高中数学高考导数题型分析和解题方法

一、考试内容

导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 在区间上的最大值是  2               

2．已知函数处有极大值.则常数c＝    6   ；

3．函数有极小值 －1  ,极大值    3   

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线在点处的切线方程是              

2．若曲线在P点处的切线平行于直线.则P点的坐标为   （1.0）              

3．若曲线的一条切线与直线垂直.则的方程为                                   

4．求下列直线的方程：

 （1）曲线在P(-1,1)处的切线；   （2）曲线过点P(3,5)的切线；

解：（1）

        所以切线方程为

 （2）显然点P（3.5）不在曲线上.所以可设切点为.则①又函数的导数为.

所以过点的切线的斜率为.又切线过、P(3,5)点.所以有②.由①②联立方程组得..即切点为（1.1）时.切线斜率为；当切点为（5.25）时.切线斜率为；所以所求的切线有两条.方程分别为

题型三：利用导数研究函数的单调性.极值、最值

1．已知函数的切线方程为y=3x+1  

   （Ⅰ）若函数处有极值.求的表达式；

   （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下.求函数在[－3.1]上的最大值；

   （Ⅲ）若函数在区间[－2.1]上单调递增.求实数b的取值范围  

解：（1）由

过的切线方程为：

①

②

而过

故      

∵  ③ 

由①②③得  a=2.b=－4.c=5      ∴   

（2）

当

  又在[－3.1]上最大值是13。 

（3）y=f(x)在[－2.1]上单调递增.又由①知2a+b=0。  

依题意在[－2.1]上恒有≥0.即 

①当；

②当；

③当  

综上所述.参数b的取值范围是

2．已知三次函数在和时取极值.且．

(1) 求函数的表达式；

(2) 求函数的单调区间和极值；

(3) 若函数在区间上的值域为.试求、应满足的条件．

解：(1) .                                        

由题意得.是的两个根.解得.．    

再由可得．∴．                        

(2) .

当时.；当时.；

当时.；当时.；

当时.．∴函数在区间上是增函数；

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

函数的极大值是.极小值是．                    

(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位.向上平移4个单位得到的.

所以.函数在区间上的值域为（）．

而.∴.即．                        

于是.函数在区间上的值域为．

令得或．由的单调性知..即．

综上所述.、应满足的条件是：.且．            

3．设函数．

（1）若的图象与直线相切.切点横坐标为２.且在处取极值.求实数 的值；

（2）当b=1时.试证明：不论a取何实数.函数总有两个不同的极值点． 

解：（1）      

由题意.代入上式.解之得：a=1.b=1．　　

（2）当b=1时.　　　　　　　

因故方程有两个不同实根．　　

不妨设.由可判断的符号如下：

当＞０；当＜０；当＞０

因此是极大值点.是极小值点．.当b=1时.不论a取何实数.函数总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

1．如右图：是f（x）的导函数. 的图象如右图所示.则f（x）的图象只可能是（ D  ）

（A）           （B）           （C）          （D）

2．函数( A  )

3．方程                                ( B   )

 A、0           B、1              C、2              D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况.求参数取值范围

1．设函数

    （1）求函数的单调区间、极值.

（2）若当时.恒有.试确定a的取值范围.

解：（1）=.令得                                    

列表如下：

∴在（a.3a）上单调递增.在（-∞.a）和（3a.+∞）上单调递减

时..时.                 

（2）∵.∴对称轴.

∴在[a+1.a+2]上单调递减                                

∴.

依题.    即

解得.又      ∴a的取值范围是

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x 〔－1.2〕.不等式f（x） c2恒成立.求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c.f （x）＝3x2＋2ax＋b

由f （）＝.f （1）＝3＋2a＋b＝0得a＝.b＝－2

f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）.函数f（x）的单调区间如下表：

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c.x 〔－1.2〕.当x＝－时.f（x）＝＋c

为极大值.而f（2）＝2＋c.则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x） c2（x 〔－1.2〕）恒成立.只需c2 f（2）＝2＋c.解得c －1或c 2

题型六：利用导数研究方程的根

1．已知平面向量=(,－1).  =(,).

（1）若存在不同时为零的实数k和t.使=+(t2－3).=-k+t.⊥.

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论.讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

解：(1)∵⊥.∴=0  即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0. 

整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0 

∵=0.=4.=1.∴上式化为-4k+t(t2-3)=0.即k=t(t2-3)

(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况.可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.  

于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).     

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时.f′(t)、f(t)的变化情况如下表：

当t=1时.f(t)有极小值.f(t)极小值=－

函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示.

可观察出：

(1)当k＞或k＜－时,方程f(t)－k=0有且只有一解；

(2)当k=或k=－时,方程f(t)－k=0有两解；

(3) 当－＜k＜时,方程f(t)－k=0有三解.  

题型七：导数与不等式的综合　

1．设在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）设≥1.≥1.且.求证：.

解：（1） 若在上是单调递减函数.则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.

若在上是单调递增函数.则≤.

由于.从而0（2）方法1、可知在上只能为单调增函数.  若1≤.则 若1≤矛盾.故只有成立.

方法2：设.两式相减得 ≥1,u≥1.

.

2．已知为实数.函数

（1）若函数的图象上有与轴平行的切线.求的取值范围

（2）若.（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的.不等式恒成立

解：.

    函数的图象有与轴平行的切线.有实数解

   ..所以的取值范围是

...

由或；由

的单调递增区间是；单调减区间为

易知的最大值为.的极小值为.又

在上的最大值.最小值

对任意.恒有

题型八：导数在实际中的应用

1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱.上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时.帐篷的体积最大？

解：设OO1为.则

由题设可得正六棱锥底面边长为：.（单位：）

故底面正六边形的面积为：=.（单位：）

帐篷的体积为：（单位：）

求导得。

令.解得（不合题意.舍去）..

当时..为增函数；

当时..为减函数。

∴当时.最大。

答：当OO1为时.帐篷的体积最大.最大体积为。

2．统计表明.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（I）当时.汽车从甲地到乙地行驶了小时.

    要耗没（升）。

    （II）当速度为千米/小时时.汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为升.

    依题意得

    令得

    当时.是减函数；

    当时.是增函数。

    当时.取到极小值

    因为在上只有一个极值.所以它是最小值。

    答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少.最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

1．设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k.使

（1）求函数关系式；

（2）若函数在上是单调函数.求k的取值范围。

解：（1）

（2）

则在上有

由；

由。

因为在t∈上是增函数.所以不存在k.使在上恒成立。故k的取值范围是。