2013年数学建模a题

摘  要

      关键词：排队论 车辆-速度模型 

                        1 问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，就可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

问题1：根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

问题2：根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

问题3：构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

问题4： 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

2 问题分析

2.1 问题1的分析

在一定的间段内，任何车辆通过道路的最大交通体数量。（辆/ (h 车道)

首先对视频1的信息进行提取，先数出事故未发生的时候，单位时间内通过的车辆，在数出发生事故之后单位时间内通过的车辆，注意，一定要在红灯变成绿灯之后的时候，也就车流量处于饱和的时候提取出事故前与事故后的车辆数。对于这一点我们需要进行数据补足，然后通过查找资料定义实际道路通行能力函数，找出基本通行能力，实际通行能力最大交通量，以及设计通行能力之间的函数关系。在计算的时候注意的条件，当实际交通条件与“理想”条件不同时，本研究中所采取的处理方法是计算交通量时按换算系数将不同类型的车辆换算出标准车，建立车速—通行量的的模型。最后得到函数运行的结果后，将结果用图形的形式描述事故所处的横断面积实际通行能力的变化过程。

对问题二的分析：和第一个解题思想类似，但是要注意问题二的要求，我们发现视频1中车辆发生事故时能通行的车道今为右车道，而视频2中车辆发生事故时能通行的车道仅为左车道，即视频1与视频2的交通事故所占车道不同，首先需要对视频2的信息进行处理，处理方法与问题一对视频1的信息处理方法一样，得到视频2事故所处横断面实际通行能力，通过对比，得出同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

对问题三的分析：

这个应该是本模型最难的一题，首先将该路段的车辆排队长度设为因变量，而其他的都为自变量，此题就为一个权益的问题，通过控制变量的方法，排队长度和事故持续时间成正比，和通行能力成反比（在不考虑路段的情况下，假如两根车道堵了一根，则能力变为原来的一半，而在单位时间内长度自然成为2倍，注：理想情况下）

对问题四的分析：

                   3模型假设

根据详细的分析和合理的假设，我们针对此类问题列出一般模型：

1.在计算实际道路能力的时候，忽略驾驶员的自身驾驶条件

2. 在对于视频2的观察中，可以看出事故车辆所占的车道为2条，则假设事故辆所占车道为2条

3．对于计算通过该路段的车辆数的时候，假设车辆的一半车身经过事故横截面的时候，则记为已经通过该路段

4名词约定及符号说明

5模型的建立与求解

5.1 问题一模型的建立与求解

5.1.1问题一模型的建立

根据美国公路局的BPR阻抗函数模型

其中

， 

则可以得到机动车“速度—流量”模型为

而实际道路通行能力可以通过对基本通行能力的修正得到，即

宽度调整系数可以表示为

其中为行车道宽度，a,b为系数，查表可得

基本通行能力可以表示为

其中

则

5.1.2问题一模型的求解

视频中提取的数据见表一。将视频中每隔30s提取的数据通过Matlab变成画出散点图，其中表格缺失的数据通过SPSS补足，得到视频1中实际道路通行能力的变化图像，如图一。

图1  视频1中实际道路通行能力的变化图像

该图是以城市公路车道某日下午16:39:00至16:55:30时的实际道路通行能力随时间的变化曲线，横坐标表示的是时间，我们是取30s为一个周期来计算。纵坐标表示的是实际通行能力。由图可以看出在发生事故后，由于刚发生事故时，从绿灯转为红灯，车流量积聚在事故发生处，达到最高值。之后由于事故车辆占据两个车道，使得通行能力大幅降低，在红绿灯的转换间，实际道路通行能力在一水平值上上下波动。

5.2 问题二模型的建立与求解

5.2.1问题二模型的建立

与问题一类似，改变了车道的占位。

5.2.2问题二模型的求解

视频中提取的数据见表二。将视频中每隔30s提取的数据通过Matlab变成画出散点图，得到视频2中实际道路通行能力的变化图像，如图二。

图2  视频2中实际道路通行能力的变化图像

通过对两条折线图的折线波动规律进行比较，可以得出以下分析：从两条折线图可以发现，总体交通环境处于通而不畅的交通状态，行车缓慢，但较少停滞不前的现象，我们观察图表发现，刚发生事故后，车流量迅速增加，聚集于事故发生处，由于事故发生占据车道，使通行能力有所降低，车流量一的流量数在事故发生这整个过程中，它的交通流量一直都高于车流量二的车流量数，据此，可以得出，事故发生所占在车道2时对总体的交通畅通度比事故发生所占在车道1的影响程度大。

5.3 问题三模型的建立与求解

5.3.1问题三模型的建立

根据题目分析，交通实际运行状态可以相当于交通流二流运行状态，及任意交通流都可以由阻塞交通流和行驶交通流组成，根据交通流理论知道, 流量-密度曲线为二次抛物线型, 当密度取当密度取得最佳值时，流量达到最大值, 即交通畅通情况。

讨论单入口单出口不可超车的单车道路段, 根据流量守恒原理, 可知：

                             (1)

为初始时刻(即t=0时)上、下游断面之间的车辆数，为t时刻通过上游断面的车辆累计数;为t时刻通过下游断面的车辆累计的数目，为t时刻上、下游断面之间的车辆数.

根据二流理论,又可以由下式计算得到:

                          (2)

式中为t时刻上、下游断面之间的当量排队长度,L为上下游断面之间的距离;为上、下游断面之间的交通流最佳密度;为上、下游断面之间的交通流阻塞密度.联立式( 1) 和式( 2), 解得

                        (3)

式( 3) 即为基于二流理论的单车道当量排队长度模型。根据查询资料可以知道交通组塞密度的公式：

然而，车辆换道现象是一个事实，车辆有机会从某一条车道换到另一条车道，此时，任意一条车道都不能看作前述不存在超车现象的单车道路段，但所有车道可以看作一个车道组，这一车道组就成为单入口单出口的单车道路段。虽然每一条车道的当量排队长度不一样, 但是可以计算一个平均值来描述多车道路段整体上的当量排队长度。根据单车道路段当量排队长度模型可以推导出多车道路段平均当量排队长度模型, 即

其中