一元二次函数、方程和不等式

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.不等式的解集为（   ）

A.                B.                C.                D. 

2.已知实数满足，且，则的最小值为（    ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

3.若正数满足，则的最大值为（    ）

A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 9

4.若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A.                           B.                           C.                           D. 

5.设恒成立，则实数的最大值为（   ）

A. 2                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 16

6.已知满足，则目标函数的最小值为（    ）

A. -4                                          B. -3                                          C. -1                                          D. 1

7.若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（    ）

A. x＞5a或x＜－a                  B. x＞－a或x＜5a                  C. 5a＜x＜－a                  D. －a＜x＜5a

8.函数最小值是（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

9.已知，，且，则的最大值为（    ）

A. 2                                   B.                                    C.                                    D. 

10.下列各组中，不同解的是（   ）

A. 与

B. 与

C. 与或

D. 与

11.已知△ABC的内角A，B，C满足，面积满足，记a、b、c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（   ）

A.                  B.                  C.                  D. 

12.设函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（  ）

A. f（a+1）=f（2）             B. f（a+1）＞f（2）             C. f（a+1）＜f（2）             D. 不能确定

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知实数x，y，z满足：，则的最大值为________.    

14.函数，若，则的取值范围________.    

15.用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m；高为________m.    

16.定义其中表示中较大的数.对，设，，函数，则：

（1） ________；

（2）若，则实数的取值范围是________.    

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17（12分）.已知集合 ,函数 ,记的定义域为B.  

(Ⅰ)当时,求 ,  ;

(Ⅱ)若 ,求实数m的取值范围.

18（12分）.已知函数（其中a∈R）.    

（1）当a＝－1时，解关于x的不等式；

（2）若的解集为R，求实数a的取值范围.    

19（12分）.设函数的最大值是 .    

（1）求的值；

（2）若正实数满足求最小值及此时的值；

（3）若正实数满足，求的最小值及此时的值.    

20（12分）.已知函数， .    

（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求关于的不等式的解集.    

21（12分）.已知函数 .    

（1）解不等式；

（2）若函数 ,其中为奇函数, 为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.    

22（12分）.如图，在梯形中，，， .

（1）求；

（2）平面内点在的上方，且满足，求的最大值.    

第二章一元二次函数、方程和不等式

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.不等式的解集为（   ）

A.                B.                C.                D. 

【答案】 C   

【解析】一元二次方程的根为，

据此可得：不等式的解集为 .

故答案为：C.

2.已知实数满足，且，则的最小值为（    ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

【答案】 B   

【解析】

 ,

当且仅当时取等号

故答案为：B

3.若正数满足，则的最大值为（    ）

A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 9

【答案】 D   

【解析】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9. 

故答案为：D

4.若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A.                           B.                           C.                           D. 

【答案】 A   

【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为，则，解得 . 

因此，实数的取值范围是 .

故答案为：A.

5.设恒成立，则实数的最大值为（   ）

A. 2                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 16

【答案】 B   

【解析】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为4. 

故答案为：B.

6.已知满足，则目标函数的最小值为（    ）

A. -4                                          B. -3                                          C. -1                                          D. 1

【答案】 B   

【解析】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由可得，

数形结合可得当直线经过点B时z取到最小值，

由可得点B（1,2），

所以的最小值为z=1-2-2=-3

故答案为：B

7.若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（    ）

A. x＞5a或x＜－a                  B. x＞－a或x＜5a                  C. 5a＜x＜－a                  D. －a＜x＜5a

【答案】 B   

【解析】由有

所以方程的两个实数根为，

因为，所以

所以由不等式得，或

故答案为：B

8.函数最小值是（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

【答案】 D   

【解析】 ,即 , 

 ,

当且仅当 ,即时取等号,

所以函数最小值是4,

故答案为：D.

9.已知，，且，则的最大值为（    ）

A. 2                                   B.                                    C.                                    D. 

【答案】 C   

【解析】，，配凑得：，

两边同时除以4得：，即，

令，，则，，，

所以

（当且仅当即时，等号成立）.

故答案为：C.

10.下列各组中，不同解的是（   ）

A. 与

B. 与

C. 与或

D. 与

【答案】 D   

【解析】对于A：，所以与两个不等式的解集相同；

对于B：因为与等价，所以与两个不等式的解集相同；

对于C：根据绝对值不等式等价于或知：与或的解集相同；

对于D：根据知：等价于且，所以D中的两个不等式不同解，

故答案为：D.

11.已知△ABC的内角A，B，C满足，面积满足，记a、b、c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（   ）

A.                  B.                  C.                  D. 

【答案】 A   

【解析】解：∵A、B、C是的内角，且满足

 ∴

 ∴

  即：

  ∴

    ∵

     ∴

      ∴即：

      ∴即：

     设外接圆的半径为R，由正弦定理得：

     由及正弦定理得：

      ∴

      ∴ 即：

      ∵面积S满足

       ∴即：

       由正弦定理得：即：                           

又∵

    ∴

     ∴

    显然C、D不一定正确

    A.，即：正确

    B.，即：但不一定正确

故答案为：A 

12.设函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（  ）

A. f（a+1）=f（2）             B. f（a+1）＞f（2）             C. f（a+1）＜f（2）             D. 不能确定

【答案】 B   

【解析】解答：由f（x）= 

且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1．

 ∴1＜a+1＜2．

又∵f（x）是偶函数，

 ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

 ∴f（a+1）＞f（2）．

答案：B

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知实数x，y，z满足：，则的最大值为________.    

