北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)

一、选择题。

01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为    (  )

A．35º   B．45º    C．55º     D．60º

02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为    (    )

A．2 cm    B．4 cm    C．6 cm     D．8 cm

03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于    (  )

A． cm     B．2 cm      C．3 cm      D．4 cm

04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为    (    )

A．90º     B．95º    C  100º       D．105º

05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD的面积为    (    )

A．8      B  10       C．12        D．24

06如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为    (  )

A．100º     B．140º       C．130º        D．115º

07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC于D，E两点，若BD=2，则AC的长是    (  )

A．4     B．4      C．8           D．8

08 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为    (  )

A．6 cm     B．3 cm      C．4 cm         D．6 cm

09如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是(  )

A．8 cm        B．5 cm          C．3 cm           D．2 cm

10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有    (    )

A．1个    B．2个        C．3个        D．4个

11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于(    )

A．90º       B．75º      C．70º         D．60º

12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是    (  )

A．6       B．8        C．10         D．12

二、填空题。

13等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48º，则该等腰三角形的底角的度数为___________.

14如图，已知AC⊥BD，垂足为点P，AP=CP，请添加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你添加的条件是_______________．

15在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15º，则这两个锐角分别为___________.

16如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，CD是斜边AB上的高，AB=8，则BD=___________.

17如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，连接AD，已经△ABD的周长是12 cm，AC=5 cm，则AB+BD+AD=______cm；AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周长是______cm.

18如图，已知△ABC的周长是22，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为点D，且OD=3，则△ABC的面积是___________．

三、解答题。

19 如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD．

20 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

(1)图中有几对全等的三角形，请一一列出．

(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．

21 已知甲村和乙村靠近公路a，b，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

(1)到两村的距离相等；

  (2)到两条公路的距离相等．

  你能帮忙确定工厂的位置吗？写出作图过程．

22 如图，已知BD，CE是△ABC的两条高．

  (1)求证：∠ABD=∠ACE．

  (2)若AB=AC，求证：DE∥BC.

23 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．若AE⊥BE，求证：

  (1)FC=AD;

  (2)AB=BC+AD．

24 如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.

    (1)求证：EF=AC．

(2)若∠BAC=45º，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．

25 (1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E,求证：DE=BD+CE.

  (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

  (3)拓展与应用：如图③，D，E是过点A的直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DFF的形状.

第一章综合测试卷

一、01 C  02 A  03 C  04 D  05 C 06 D  07 B  08 D  09 C  10 C

11 D  12 C

二、13 69°或21°  

14. AB=CD(答案不唯一)  15. 75°，15°  

16. 2

17 12  12  17 

18 33 

19证明：在△AOB与△COD中，

∴△AOB≌△COD(ASA)，

∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，

∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，

∴OE垂直平分BD．

20解：(1)3对．分别是△ABD≌△ACD，△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF.

(2)以△BDE≌△CDF为例．

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

又∵D是BC的中点，∴BD=CD.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).

21解：如图，

设直线a、b相交于点O，甲村为点E，乙村为点D.①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线a，b于点A，B；②分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C，作射线OC;③连接ED，分别以E，D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F,G两点，作直线FG;④直线FG与射线OC相交于点H，则点H即为工厂的位置．

22证明：(1)∵BD,CE是△ABC的两条高，

∴∠AEC=∠ADB=90°,

∴∠A+∠ACE=90°,∠A+∠ABD=90°,

∴∠ABD=∠ACE.

(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

在△BDC与△CEB中，

∴△BDC≌△CEB(AAS)，

∴BE=CD，∵AB=AC．∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE，

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠AED=∠ABC，∴DE∥BC

23证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，

∵E是CD的中点，∴DE=EC,

在△ADE与△FCE中，

∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD.

(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,

又∵AE⊥BE，

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB=BF=BC+CF．

∵AD=CF.∴AB=BC+AD.

24(1)证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，

∵点F为AC的中点，∴EF=AC.

(2)解：∵∠BAC=45°,CE⊥BD,

∴△AEC是等腰直角三角形，

∵点F为AC的中点，

∴EF垂直平分AC，∴AM=CM,

∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,

∴BC=AM+DM.

25 (1)证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°.

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°.

∵∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠CAE=∠ABD.

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴BD=AE,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：成立，证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,

∴∠CAE=∠ABD.

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE

(3)解：由②知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠EAC.

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF．即∠DBF=∠FAE

在△DBF和△EAF中，

∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°，∴△DEF为等边三角形．