2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(浙江专用)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．与根式﹣x的值相等的是（　　）

A．﹣ ．﹣x2 ．﹣ ．

2．若方程组 的解是，则方程组的解是（　　）

A． ．

C． ．

3．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有实数解的概率为（　　）

A． ． ． ．

4．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是27°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若斜坡AF的坡度i＝1：，则大树的高度为（　　）（结果保留整数，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.，tan27°≈0.5，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.1，≈1.7）

A．8米 ．9米 ．10米 ．11米

5．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．4 ．9 ．11 ．.12

6．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，那么的值为（　　）

A．6 ．7 ．9 ．10

7．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是（　　）

A． ．3 ．2 ．4

8．如图，点是的中点，，，若，则的长是（　　）

A． ． ． ．

9．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣2 ．a＜3 ．﹣2≤a＜3 ．﹣2≤a≤3

10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（　　）

A． ． ． ．

11．如图，圆锥母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ＝，该圆锥的侧面积是______

12．比较a＝249，b＝328，c＝521这三个数的大小，按照从大到小的顺序排列为______．

13．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a﹣b|+|c﹣a|+＝_____．

14．若三角形三条边长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3＝0，则这个三角形一定是____．

15．如图，在△ABC中，CA＝CB＝10，AB＝12，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．则下列结论正确的是____．

①DF⊥AC；  ②DO＝DB；  ③S△ABC＝48；   ④cos∠E＝．

16．已知函数y＝a（x+2）（x﹣），有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；②当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限；③方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4必有实数根；④若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是____．（填写序号）

17．计算：（1）+|﹣|﹣（﹣1）2020﹣20；     

（2）（）÷．

18．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班、（2）班进行了检测，如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况．

（1）利用图中提供的信息，补全如表：

（3）现从两个班抽取了数学成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学，并随机分成两组进行数学竞赛，求恰好选中甲、乙一组的概率．

19．设、、为三个不同的实数，使得方程和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值．

20．在正方形中，为的中点，的延长线于点，连接、、交于点，连接，．求证下列结论：

（1）；

（2），．

21．已知函数y＝，请根据已学知识探究该函数的图象和性质．

（1）列表，写出表中a、b、c的值：a＝　  　，b＝　  　，c＝　  　．

（3）已知函数y＝x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式≥x+2的解集：　   　．

22．如图，是半的直径，点是半圆弧的中点，点是弧的中点，连结交、于点、．

（1）在图中与相似的三角形有　  　个；

（2）求证：；

（3）求的值．

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），与y轴相交于C．

（1）求直线BC的表达式．

（2）垂直于y轴的直线l与直线BC交于点N（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．

参

1．D

【解析】

【分析】

将原式进行化简后即可确定正确的选项．

【详解】

解：∵有意义，

∴x＜0，

∴﹣x＞0，

∴﹣x＝﹣x•＝，

故选：D．

【点睛】

考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．

2．B

【解析】

【分析】

设x+2＝a，1﹣y＝﹣b，把要求解的方程组转化为，再求x、y的值．

【详解】

解：设x+2＝a，1﹣y＝﹣b．则方程组

可变形为．

∵方程组 的解是．

∴x+2＝8.3，1﹣y＝﹣1.2．

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程的解．把要求解的方程组转化为已知方程组，是解决本题的关键．

3．D

【解析】

【分析】

列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

列表得：

∴一共有36种情况，

∵b＝﹣6，当b2﹣4ac≥0时，有实根，即36﹣4ac≥0有实根，

∴ac≤9，

∴方程有实数根的有17种情况，

∴方程有实数根的概率＝，

故选：D．

【点睛】

本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．

4．C

【解析】

【分析】

过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由AF的坡比i＝1：，DA＝6，可求得AN与DN的长，设大树的高度为x米，由三角函数定义可得AC＝，在BDM中，tan∠BDM＝＝tan27°≈0.5，则BM＝0.5DM，得出方程x﹣3＝0.5×（3，解方程即可求得答案．

【详解】

过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

则四边形DMCN是矩形，

∵DA＝6，斜坡AF的坡比i＝1：＝＝tan∠DAN，

∴∠DAN＝30°，DN＝AD＝3，AN＝DN＝3，

设大树的高度为x米，

∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，

∴tan48°＝≈1.1，

∴AC＝，

∴DM＝CN＝AN+AC＝3，

在BDM中，tan∠BDM＝＝tan27°≈0.5，

∴BM＝0.5DM，

∴x﹣3＝0.5×（3），

解得x≈10．

即树高BC约10米．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题；能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键．

