数学与文化：数学悖论

◆徘徊的幽灵——悖论（代序）● 

    “一个幽灵，主义的幽灵，在欧洲徘徊。”这是《党宣言》的开场白。这幽灵震撼了整个旧的世界，一切旧的势力为驱逐它而结成了同盟，而新的势力则在其鼓舞下开创了一个崭新的世界。在2000多年来的人的思维发展史中，也有一个幽灵不断缠绕着人们，这就是引起众多哲人的注意，并使许多人为之倾其毕生心血的难题——悖论。“悖论”的“悖”字，据《辞源》解：“‘悖’，背理也，乱也，逆也，惑也。”故“悖论”也称作“逆论”、“反论”。这个词的意义很丰富，它包括一切与人的直觉或日常经验相抵触的理论、观点或论断。悖论主要有以下几种表现形式：（l）一种论断看似谬误，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一种论断看似正确，但实际上却是错的（似是而非的理论）；（3）某一理论体系中，从某些看似正确的公理出发，根据一系列的无懈可击的推理，却导致逻辑上的自相矛盾或矛盾循环。在逻辑和数学中，人们所说的“悖论”，主要指第三种形式，即自我矛盾的循环。最古老的悖论要算“说谎者悖论”了。

    据传说，公元前6世纪，古希腊的克里特岛上住着一个叫埃皮门尼德的人。幼年时他与一些小朋友到山中玩耍，偶然误入一个山洞，在洞中迷迷糊糊地睡着了。但这一觉他竟然睡了57年，待他醒来时，已过了“耳顺之年”。他发现自己已成了一个学者，熟谙哲学和医学，成为岛上的“先知”。据《圣经》记载，作为克里特岛上“先知”的埃皮门尼德曾轻蔑地说过这样一句话：“克里特岛人都是说谎者。”

    如何理解这句话呢？如果这句话是真的，即克里特岛人真的都是说谎者，而既然埃皮门尼德也是克里特岛人的一员。那么，他也是个说谎者。假如“说谎者”的含义是指不说一句真话的人，则显然可得出，这句话是谎话，即是假的，这显然是个矛盾。但是，这并不能使埃皮门尼德陷入困境，因为可以设定此话为谎话，但要具备一个条件，即克里特岛上其他任何人或埃皮门尼德本人除此之外还说过真话，而说过真话的人就不算作“说谎者”。这样，埃皮门尼德的这句话就成为谎话。但是，这种通过偶然的事实来解决悖论的方法，从逻辑上说是不能令人满意的。

    在印度因明学（逻辑学）中也有与此类似的例子。因明学有一条立论的基本原则，就是不能“自语相违”。例如，“一切语皆妄（虚假）”就是自语相违。有一个叫神泰的因明家评论道：

    说“一切语皆妄”的人，你口中的这句话是否真实呢？

    假如说是真的，那么，为什么说“一切语皆妄”呢？如果说你这句话是虚假（妄）的，那么，应该承认一切语皆实。

    即使你补充一句，说“除我所语，其余一切语皆妄”，也于事无补。因为有个第二者听了你这句补救的话后，指出：“你这句补充的话是实话。”那么，第二者的话是实，还是妄？如果第二者的话是妄，那说明你补充的话虚假；如果第二者的话为实，那你又有何理由说“除我所语，其余一切语皆妄”呢？

    假定你再补充一句：“除了我语及这个评论我的第二者的话真实以外，其余所语皆妄。”这时又会有第三人接着评论说：“这第二个人的话也是真实的。”那么，第三个人的话是实，还是妄？

    同理，如果设定为假，那么，第二个人及第一个人说的话就不对了；而如果第三个人的话是真的，又怎么能说除我及第二个人所语，其余皆妄呢？

    同样，第四人、第五人……依次类推，以至无穷。你说“一切语皆妄”为真，而“一切语皆妄”也是“一切语”的一句，因此又推出“一切语皆妄”为假。你看到推出矛盾，就作一补充，说除你所语之外，一切语皆妄，但这样就会出现无穷多个例外，因而，例外也就不成其为例外。

    可以看出，神泰的这一连串推理，除了从“一切语皆妄”虚假推出“一切语皆实”不合逻辑之外，其余的推论都是正确的。从逻辑上讲，从“一切语皆妄”中，只能推出“有些语为实”。

