2023年高考数学押题预测卷及答案解析(全国理科乙卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知全集{}2

|560U x x x =∈--≤Z ，集合(){}|30A x x x =∈-≥Z ，{}1,2,4B =则集

合{1,5,6}-等于（）

A ．()U A

B ⋂ðB ．()U A B ð

C ．()U A B ∩ð

D ．()

U A B ⋂ð【答案】B

【分析】先表示出集合U 与集合A 的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．

【详解】由题意知{}|16{1,0,1,2,3,4,5,6}U x x =∈-≤≤=-Z ，

{}|03{0,1,2,3}A x x =∈≤≤=Z ，

所以{0,1,2,3,4}A B ⋃=，{()1,5,6U A B ∴-= ð，故选：B ．

2．设i 为虚数单位，且5

12i 1i

a =++，则1i a -的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2i

D ．2i

-【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出2a =-，即可求出1i a -的虚部.【详解】由

5

12i 1i

a =++可得：()()()512i 1i 2i 21a a a =++=+-+，

则20

2215a a a +=⎧⇒=-⎨

-+=⎩

，所以1i=1+2i a -的虚部为2.

故选：B.

3．已知向量a ，b 满足||2||1a b a b ==⊥ ，，若()()a b a b λ+⊥-

，则实数λ的值为（

）

A ．2

B ．

C ．4

D ．

9

2

【答案】C

【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解.【详解】∵

a b ⊥

，∴0

a b ⋅= ∵()()a b a b λ+⊥-

，∴2

2

()()0

a b a b a

b λλ+⋅-=-=

∵||2||1a b ==

，

，∴40λ-=，即4λ=.故选：C.

4．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:1,1,2,3,5,8,⋯,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为*21,N n n n a a a n ++=+∈,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列{}n a 的通

项公式为n

n

n a A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭

,其中A B ，的值可由1a 和2a 得到,比如兔子数

列中121,1a a ==代入解得

A B ==.利用以上信息计算()[]

5.(x ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎝⎭⎣⎦

表示不超过x 的最大整数)（）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

【答案】B

【分析】根据题不妨设1A B ==,求出1a ,2a ,进而得到5a ,通过{}n a 的第五项,即可得到

55

,⎛ ⎝⎭⎝⎭之间的关系,根据512⎛- ⎝⎭的范围可大致判断5

12⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的范围,进而选出选项.

【详解】解:由题意可令1A B ==,所以将数列{}n a 逐个列举可得:

11a =,23a =,3124a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=,

故55

511a ⎛=+= ⎝⎭⎝⎭

,

因为()5

11,02⎛⎫

∈- ⎪ ⎪⎝⎭

,

所以()5

111,122⎛∈ ⎝⎭

,

故51112⎡⎤

⎛⎫⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥

⎝⎭⎣⎦

.故选:B

5．已知抛物线28y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上（异于顶点），2OM ON =

（点

O 为坐标原点），过点N 作直线OM 的垂线与x 轴交于点P ，则2OP MF -=（

）

A ．6

B ．

C ．4

D ．

【答案】A

【分析】设2

00,8y M y ⎛⎫

⎪⎝⎭

，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点,表示NP 的方程，求出

点P 的坐标，结合抛物线的定义求得结果.

【详解】法一：依题意，设2

00,8y M y ⎛⎫

⎪⎝⎭

，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点且

200,162y y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则08=OM

k y ，易得直线OM 的垂线NP 的方程为20002816y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭

.令0y =，得20416y x =+，故204,016y P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，由抛物线的定义易知2028y MF =+，

故22

0022426168y y OP MF ⎛⎫⎛⎫

-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故选:A.

法二：特殊值法.不妨设()8,8M ，则()4,4N ，则1OM k =，易得直线OM 的垂线NP 的方程为()44y x -=--.令0y =，得8x =，故()8,0P ，又10MF =，故

216106OP MF -=-=.

故选:A.

6．执行下面的程序框图，则输出的n =（

）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

【答案】B

【分析】按照迭代方式代入根据格式判断规律为等比数列的求和，按照等比数列

求和公式1(1)1-=-n n a q S q

求出数据逐渐做判断即可得解.