5．A

【解析】

【分析】

【分析】

根据题意分别表示出不等式组与分式方程的解，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．

【详解】

不等式组整理得：，

解得：﹣2≤x＜a﹣1，

由不等式组至少有4个整数解，得到a﹣1＞1，即a＞2，

分式方程去分母得：3（y﹣1）﹣ay＝﹣5，

去括号得：3y﹣3﹣ay＝﹣5，即（3﹣a）y＝﹣2，

解得：y＝，

由分式方程有整数解，得到a﹣3＝±1，a﹣3＝﹣2，

解得：a＝2（不符合题意，舍去），a＝4，a＝1（不符合题意，舍去），

故符合条件的所有整数a的和为4．

故选：A．

【点睛】

此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．B

【解析】

【分析】

先根据题意得出a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，再代入原式进行计算即可．

【详解】

∵a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，

∴a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，

∴原式＝+

＝+﹣3

＝9×﹣3

＝7，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

7．C

【解析】

【分析】

设半径OC⊥AB于点E，连接,利用圆周角定理求出∠BO，解直角三角形求出BE即可解决问题．

【详解】

设半径OC⊥AB于点E，连接,

∴，

∴∠D＝∠BOC＝30°，

∴∠BO＝60°，

∵是等腰三角形，，OB＝2，

∴AE＝EB＝OB•sin60°＝，

∴AB＝2AE＝2，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

8．C

【解析】

【分析】

证明，可得，由此即可解决问题．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵点是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

9．D

【解析】

【分析】

根据图象与x轴有交点，得出判别式≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，

∴＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0

解得：a≥﹣2；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，

且当x＞3时，y随x的增大而增大，

∴a≤3，

∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．

10．A

【解析】

【分析】

分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．

【详解】

解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，

当点A在D点的左侧时，

设AC交DE于点H，

则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，

则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；

当点A在DG上时，

同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；

点C在EF的中点右侧时，

同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，

图象为开口向上的二次函数．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

11．12π

【解析】

【分析】

根据正弦的定义求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算，求出圆锥的侧面积．

【详解】

解：∵圆锥母线长为6，sinθ＝，

∴圆锥的底面半径＝6×＝2，

∴圆锥的底面积＝4π，

∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π，

∴该圆锥的侧面积＝×4π×6＝12π，

故答案为：12π．

【点睛】

本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．

12．a＞c＞b．

【解析】

【分析】

直接利用幂的乘方运算法则分别化简得出答案．

【详解】

∵a＝249＝（27）7，b＝328＝（34）7，c＝521＝（53）7，

∴27＝128，34＝81，53＝125，

∴a＞c＞b．

故答案为：a＞c＞b．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方运算，正确化简各数是解题关键．

13．c﹣2a

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：由数轴可得：a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|b|，

故a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣a＞0，

原式＝﹣a+a﹣b+c﹣a+b﹣a

＝c﹣2a．

故答案为：

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．

14．等腰三角形

【解析】

【分析】

首先需要将a2b﹣a2c+b2c﹣b3因式分解，则可得到（b﹣c）（a﹣b）（a+b）＝0，即可得到：b＝c或a＝b，即这个三角形一定是等腰三角形．

【详解】

∵a2b﹣a2c+b2c﹣b3＝a2（b﹣c）﹣b2（b﹣c）

＝（b﹣c）（a2﹣b2）＝（b﹣c）（a﹣b）（a+b）＝0，

∴b﹣c＝0或a﹣b＝0或a+b＝0（舍去），

∴b＝c或a＝b．

∴这个三角形一定是等腰三角形．

故答案为：等腰三角形．

【点睛】

此题考查了因式分解的应用．注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．

15．①③④

【解析】

【分析】

连接OD、BG、CD，如图，利用切线的性质得到OD⊥DF，再利用圆周角定理和等腰三角形的性质证明OD∥AC，则可对①进行判断；利用OB＝BC＝5，BD＝6可对②进行判断；利用勾股定理计算出CD＝8，则可计算出△ABC的面积，从而可对③进行判断；利用面积法计算出BG＝，则cos∠CBG＝，然后证明∠E＝∠CBG，从而可对④进行判断．