    我国古代的经典《墨经》中也曾对这种自相矛盾作过论述。《墨经》指出：“言尽悖。”意思是说，断定一切的命题会导致矛盾，如“任何东西我都不信。”

    严格说来，上述这些论断并不是真正的悖论。因为尽管由假设其真可导致矛盾，但我们可据反证法证明其为假，而设定其假并不能推出矛盾。

    公元前4世纪，古希腊麦加拉哲学派的欧布利德斯对上述“说谎者悖论”作了修正。据说，他最初表述的是：那个说自己说谎的克里特岛人说谎吗？这是一个悖论。后来，欧布利德斯又把“说谎者悖论”表述为：“我正在说的是谎话。”这才是真正严格的悖论。因为假如这句话是真话，即“我真的在说谎话”。但我说的只有这一句话，因此，“我正在说的这句话是谎话”必是谎话，即为假；假如这句话为假，即我并非正在说谎话，那么，说的必然是真话，因此，这句话为真。无论采取哪种假设，都无法自圆其说。说它真，则推出假，说它假，则又推出真。真→假→真……陷入无穷的循环当中。

    古希腊哲学家还经常讲一个鳄鱼的故事：

    一位母亲抱着心爱的孩子到河边洗衣服。一条鳄鱼偷偷地从旁边游近她，从她的怀抱中把孩子抢走。母亲非常痛苦，哭哭啼啼地央告鳄鱼把孩子还给她。

    “好吧，我可以把孩子还给你，但有一个条件。”鳄鱼说。

    “什么条件我都答应，只要你能还我孩子。”

    “是这样，你猜一猜我会不会吃掉你的孩子？如果你答对了，我就把孩子毫不伤害地还给你。答不对嘛，那我就把他吃掉了。”

母亲思索片刻回答说：“啊！你是要吃掉我的孩子的。”

    “呣……我怎么办呢？如果我把孩子交还给你，你就说错了，我应该把他吃掉。”鳄鱼高兴起来，“好了，这样我就不把他还给你了。”

    “可是，这样你必须把孩子还给我，因为如果你吃了我的孩子，我就说对了。你答应我说对了就把孩子还给我的。”

愚蠢的鳄鱼懵了，结果把孩子还给了母亲，母亲抱起孩子就跑掉了。

    “唉，要是她说我要还给她孩子，我可就美餐一顿了。”鳄鱼很遗憾地说道。

    仔细地琢磨一下这个著名的“鳄鱼悖论”，你会发现，这位母亲是多么聪明。她对鳄鱼说：“你要吃掉我的孩子。”这样，无论鳄鱼怎么做都会与其允诺相矛盾。如果把孩子还给母亲，她的话就是错的，那么，就应把孩子吃掉，即不还给母亲；而如果不还给母亲，母亲的话就是对的，那么，就应该还给母亲。还给→不还给→还给→不还给……鳄鱼陷入了无穷的循环中，无法从中摆脱出来而不违背自己的允诺。

    如果不是这样，假如母亲换个说法：“你要把孩子还给我。”那么，鳄鱼就不用感到困惑了。它既可以交回孩子，也可以把他吃掉。如果它交回孩子，母亲的话就说对了，鳄鱼遵循了自己的诺言；如果它聪明的话，也可把孩子吃掉，这时，母亲的话是错的，鳄鱼也遵循了自己的诺言。

    对于这种无限循环的悖论，美国人霍夫斯塔特给了它一个生动的名字：“一步即成的怪圈。”当代杰出画家埃舍尔曾用版画形象地说明了这种怪圈。图1的名字叫《瀑布》。在图中，一条瀑布倾泻而下，水花四起，还推动了水轮。汇集到一个大池子中的水顺着水渠哗哗地向下流去，一级一级下降。突然，水又流回到瀑布口！真是不可思议！可是在画面上却表现得明明白白，天衣无缝。图2的名字叫《上升与下降》。在冰冷阴森的教堂顶上，僧侣们排成两队向前走。其中一队总是沿着楼梯向上走，另一队总是往下走。可令人不解的是，他们走的却是同样的楼梯，并且不断地回到原来的出发点。