【详解】经过判断框时，

第一个S 变为122022£，n 变为2，第二个S 变为1232222022+2=-£，n 变为3，第三个S 变为123422142022+2+2=2-=£，n 变为4，第四个S 变为1234522302022+2+2+2=2-=£，n 变为5，

第九个S 变为123491022022+2+2+2++2=2-2=1022£L ，n 变为10，

第十个S 变为12349101122022+2+2+2++2+2=2-2=2046>L ，判断框按照“否”输出n=10.故选：B.

7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为1A B ，11AC ，1A D 的中点，则下列结论中错误的是（）

A ．1//MN AD

B ．平面//MNP 平面1B

C

D C ．MN CD ⊥D ．平面MNP ⊥平面1A BD

【答案】D

【分析】求得MN 与1AD 位置关系判断选项A ；求得平面MNP 与平面1BC D 位置关系判断选项B ；求得MN 与CD 位置关系判断选项C ；求得平面MNP 与平面1A BD 位置关系判断选项D.

【详解】对A ，在11A BC V 中，因为M ，N 分别为1A B ，11A C 的中点，所以1//MN BC ．又11//BC AD ，所以1//MN AD ，A 正确．对B ，在1A BD 中，因为M ，P 分别为1A B ，1A D 的中点，所以//MP BD ．因为MP ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D ，

所以//MP 平面1BC D ．

因为1//MN BC ，MN ⊄平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，

所以//MN 平面1BC D ．又因为MP MN M ⋂=，,MP MN ⊂平面MNP ，所以平面//MNP 平面1BC D ，B 正确．

对C ，因为1//MN AD ，1AD CD ⊥，所以MN CD ⊥，C 正确．

对D ，取BD 的中点E ，连接1A E ，1EC ，则11A EC ∠是二面角11A BD C --的平面角．

设正方体棱长为a

，则

)

2

2

2

112

221

cos 03

2a A EC ⎛⎫⎛

⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭∠=

=

≠⎫⎪⎝

⎭

，又110180A EC ︒<∠<︒，则1190A EC ∠≠︒，所以平面1A BD 与平面1BC D 不垂直．又平面//MNP 平面1BC D ，所以平面MNP 与平面1A BD 不垂直，D

错误．

故选：D ．

8．设等比数列{}n a 中，37,a a 使函数()322

3733f x x a x a x a =+++在=1x -时取得极值0，

则5a 的值是（）

A

．

±B

C

．±D

．【答案】D

【分析】由极值点和极值可构造方程组求得37,a a ，代回验证可知372

9

a a =⎧⎨=⎩满足题意；

结合等比数列性质可求得结果.

【详解】由题意知：()2

3736f x x a x a '=++，

()f x 在=1x -处取得极值0，()()2

373371130

1360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩

，解得：3713a a =⎧⎨=⎩或3729

a a =⎧⎨=⎩；

当31a =，73a =时，()()2

2363310f x x x x '=++=+≥，

()f x \\在R 上单调递增，不合题意；

当32a =，79a =时，()()()2

3129313f x x x x x '=++=++，

∴当()(),31,x ∈-∞--+∞ 时，()0f x ¢>；当()3,1x ∈--时，()0f x '<；

()f x \\在()(),3,1,-∞--+∞上单调递增，在()3,1--上单调递减，

1x ∴=-是()f x 的极小值点，满足题意；

253718a a a ∴==，又5a 与37,a a

同号，5a ∴=故选：D.

9．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4

的球的球面上四点，AB AC ==6BC =，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A

．B

．C

．D

．【答案】B

【分析】M 是ABC 外心，O 是球心，求出OM ，当D 是MO 的延长线与球面交点时，三棱锥D ABC -体积的最大，由此求得最大体积即可．

【详解】如图，M 是ABC 外心，即ABC 所在截面圆圆心，设圆半径为,r O 是球心，

因为AB AC ==6BC =，

由余弦定理可得：

222

61 cos

2

BAC

+-

∠==-，

所以sin BAC

∠=

2

2

r==

r=

MB=4

OB=

，

OM⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，则OM BM

⊥，

所以2

OM==，

当D是

MO的延长线与球面交点时，三棱锥D ABC

-体积的最大，

此时棱锥的高为

246

DM=+=，(2

1sin120

2

ABC

S

=⨯⨯︒=

所以棱锥体积为

11

6

33

ABC

V S DM

=⋅=⨯=

．

故选：B．

10．2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P，则满足123

P P P

<<的分配方案的概率为（）

A．1

3

B．2

3

C．1

20

D．3

4

【答案】A

【分析】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由6a 必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人员不同分成四类，求出满足123P P P <<的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率.