【答案】

【解析】首先至少有一个正数，

⑴如果，则由得，，不成立；

⑵若中只有一个负数，不妨设，

则，，又，

∴ ，即，

，

，当且仅当，时等号成立；

⑶若中有两个负数，不妨设，

则，，

∴ ，整理得，，

，当且仅当，时等号成立；

综上所述，的最大值是．

故答案为：

14.函数，若，则的取值范围________.    

【答案】

【解析】解：，表示点与连线的斜率，

因为，所以，当且仅当，即时等号成立，

所以取点，因为，所以在以原点为圆心，为半径的圆上，

当与圆的切线重合时，斜率最小；与重合时，斜率最大.

设过的直线与圆相切，即原点到的距离为半径，

即，整理得，解得，，

所以的最小值为，的最大值为，

故答案为:  .

15.用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m；高为________m.    

【答案】；3   

【解析】设窗户的宽为x，则其高为，要使阳光充足，只要面积最大，，当且仅当时等号成立，这时高为3m. 

故答案为：； 3

16.定义其中表示中较大的数.对，设，，函数，则：

（1） ________；

（2）若，则实数的取值范围是________.    

【答案】（1）-3.

（2）或

【解析】（1）先求出，再求得解；（2）先求出的解析式，再分类讨论解不等式得解.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17（12分）.已知集合 ,函数 ,记的定义域为B.  

(Ⅰ)当时,求 ,  ;

(Ⅱ)若 ,求实数m的取值范围.

【答案】解：（Ⅰ）当时,得 ,   

由 ,得 ,

于是 ,

 ; 

（Ⅱ）若 ,

则 ,

得 .

【解析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得 ,  .（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.

18（12分）.已知函数（其中a∈R）.    

（1）当a＝－1时，解关于x的不等式；

（2）若的解集为R，求实数a的取值范围.    

【答案】（1）解：当时，由得，，

所以，所以不等式的解集为

（2）解：因为解集为，所以在恒成立，

当时，得，不合题意；

当时，由在恒成立，

得，

所以 .

【解析】（1）当时，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）化简不等式，对分成和两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数的取值范围

19（12分）.设函数的最大值是 .    

（1）求的值；

（2）若正实数满足求最小值及此时的值；

（3）若正实数满足，求的最小值及此时的值.    

【答案】（1）解：根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出；

（2）解：由（1）可知，因为，，

所以

当且仅当，即，又，所以，时取等号；

所以最小值为，此时，；

（3）解：由（1）得，，，所以

当且仅当，即时取等号；

【解析】（1）根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出；（2）由（1）可知，所以利用乘“1”法求出最小值；（3）由（1）得，，，所以，再利用基本不等式计算可得；

20（12分）.已知函数， .    

（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求关于的不等式的解集.    

【答案】（1）解：由题意得对恒成立

即对恒成立

若，则不等式恒成立

若，则解得，

综上，实数的取值范围为 .

（2）解：不等式为，

若，则不等式为，∴ 

若，则不等式可化为，

①当即时，不等式解为或，

②当即时，不等式解为，

③当即时，不等式解为或，

若，则不等式可化为解得，

综上，当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为 .

【解析】（1）对恒成立转化为对恒成立，结合二次项情况可得解；（2）对a分情况讨论,再解一元二次不等式可得答案.

21（12分）.已知函数 .    

（1）解不等式；

（2）若函数 ,其中为奇函数, 为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.    

【答案】（1）解：设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，

即t2﹣10t+16＜0 

∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3

∴不等式的解集为（1，3）．

（2）解：由题意得

解得 . 

2ag（x）+h（2x）≥0，即，对任意x∈[1，2]恒成立，

又x∈[1，2]时，令，

在上单调递增，

当时，有最大值，

所以 .

【解析】（1）先设t=2x，得到 t2﹣10t+16＜0 ，再利用一元二次不等式的解法，即可求出解集；

（2）先由已知函数的奇偶性，得到和的解析式，再把所求不等式转化为恒成立问题，求出的最大值，即可得结果.

22（12分）.如图，在梯形中，，， .

（1）求；

（2）平面内点在的上方，且满足，求的最大值.    

【答案】（1）解：∵DC∥AB，AB＝BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠ACB．

在△ACD中，记DC＝AC＝t，由余弦定理得

cos∠ACD＝．

在△ACB中，cos∠ACB＝．

由得t3－2t2＋1＝0，即(t－1)(t2－t－1)＝0，

解得t＝1，或t＝．

∵ t＝1与梯形矛盾，舍去，又t>0，

∴ t＝，即DC＝

（2）解：由（1）知∠CAD＝∠ADC＝∠BCD＝2∠ACD．

故5∠ACD＝180°，∠ACD＝∠ACB＝36°，

故∠DPC＝3∠ACB＝108°．

在△DPC中，由余弦定理得DC2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos∠DPC，

即t2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos108°

＝(DP＋CP)2－2DP·CP(1＋cos108°)

＝(DP＋CP)2－4DP·CPcos254°

∵4DP·CP≤(DP＋CP)2， (当且仅当DP＝CP时，等号成立．)

∴t2≥(DP＋CP)2(1－cos254°)

＝(DP＋CP)2 sin254°

＝(DP＋CP)2 cos236°

＝(DP＋CP)2· 

∴(DP＋CP)2≤4，DP＋CP≤2．

故当DP＝CP＝1时，DP＋CP取得最大值2

【解析】（1）在△ACD中，记DC＝AC＝t，由余弦定理求得cos∠ACD。在△ACB中，由余弦定理求得cos∠ACB。联立求解得到答案。

（2）在△DPC中，由余弦定理求得DC，对式子进行化简，利用基本不等式求得答案。