    古代的一些人认为，这种怪圈“纯系文字游戏”，于是只把它们当做茶后饭余的笑料而已。然而，在历史发展的每一阶段中，这种怪圈总像幽灵一样神秘地出现在人们的思维中，令众多哲人为之烦恼。说它神秘，是因为至今没有能使大家信服的解释，也没有一种公认为完善的驱除它的方法。任何严谨的逻辑学家都会认识到这种怪圈所带来问题的严重性，因为在怪圈面前，形式逻辑的最基本规律同一律、不矛盾律、排中律完全失效。形式逻辑规定：一命题要么真，要么假，不能既真又假，”也不能不真不假。但对怪圈而言，一说它真，即可推知假，说它假，则又可推出真，真假无限循环。因此，著名数学家哥德尔说，这个问题不解决，形式逻辑就会破产，整个人类思维的大厦就会崩溃！

    在历史上也有一些哲学家、逻辑学家和数学家试图对悖论进行解释。古代圣哲亚里士多德在其《论辩篇》和《形而上学》中解释过说谎者悻论，古希腊斯多葛哲学派的代表克里西波斯为解释说谎者悖论写了六部书。希腊诗人柯斯的裴勒塔潜心研究悖论，把身体搞得十分瘦弱。据说他的鞋中常带着铅，以免被大风吹跑，最后竟因操劳过度，一命呜呼，这可说是悖论的第一个“殉道者”了。中世纪的哲人们把悖论称为“不可解命题”，并对此进行了更加深入的研究。他们在说谎者悖论的基础上发现了一些新的悖论，并提出解决悖论的15种方法。集合论中悖论的出现，更引起人们对悖论的重视。人们又发现了理查德悖论、罗素悖论、格里灵悖论等一些著名的悖论，并提出了解决悖论的新方法。

    悖论在历史上曾引起三次数学危机，导致了人们对思维层次的深入剖析，促使一些新学科的出现，因此，成为当代逻辑学家、数学家、语言学家和哲学家们共同的热门话题。 

◆悖论的定义及其非存在性● 

　　依照《辞海》，悖论的定义为：“一命题B，如果承认B，可推得～B（非B），反之，如果承认～B，又可推得B，称命题B为一悖论。”由此即有，语句A是悖论，当且仅当：

　　(1)A是命题；

　　(2)A和非A可（借助正确的推理形式）相互推出。

这实际上可视为与前述定义等价的又一个悖论定义。

　　然而，我们却可证得如下

　　引理 如果语句A和非A可（借助正确的推理形式）相互推出，则A不是命题。

　　证明：不妨假设A是命题。此时，正确的推理形式便被用到了正确的对象——命题上，故而A与非A的相互推出便是合乎逻辑的。由反证法即有：A、非A，矛盾，证毕。

借助此一引理不难证明

　　悖论非存在定理 悖论不存在，亦即任何语句都不是悖论。

　　证明：不妨假设有一个语句A确为悖论。此时便有，A同时满足（1）、（2）。由A满足（2）和前述引理即有，A不是命题，由A满足（1）又有，A是命题，矛盾，证毕。

　　进一步的思考表明，由上述引理还可导出如下

　　推论 一语句A若满足A和非A可（借助正确的推理形式）相互推出，则A要么是非真非假的单义句，要么是多义句。

　　我们知道，逻辑学中所谓的“命题”系指“具有真假意义的语句”，更确切地说，系指具有一个明确的含义且此一含义要么为真要么为假的语句，简言之，亦即要么为真要么为假的单义句。另一方面，我们又知道，语句可分为单义句和多义句，单义句又可进一步分为要么为真要么为假的单义句以及非真非假的单义句。上述引理断言，一语句A若满足A和非A可借助正确的推理形式相互推出则A不是命题，实际上也就等于否定了A是要么为真要么为假的单义句，这显然意味着，A只能要么是非真非假的单义句要么是多义句，二者必居其一。

　　现在仍被视为“悖论”的语句实际上均满足其本身及其否定可以借助正确的推理形式相互推出（这也正是其惑人之处），故由上述推论可知，这些“悖论”既可能是非真非假的单义句，又可能是多义句，而不像克里普克所认为的那样只能是非真非假的单义句。这就为判定“悖论”的真正归属以及消解“悖论”开辟了新的思路──我们不仅可以通过证明一个“悖论”是非真非假的单义句来消解它，还可以通过证明一个“悖论”是多义句来消解它。

　　应当指出的是，克里普克关于“说谎者悖论”等典型“语义悖论”不具有真值（真假二值）的理论实际上潜含着不可克服的内在矛盾，必须予以扬弃。现仅以“说谎者悖论”和“强化的说谎者悖论”为例试说明之。