【详解】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：

1、第一批派4a ，第二批年龄最大者为5a ，第三批年龄最大者为6a ：剩下的医务

人员一个在第二批，两个在第三批有1

3

3C =种方法，2、第一批派3a ，第二批年龄最大者为4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二

批最大者为5a ，则有1

3C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有1

2C 种方法，共113

25C C +=种方法；

3、第一批派2a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当

第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有1

2C 种方法，当第

二批最大者为3a ，则有1种方法，共11

3

216C C ++=种方法；4、第一批派1a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当

第二批最大者为5a ，则有1

3C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，当第

二批最大者为3a ，则有1种方法，共11

3

216C C ++=种方法；∴356620+++=种方法，而总派遣方法有123

6

5360C C C =种，∴满足123P P P <<的分配方案的概率为201603

=.故选：A.

【点睛】关键点点睛：应用分类分步计数原理，结合题设含义，按第一批派遣的人员不同将派遣方式分类，再根据第二批的最大年龄者的不同确定各类的派遣方法数.

11．已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的公共顶

点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且

tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（

）A ．2B

C

D

【答案】D

【分析】设出点P ，M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得

MN x ⊥轴，再利用和角的正切公式求出a ，b 的关系作答.

【详解】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k

，

点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200

y y b x a x a a ⋅=-+，因此2

2PA PB b k k a ⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即22

11221x y a b +=，有2

112

11y y b x a x a a ⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，

有2

2MA MB b k k a

⋅=-，即2

2PA MB

b k k a

⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22

221

x c x y a

b =⎧⎪

⎨+=⎪⎩

得2

||b y a

=，

显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a ac

BMF b b a --∠==，

22222222222

tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a ac

AMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF

b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅

，解得221

3

b a =

，所以双曲线的离心率3

e a =

=.故选：D

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；

齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；

特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

12．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '．若

()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确

的是（

）

A ．()20231

k f k ==∑B ．()2023

10

k g k ==∑C ．x ∀∈R ，()()20f x f x ++-=D ．()()354

g g +=【答案】A

【分析】由()(2)g x f x ''=-得()()2g x f x a =-+，结合已知得()()22f x f x a =-++，进而有2a =-，由()(2)f x f x =-可判断C 项中的对称性；由()2f x +为奇函数可得

()y f x =的周期、对称性及特殊值，从而化简判断A 正误；B 、D 由()()22g x f x =--，结合A 即可判断.

【详解】C ：由()(2)g x f x ''=-，则()()2g x f x a =-+，则()()42g x f x a -=-+，又()()42f x g x --=，所以()()22f x f x a =-++，令1x =得20a +=，即2a =-.所以()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，而x ∀∈R ，()()20f x f x ++-=，则()f x 的图象关于()1,0对称，错；A ：()2f x +为奇函数，则()y f x =关于()2,0对称，且()()220f x f x ++-=，∴()20f =，()00f =，()()130f f +=，()()400f f +=，∴()40f =.又()()()22f x f x f x +=--+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()y f x =的周期4T =，

∴[]2023

1()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，对；

D ：因为()()()4222g x f x a f x -=-+=--，所以()()22g x f x =--，所以()()()()3512324g g f f +=-+-=-，错；

B ：2023

1()(1)2(0)2(1)2(2021)2k g k f f f f ==--+-+-+⋯+-∑20231

()220234046k f k ==-⨯=-∑，错.

故选：A

【点睛】关键点睛：利用导数得()()2g x f x a =-+，结合已知得到()(2)f x f x =-，进而求其周期和对称性，应用周期和对称性求()1

2023k f k =∑、()20231

k g k =∑、()()35g g +的值.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．【答案】96

【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.

【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有：24C 6=种情况，

剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：14C 4=种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有1134C C 12=种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：

()612496⨯+=种情况，

故答案为：96.

