充分条件与必要条件 精品教案

【教学目标】

1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用。

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打

【教学重点】

正确理解三个概念，并在分析中正确判断；

【教学难点】

充分性与必要性的推导顺序。

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教材分析】

这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。

这一大节的重点是充要条件。学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。

关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。

【教学过程】

一、复习引入：

同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件。

二、讲解新课：

1．符号“”的含义

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假。“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq。 

简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）。 

符号“”叫做推断符号。

例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；

又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等。

说明：

（1） “pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”。

（2）“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”。

2．什么是充分条件？什么是必要条件？

如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。

3．充分条件与必要条件的判断

直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。（条件与结论是相对的）

三、范例

【例1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1） p：x=y；q：x2=y2。 

（2） p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等。

分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。

解：（1）由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。

【例2】如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B． 请回答：

（1）命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件。 

（2）命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件。

解法1(直接判断)：（1）∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件。 

（2）如图2（1），∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件。

解法2(利用逆否命题判断)：（1）它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”。 ∵“B不为绿色  A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件。

（2）它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”。 如图2（2），∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件。 

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明。

先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的。例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”。它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式。

再说必要性：必要就是必须，必不可少。从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色。但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”。因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行。它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式。

总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据。

例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想。

四、练习：

用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

1．“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件；

2．“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件；

3．“x3”是“|x|3”的 充分 条件；

4．“x-1=0”是“x2-1=0”的 充分 条件；

5．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件；

6．“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a，b，c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 必要 条件；

8．“a=2，b=3”是“a + b=5”的 充分 条件；

9．“a + b是偶数”是“a和b都是偶数”的 必要 条件；

10．“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 充分 条件。

五、小结： 

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法。

判断充分条件与必要条件的依据是：

若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；

若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件。

【作业布置】

设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？

解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件。