　　首先，把“本语句为假”说成是“无根据的”亦即并无真值的单义句必然会导致自相矛盾。因为这实际上意味着，“本语句为假”是非真非假的，故而便有言其自身为假的“本语句为假”是假的，于是又有，言其自身为假的“本语句为假”是真的，这就重新回到了原先的怪圈。

　　其次，把“本语句非真”说成是“无根据的”亦即并无真值的单义句也会导致自相矛盾。因为这意味着，“本语句非真”是非真非假的，故而便有，言其自身非真的“本语句非真”是真的，于是又有，言其自身非真的“本语句非真”不是真的，这同样也回到了原先的怪圈。

　　事实上，不难证明，“说谎者悖论”等典型“语义悖论”根本就不是什么非真非假的单义句，而是多义句。依照前述推论，我们有，典型“语义悖论”要么是非真非假的单义句要么是多义句，由于前一种说法必然导致矛盾，故而结论只能是，“说谎者悖论”等典型“语义悖论”均为多义句。

　　这些看上去简单至极的句子真的会是多义句吗？回答是肯定的。现仍以“说谎者悖论”为例说明之。试分析“本语句为假”这个句子，由于该语句中的“本语句”系指该语句本身，所以，该语句只不过是“‘本语句为假’为假”的简略表达形式。此种分析可一直进行下去，最后，我们便会发现，该语句只不过是如下这个无穷嵌套语句的简略表达形式：

（（（（......）为假）为假）为假）

两者虽形式有异而语义并无不同，故而我们只消揭示后者的多义性本质即可。

　　显然，我们可将这个无穷嵌套的语句作如下理解，即它是在说一个语句为假，那个语句又在说一个语句为假，如此等等，以至无穷。此时，它实际上便成了一个永远也说完的、语义不完整的语句，显然，在此含义下它只能是非真非假的。如此说来，克里普克称“本语句为假”是“无根据的”也不是事出无因。然而请注意，我们同样可以把这个无穷嵌套的语句理解为是在断言上述含义下的无穷嵌套的语句为假，或者理解为是在断言上一种含义下的语句为假，如此等等，以至无穷。显然，该无穷嵌套的语句在这一系列含义下的真值将依次为假与真的交替出现。由此可见，这个无穷嵌套的语句的确具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值（此处指真、假、非真非假三值）。由于“本语句为假”与之形异而义同，故此一结论对该语句自然也是成立的。对于其它典型“语义悖论”的多义性本质，均可以同一方式予以揭示，兹不赘述。

　　既然“说谎者悖论”等典型“语义悖论”乃是多义句，根本就不是什么命题，自然也就不是真正意义上的悖论。

　　应当强调指出的是，由此我们还可进一步看出，典型“语义悖论”之推理实为逻辑之误用，根本不合逻辑。

　　正如此前业已提到的，这些语句及其否定是可以借助正确的推理形式相互推出的，这极易造成这些推理合乎逻辑的印象，实则不然。我们知道，逻辑就其本质而言乃是基于语义的，正确的推理形式之适用范围并不包括语义未定之多义句，这也正是各种逻辑都力图排除歧义性之根本原因所在。由此可见，将正确的推理形式施加于多义句实际上超越了其适用范围，纯属逻辑之误用。显然，就多义句之推理而言，正确的做法只能是，先行确定或区分其不同之含义，然后施推理于或分别施推理于表达这个或这些含义的单义句。

　　既然典型“语义悖论”为多义句，其否定自然亦为多义句，故而两者之间之互推即便借助的是正确的推理形式也犯有施推理于多义句的致命错误，纯属逻辑之误用，根本不合逻辑。

　　总而言之，悖论非存在定理是成立的，但典型“语义悖论”之消解则远非克里普克理论所能胜任。他的学说也许适用于“集合论悖论”（如“罗素悖论”），却根本不适用于典型“语义悖论”。一如本文所表明的，典型“语义悖论”均为多义句而非单义句，因此绝不能被简单地说成是“无根据的”。实际上，这种说法也根本无助于消解这些“悖论”，而唯有通过揭示其多义句本质方能使之真正归于消解。

　　最后，有必要指出，就典型“语义悖论”而言，本文给出的消解方法乃是统一的和非特设性的，这也正是逻辑哲学家长期以来梦寐以求的。