14．直线240x y --=分别与x 轴､y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)5x y +-=上，则PAB 面积的取值范围是___________.【答案】[]

1,11【分析】首先由直线方程求得,A B 坐标，得到AB ；利用点到直线距离公式求得圆心到直线AB 的距离1d ，从而得到点P 到直线距离2d 的范围，利用三角形面积公式可求得结果.

【详解】因为直线240x y --=分别与x 轴､y 轴交于,A B 两点，

所以()2,0A ，()0,4B -

所以AB ==

圆22(2)5x y +-=的圆心的坐标为()0,2，半径r =，

所以圆心到直线240x y --=距离1

d =

，

所以P 到直线240x y --=距离[]211,d d r d r ∈-+，即2d ∈⎣⎦

，[]21

1,112

ABP S AB d ∴=

⋅∈ .故答案为：[]1,11.

15．已知函数1π()sin sin 22

4f x m x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭

在π,2π2

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个不同的零点，则满足

条件的所有m 的值组成的集合是_________．

【答案】{}

3

--【分析】将原函数转化为同角三角函数21π1

π()sin 2sin 12

42

4f x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，再

利用对勾函数的性质数形结合，分类讨论处理即可.

【详解】解：21ππ1π1

π()sin cos 2sin 2sin 12

422

42

4f x m x x m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭

⎝⎭

⎝⎭

，

令1ππsin [0,1],2π242t x x ⎛⎫

⎛⎫⎡⎤=-∈∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝

⎭，

则22

1π1πsin 2sin 1212

42

4m x x t mt ⎛⎫⎛⎫-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，

则()()

2

0210f x t mt =⇔++=*当0=t 时，显然()0f x =无解；当10t ≥>时()*可化为1

2m t t

-=+.利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：)

22,m ⎡-∈+⎣∞

①当22m -=1

π2sin 2

42

x t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭

，此时πx =或2πx =，符合题意；

②当3m -=时，即1t =或12

t =，此时3π2x =

或5π

6

x =，符合题意；③当3m ->时，即12

t <，由1π1πsin ,,2π2422t x x ⎛⎫

⎛⎫⎡⎤=-<∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭

⎣

⎦⎝

⎭

可得1ππ0,246x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣

⎭

，

易知当01

2

t t =<时，只有一个解0x 满足，不符合题意；

④当()22,3m -∈时，1

,12

t ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

即1

π

1

sin ,1242x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

，

方程12m t t -=+有两根，不妨记为12,t t ，其中11

π12sin ,2422t x ⎛⎛⎫=-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，只有一个根，21

π2sin ,1242t x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.∴满足条件的所有m 的值组成的集合是：{}

22,3--.故答案为：{}

22,3

--

16．在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数()e ln()x f x ax ax =-和2ln(1)

()x g x x

-=

图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为______．

【答案】

2

【分析】利用同构思想构造()e x

w x x =-，得到其单调性，得到e ln()1x ax ax x --≥，

再构造()2ln(1)

x

x j x x -=-

，1x >，求导得到其单调性及其最小值，设设()()2ln 1,e ln(),,n t P n an an Q t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭

，利用基本不等式得到2PQ ≥

，求出答案.【详解】()ln e ln()e

ln x x ax

ax ax x x ax +--=-+，令()e x w x x =-，x ∈R ，则()e 1

x

w x '=-当()0,x ∈+∞时，()0w x '>，()e x

w x x =-单调递增，当(),0x ∈-∞时，()0w x '<，

()e x w x x =-单调递减，

故()e x w x x =-在0x =处取得极小值，也是最小值，故()0

e 01w x ≥-=，

故()ln e ln()e

ln 1x x ax

ax ax x x ax +--=-+≥，当且仅当ln 0x ax +=时，等号成立，令()2ln(1)

x

x j x x -=-

，1x >，则()22

2222ln(1)2ln(1)

111x x x

x x x x x j x x

---+---'=-=，令22()2ln(1)1x

k x x x x =-

+--，则()

()