【详解】

解：连接OD、BG、CD，如图，

∵DF为切线，

∴OD⊥DF，

∵BC为直径，

∴∠BDC＝90°，

∵CA＝CB，

∴CD平分AB，即AD＝BD＝6，

而OB＝OC，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴DF⊥AC，所以①正确；

∵OB＝BC＝5，BD＝6，

∴OD≠BD，所以②错误；

在Rt△BCD中，CD＝＝8，

∴S△ABC＝CD•AB＝×8×12＝48，所以③正确；

∵BC为直径，

∴∠BGC＝90°，

∴S△ABC＝BG•AC＝48，

∴BG＝，

∴cos∠CBG＝＝＝，

∵BG⊥AC，EF⊥AC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠CBG，

∴cosE＝，所以④正确．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．

16．②③

【解析】

【分析】

把函数解析式化为一般式，再结合方程、函数图象等进行判断即可．

【详解】

解：当函数图象向上平移4个单位时，解析式为y＝ax2+2（a﹣1）x，

则其图象过原点，故①不正确；

在y＝ax2+2（a﹣1）x﹣4中，令x＝0可得y＝﹣4，

当0＜a＜1时，其对称轴为x＝﹣＞0，

此时其顶点坐标在第四象限，故②正确；

∵y＝a（x+2）（x﹣）＝ax2+2（a﹣1）x﹣4，

∴方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4可化为ax2+2（a﹣1）x﹣4＝﹣4，

即ax2+2（a﹣1）x＝0，该方程有实数根，故③正确；

当a＜0时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴的左侧，

但无法确定其在x＝﹣2的左侧还是右侧，故④不正确；

综上可知正确的是②③，

故答案为：②③．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程、图象的平移等知识是解题的关键．

17．（1）+1；（2）．

【解析】

【分析】

（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案；

（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．

【详解】

解：（1）原式＝3+﹣1﹣1

＝+1；

（2）原式＝•（a+3）

＝•（a+3）

＝．

【点睛】

此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18．（1）答案见解析；（2）初三（1）班的学生纠错的得分更稳定．28名，24名；（3）．

【解析】

【分析】

（1）中位数、众数的定义、方差的定义进行解答即可；

（2）方差越小越稳定．找到样本中24分和24分人数所占的比例，即可得出答案；

（3）画出树状图，由树状图求得所有可能的结果与甲、乙分在同一组的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

（1）初三（1）班有4名学生24分，最多，故众数为24分；

把初三（2）班的成绩从小到大排列，则处于中间位置的数为24和24，故中位数为24分，

初三（1）班的方差为：S22＝ [（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×2+（27﹣24）2×2+（30﹣24）2×2+（15﹣24）2]＝×198＝19.8；

补全如表：

（2）∵S12＜S22，

∴初三（1）班的学生纠错的得分更稳定．

初三（1）班优秀学生为40×＝28人；

初三（2）班优秀学生为40×＝24人．

（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙一组的有2种情况，

∴恰好选中甲、乙一组的概率为＝．

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法、方差、众数和中位数．注意概率＝所求情况数与总情况数之比

19．a+b+c=-3．

【解析】

【分析】

设，，得，同理，由，，得，再根据韦达定理即可求解．

【详解】

解：设，，两式相减，得，解得，

同理，由，，得，

，

是第一个方程的根，

与是方程的两根，

是方程和的公共根，

因此两式相减有，

当时，这两个方程无实根，

故，从而，

于是，，

所以．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，关键是根据韦达定理解题，属于中档题．

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知和正方形的性质推出，，，证即可；取的中点，连接，推出，证，，，推出，利用全等三角形的性质得出结论；

（2）利用（1）中可得，求出，推出，利用全等三角形的性质即可得出结论．

【详解】

证明：（1）正方形，，，

，，

，

，，

，

在与中，

，

，

，，

，

取的中点，连接，

，，

，

，

，

，

，

在与中，

，

，

；

（2），

，

，，

，，

，

，

，

，

在与中，

，

，

，，

且．

【点睛】

本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

21．（1）1.2，6，0.6；（2）图象见解析，函数关于y轴对称；（3）图象见解析，x≤1．

【解析】

【分析】

（1）分别将x的值代入函数y＝中，可得结论；

（2）根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象，并直接说性质；

（3）由图象：函数y＝的图象在y＝x+2的图象的上方对应的x值取值范围可得．

【详解】

解：（1）当x＝﹣2时，a＝＝1.2，

当x＝0时，b＝6，

当x＝3时，c＝＝0.6，

故答案为：1.2，6，0.6；

（2）如图所示：

性质：函数关于y轴对称；（答案不唯一：或函数有最大值是6）；

故答案为：函数关于y轴对称；

（3）由图象得：不等式≥x+2的解集是：x≤1；

故答案为：x≤1．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．

22．（1）3；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

【分析】

（1）利用相似三角形的判定方法，结合圆周角定理得出即可；

（2）利用全等三角形的判定与性质得出，进而求出即可；

（3）利用已知首先判断，进而得出答案．

【详解】

（1）因为圆周角、所对的弦是直径，所以，

由点是弧的中点，可得：；

又点是半圆弧的中点，所以，

因此由，得；

由，，

所以；

又，，所以，

又，所以，

即与相似的三角形有；；共3个．

（2）证明：如图，延长与相交于，

∵点是半圆弧的中点，点是弧的中点，

∴，

在和中

∵，

∴

∴，而，

∴．

（3）解：如图，连接交于点，

则，可得：，

故，

故，

设，则，

故，，

则．

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用圆周角定理得出对应角相等是解题关键．

23．（1）y＝x﹣3；（2）1＜x1+x2+x3＜2．

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；

（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．

【详解】

（1）由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），C（0，﹣3）．

所以A（﹣1，0），B（3，0），

设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），

则，

解得，

所以直线BC的表达式为y＝x﹣3；

（2）由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣1）2﹣4，

所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）．

∵y2＝y3，

∴x2+x3＝2．

令y＝﹣4，y＝x﹣3，x＝﹣1．

∵x1＜x2＜x3，

∴﹣1＜x1＜0，即1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，“数形结合”的数学思想是解题的关键．