2006年高考数学(上海)卷

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 计算：           . 

2. 方程的解        . 

3. 函数的反函数                          .

4. 不等式的解集是                            . 

5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共  点，则的取值范围是                   . 

6. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则   当时，          . 

7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首   尾必须播放公益广告，则共有        种不同的播放方式（结果用数值表示）.

8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为        . 

9. 在△中，已知，三角形面积为12，则        .

10. 若向量的夹角为，，则       .

11. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原   点，则三角形面积的最小值为        .

12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；   反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则               （结论用数学式子表示）.

二．选择题（本大题满分16分）

13. 抛物线的焦点坐标为

   （A）.       （B）.       （C）.       （D）.

14. 若，则下列不等式成立的是

   （A）.        （B）.      （C）.（D）.

15. 若，则“”是“方程表示双曲线”的

    （A）充分不必要条件.              （B）必要不充分条件.

   （C）充要条件.                     （D）既不充分也不必要条件.

16. 若集合，则A∩B等于(    )

   （A）.    （B）.    （C）.        （D）.

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (本题满分12分)

在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

18. (本题满分12分) 

已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

    已知函数.

（1）若，求函数的值； 

（2）求函数的值域. 

20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

    学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

     设函数.

（1）在区间上画出函数的图像；

（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；

（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.

已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（1）若，求；

（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

参

一．  1..           2. 2.            3.. 

4..     5..      6..  

  7. 48.           8..           9..  

10. 2.           11. 4.     

 12.和

二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

17. [解法一] 连接，

       为异面直线与所成的角.          ……4分

       连接，在△中，，               ……6分

       则

                   .     ……10分

        异面直线与所成角的大小为.                                 ……12分

[解法二] 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.                                                        ……2分

       则， 

 得.                             …6分

       设与的夹角为，

       则，    ……10分

       与的夹角大小为，  

       即异面直线与所成角的大小为.  12分

18. [解法一]，              ……4分

       .                                          ……8分

       若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.  

       ，

        所求的一个一元二次方程可以是.                 ……12分

   [解法二] 设

        ，

        得   

        ，                                                 ……4分

        以下解法同[解法一].

19. [解]（1），                   ……2分

                                      ……4分

.                                                    ……8分

    （2），                                         ……10分

     ，     ，        ，

      函数的值域为.                                       ……14分

20. [解]（1）设曲线方程为，   由题意可知，.   .                        ……4分

     曲线方程为.                                       ……6分

   （2）设变轨点为，根据题意可知

       得，

      或（不合题意，舍去）.

           .                         ……9分

      得或（不合题意，舍去）.   

点的坐标为，                   ……11分

        .

    答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.                                                                   ……14分

21. [解]（1）

                                 ……4分

      （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.                          ……8分

    由于.                          ……10分

  （3）[解法一] 当时，.

               ，                         ……12分

       . 又，

       ①  当，即时，取，

       .

       ，

       则.                                                  ……14分

       ②  当，即时，取，    ＝.

    由 ①、②可知，当时，，.

    因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.  ……16分

    [解法二] 当时，.

由得，

    令，解得或，                  ……12分

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.       ……14分

    如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.                                          ……16分

22. [解]（1）.                      …… 4分

   （2），                        …… 8分

    ，

    当时，.                     …… 12分

   （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.      …… 14分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分

研究的结论可以是：由，

    依次类推可得  

    当时，的取值范围为等.                        …… 18分