2

2

222222()2201111x x

k x x x x x x x --'=-

+

=++>----在()1,+∞上恒成立，故22()2ln(1)1

x

k x x x x =-

+--在()1,+∞上单调递增，又(2)0k =，故当()1,2x ∈时，()0k x <，当()2,x ∈+∞时，()0k x >，

故()1,2x ∈时，()0j x '<，()j x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0j x '>，()j x 单调递增，故()2ln(1)

x

x j x x -=-

在2x =处取得极小值，也时最小值，最小值为()22j =，设(

)()2ln 1,e ln(),,n

t P n an an Q t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭

，由基本不等式得，()()()2

2

2

2ln 1()e ln n P t t n an an t Q -⎛

⎫=-+-- ⎪

⎝⎭

2

22ln(1)e ln (21)9222

n t t an an n t -⎛⎫

-+-- ⎪+⎝⎭≥≥=，当且仅当()()()

2ln 1e ln n t t n an an t

--=--

，2t =，ln 0n an +=时，等号成立，

故2

PQ ≥

，则max 2m =．

故答案为：

2

【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题e ln()x ax ax x --变形得到()ln e ln x ax

x ax +-+，从而构造()e x w x x =-进

行求解.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足

2

36sin 02

A B

a b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；

(2)求tan A 的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)

34

【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，结合半角公式，可得答案；

（2）利用正弦定理，三角函数内角性质以及同角三角函数的基本关系，整理出关于角B 的函数解析式，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵236sin 02

A B

a b b +-+=，∴22π36sin 36cos 022

C C

a b b a b b --+=-+=，∴1cos 3602

C

a b b +-+⋅

=，∴3cos 0a b C +=．

（2）由（1）可得：sin 3sin cos 0A B C +=，且C 为钝角，即4sin cos cos sin 0B C B C +=，即4tan tan 0B C +=，tan 4tan C B =-，

()2

tan tan 3tan 3

tan tan 11tan tan 4tan 14tan tan B C B A B C B C B B B

+=-+=-

==-+

+

34≤

=

，

当且仅当14tan tan B B

=

，即1

tan 2B =时取等号．

故tan A 的最大值为3

4

．

18．如图，在Rt AOB △中，π

2AOB ∠=，4AO =，2BO =，Rt AOC 可以通过Rt AOB

△

以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在线段AB

上．

(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值大小；(2)求CD 与平面AOB 所成角最大时正弦值．【答案】(1)23

(2)3

【分析】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角；

（2）设BD BA λ=uu u r uu r

可得()()0,21,4D λλ-，利用空间向量求线面夹角结合二次函数

分析运算.

【详解】（1）由题意可得：,AO OB AO OC ⊥，平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB 平面AOC AO =，OB ⊂平面AOB ，所以OB ⊥平面AOC ，

如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则

()()()()0,0,0,0,0,4,2,0,0,0,2,0O A C B ，

若D 为AB 的中点，则()0,1,2D ，

可得(

)()0,0,4,2,1,2OA CD uu r uu u r

==-，设异面直线AO 与CD 所成角π0,2θ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

，

则82

cos cos ,433

OA OA O CD CD CD A θ⋅===⨯⋅uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u

r .（2）若动点D 在线段AB 上，设()[],,,,0,1D x y z BD BA λλ=∈uu u r uu r

，

则()(),2,,0,2,4BD x y z BA =-=-uu u r uu r ，可得0

224x y z λλ=⎧⎪

-=-⎨⎪=⎩，解得()0214x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩

，

即()()0,21,4D λλ-，则()()2,21,4CD λλ=--uu u r

，由题意可知：平面AOB 的法向量为()1,0,0n =r

，

设CD 与平面AOB 所成角为π0,2α⎛

⎤

∈ ⎥⎝⎦

，则

sin cos ,n CD n CD n CD α⋅==⋅r uu u r r uu u r r uu u r ，对于2522y λλ=-+开口向上，对称轴为[]10,15

λ=∈，

可得当15λ=时，2522y λλ=-+取到最小值2

min 119522555y ⎛⎫

=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭

，

所以sin

α

=

，

注意到π0,2α⎛

⎤

∈ ⎥⎝⎦

，

故

CD 与平面AOB 所成角的最大时正弦值3

.

19．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得5-分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互.甲、乙获得冠军的概率分别记为1p ，2p .

