不等式即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|

当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，

令|m﹣3|≥2m，

∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．

解得：m≤﹣3，或m≤1

∴m的最大值为1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．

由柯西不等式：（ ++1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，

∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．

即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．