(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果12p p -，

那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；(2)用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望.【答案】(1)甲、乙获得冠军的实力没有明显差别(2)分布列见解析，5.25

【分析】（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，利用互斥事件和

事件的概率共求得10575p =.和20.425p =，结合12p p -<

，即可

得到结论；

（2）根据题意，得到X 的可能取值为15,0,15,30-，利用事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，

则教师甲获得冠军的概率()()()()

1p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++0.40.50.750.60.50.750.40.50.750.40.50.25=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.150.2250.150.050575=+++=.，

由对立事件的概率公式，可得得2110.425p p =-=，

0.4

=，解得120.15p p -=，

因为12p p -，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.

（2）解：根据题意知，X 的可能取值为15,0,15,30-，可得()150.40.50.750.15P X =-=⨯⨯=，

()00.60.50.750.40.50.750.40.50.250.425P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()150.40.50.250.60.50.250.60.50.750.35P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.60.50.250.075P X ==⨯⨯=.

所以随机变量X 的分布列为

所以期望为150.35300.075 5.25+⨯+⨯=.

20．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，P 为C 上一点，O 为原点，

PA PO =，90APO ︒∠=，APO △的面积为1．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设B 为C 的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：3tan tan MAB NBA ∠=∠．

【答案】(1)22

3144

x y +

=(2)见解析

【分析】（1）通过分析得,22a a P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，将其坐标代入椭圆方程，结合APO △面积和,,a b c 的关系即可求出椭圆方程；

（2）设直线AM 的斜率为1k ,直线BN 的斜率为()()21122,,,,k M x y N x y ,直线MN 的方程为x =1my +，再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得()121223my y y y =+，最后计算1

2

k k ，将上式代入即可证明其为定值.

【详解】（1）不妨设点P 在x 轴的上方,由椭圆的性质可知||OA a =.

APO △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形,

,22a a P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭代人2

2

221x y a b

+=,得22

22221a a a b

⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,整理得223a b =.APO △的面积为22

141,1,4,223

a a a

b ∴⋅⋅=∴=∴=.

故椭圆C 的方程为22

3144

x y +

=.（2）设直线AM 的斜率为1k ,直线BN 的斜率为()()21122,,,,k M x y N x y ,直线MN 的方程为x =1my +

.

不妨设210y y <<,则12tan ,tan k MAB k NBA =∠=∠.

联立22

1,34

x my x y =+⎧⎨

+=⎩可得()22

3230m y my ++-=,216360m ∆=+>,则1212

2223

,33

m y y y y m m +=-

=-++,121223

y y m

y y +∴

=，即()121223my y y y =+，()()1

12111212122121212221222332

y y my k x y x my y y y k x y my y my y y x -+--∴==⋅==

+++-()()121

12122

12313

122233933222

y y y y y y y y y y +-+===+++，123,

k k ∴=故3tan tan MAB NBA ∠=∠得证.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键第一是要找到正切值与直线斜率的关系，再通过设直线MN 的方程为x =1my +，将与椭圆联立，利用化积为和的方法得到

()121223my y y y =+，最后再计算斜率比值为定值，化积为和是处理非对称韦达形

式的常用方法.21．已知函数()ln ,R.x

f x x a a x

=

-+∈(1)若0a =，求不等式()()

2211

x xf x x x -+≥

+的解集；(2)若()f x 存在两个不同的零点1x ，212()x x x <，证明：121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+.【答案】(1)[1,)+∞;(2)详见解析.

【分析】（1）()21()1

ln x x g x x -=-

+由()g x 的单调性及(1)0g =可求解；

（2）根据函数()f x 存在两个不同的零点12,x x ，得1201x x <<<，

()12211221ln ln x x x x x x x x -=-，将所证不等式转化为

()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<，利用由(1)的过程

知()()1111ln 21x x x +<-及()()2221ln 21x x x -+<-，代入可证得结论.【详解】（1）令()()()2212l 1(n )1

1

x x g x xf x x x x x --=+-

=-

++，()g x 的定义域为(0,)+∞，

则2

22

14(1)()0(1)(1)

x g x x x x x -'=-=≥++，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增.因为(1)0g =，所以当1x ≥时，()0g x ≥，当01x <<时，()0g x <，所以原不等式的解集为[1,)+∞.

（2）证明:2

2

1ln ()x x f x x

--'=，令2()1ln h x x x =--，易知()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =.

当01x <<时，()0h x >，此时()0,()>f f x 单调递增;当1x ≥时，()0≤h x ，此时()0,()f x f x '≤单调递减.所以max ()(1)1f x f a ==-.

因为函数()f x 存在两个不同的零点12,x x ，所以10a ->，即1a >，由图可知

1201x x <<<

，

由题意知()()12

112212

ln ln 0,0x x

f x x a f x x a x x =-+==-+=，

所以22

11122

2ln ,ln x x ax x x ax =-=-，两式相减得21

1212

ln ln x x a x x x x -=++

-.所以121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+等价于

()()()()1212121212ln ln 2x x x x x x x x x x -++---+12ln ln 0x x -<，

也等价于()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20

x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<.因为1201x x <<<，所以由(1)的解题过程知()()1111ln 21x x x +<-……①

()()2221ln 21x x x -+<-……②

因为12

1212

ln ln x x

x a x a x x -+=-+，所以

2112

1212

ln ln x x x x x x x x -=-，

即()12211221ln ln x x x x x x x x -=-……③

①+②+③得()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<，所以121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+.

【点睛】关键点点睛：本题难点在零点的转化应用：由()f x 的零点为12,x x 得：

（1）22

11122

2ln ,ln x x ax x x ax =-=-，两式相减得21

1212

ln ln x x a x x x x -=++-，使用此时代入消去a .

（2）由1212

12ln ln x x x a x a x x -+=-+得2112

1212ln ln x x x x x x x x -=-即()12211221ln ln x x x x x x x x -=-，使用此时代入消去()1221x x x x -.

本题中两次对零点的使用都富有创新性.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,

2sin x y αα=⎧⎨

=⎩

（α为参数），以坐标原点

O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

cos 2sin 40ρθρθ+-=．

(1)设曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB ；

(2)若M ，N 是曲线1C 上的两个动点，且OM ON ⊥，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】

(1)(2)32,85⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

【分析】（1）首先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；（2）首先求出曲线1C 的坐标方程，设()11,M ρθ，21π,2

N ρθ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

，即可表示出

OM ON ⋅，再利用二倍角公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y α

α=⎧⎨=⎩

（α为参数），

所以cos 4sin 2x

y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又22

sin cos 1αα+=，所以曲线1C 的普通方程为2211x y +=，

又曲线2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨=⎩，

所以曲线2C 的直角坐标方程为240x y +-=，

由2

2

240

11

x y x y +-=⎧⎪⎨+

=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以

AB =

（2）又cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩，所以

()()

22

cos sin 11ρθρθ+=，

所以ρ=

，即曲线1C

的极坐标方程为ρ=

，

因为OM ON ⊥，所以设()11,M ρθ，21π,2

N ρθ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭

，

所以

OM ON ⋅

=

=

=

所以当21sin 21θ=时OM ON ⋅取得最小值32

5，

当21sin 20θ=时OM ON ⋅取得最大值8，

所以OM ON ⋅的取值范围为32

,85⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，112a

b

+=．(1)证明：

11111

a b +≤++．(2)证明：228

35ab a b a b

+

≤+++．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件及基本不等式即可求解；（2）利用分析法及作差比较法即可求解.【详解】（1）由基本不等式可得112

a

b

=+≥可得1,

ab ≥当且仅当1a b ==时，等号成立.又由112a

b

+=，得2a b ab +=，

所以1122224

1,11131393a b ab a b ab a b ab ab ++++===+≤+++++++当且仅当1a b ==时，等号成立.

故原不等式得证.（2）要证228

35ab a b a b

+≤+++，即证2455(),ab a b ab +≤++即证224

554,ab a ab

b +

≤+令1t ab =≥，即证2

4554,

t t t

+≤+因为322

44(1)(1)(44)

5455(1),t t t t t t t t t t

---++--=

-=且2

2

163

10,4440,

816t t t t ⎛⎫-≥-+=-+> ⎪⎝⎭

故2

45450t t t

+--≥，即原不等式得证.