2019年江苏省扬州市中考数学试卷(含解析)完美打印版

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列各数中，小于﹣2的数是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1

3．（3分）分式可变形为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

4．（3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（　　）

A．2 B．3 C．3.2 D．4

5．（3分）如图所示物体的左视图是（　　）

A．B． C．D．

6．（3分）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

8．（3分）若反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（　　）

A．m＞2 B．m＜﹣2    

C．m＞2或m＜﹣2 D．﹣2＜m＜2

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为　   　．

10．（3分）分解因式：a3b﹣9ab＝　   　．

11．（3分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：

12．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　   　．

13．（3分）计算：（﹣2）2018（+2）2019的结果是　   　．

14．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝　   　°．

15．（3分）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　   　．

16．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　   　．

17．（3分）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　   　cm2．

18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算或化简：

（1）﹣（3﹣π）0﹣4cos45°；

（2）+．

20．（8分）解不等式组，并写出它的所有负整数解．

21．（8分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．

（1）表中a＝　   　，b＝　   　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　   　；

（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．

23．（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．

（1）求证：∠BEC＝90°；

（2）求cos∠DAE．

25．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．

①求∠AQB的度数；

②若OA＝18，求的长．

26．（10分）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．

请依据上述定决如下问题：

（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝　   　；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面积；

（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），

27．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．

（1）若a＝12．

①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为　   　；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．

28．（12分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　   　；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　   　；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

2019年江苏省扬州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，正确．

故选：D．

2．（3分）下列各数中，小于﹣2的数是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1

【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．

【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，

分析选项可得，﹣＜﹣2＜﹣＜﹣＜﹣1，只有A符合．

故选：A．

3．（3分）分式可变形为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．

【解答】解：分式可变形为：﹣．

故选：D．

4．（3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（　　）

A．2 B．3 C．3.2 D．4

【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数．

【解答】解：在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；

故选：A．

5．（3分）如图所示物体的左视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．

【解答】解：左视图为：，

故选：B．

6．（3分）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，此题得解．

【解答】解：∵﹣1＜0，4＞0，

∴一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．

∵点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，

∴点P一定不在第三象限．

故选：C．

7．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【分析】分两种情况讨论：：①若n+2＜n+8≤3n，②若n+2＜3n≤n+8，分别依据三角形三边关系进行求解即可．

【解答】解：①若n+2＜n+8≤3n，则

，

解得，即4≤n＜10，

∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；

②若n+2＜3n≤n+8，则

，

解得，即2＜n≤4，

∴正整数n有2个：3和4；

综上所述，满足条件的n的值有7个，

故选：D．

8．（3分）若反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（　　）

A．m＞2 B．m＜﹣2    

C．m＞2或m＜﹣2 D．﹣2＜m＜2

【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝的图象上，解方程组得x2﹣mx+2＝0，根据y＝的图象与一次函数y＝﹣x+m的图象有两个不同的交点，得到方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，于是得到结论．

【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝的图象上，

∴解方程组得x2﹣mx+2＝0，

∵y＝的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，

∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，

∴△＝m2﹣8＞0，

∴m＞2或m＜﹣2，

故选：C．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为　1.79×106　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据1790000米用科学记数法表示为1.79×106，

故答案为：1.79×106．

10．（3分）分解因式：a3b﹣9ab＝　ab（a+3）（a﹣3）　．

【分析】首先提取公因式ab，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．

【解答】解：a3b﹣9ab＝a（a2﹣9）＝ab（a+3）（a﹣3）．

故答案为：ab（a+3）（a﹣3）．

11．（3分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：

【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．

【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，

故答案为0.92．

12．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　x1＝2，x2＝1　．

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，

x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x﹣1）＝0，

x﹣2＝0，x﹣1＝0，

x1＝2，x2＝1，

故答案为：x1＝2，x2＝1．

13．（3分）计算：（﹣2）2018（+2）2019的结果是　+2　．

【分析】先根据积的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2），然后利用平方差公式计算．

【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2）

＝（5﹣4）2018•（+2）

＝+2，

故答案为+2．

14．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝　128　°．

【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．

【解答】解：延长DC，

由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，

则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．

故答案为：128．

15．（3分）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　15　．

【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝24°，则边数n＝360°÷中心角．

【解答】解：连接BO，

∵AC是⊙O内接正六边形的一边，

∴∠AOC＝360°÷6＝60°，

∵BC是⊙O内接正十边形的一边，

∴∠BOC＝360°÷10＝36°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，

∴n＝360°÷24°＝15；

故答案为：15．

16．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　　．

【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．

【解答】解：连接CF，

∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，

∴GF＝GB＝5，BC＝7，

∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，

∴＝13．

∵M、N分别是DC、DF的中点，

∴MN＝＝．

故答案为：．

17．（3分）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　32π　cm2．

【分析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．

【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，

则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝32π；

故答案为：32π．

18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝　40380　．

【分析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得，因为AB＝5，BC＝4，则有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20；

【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，

∴，即，

∵AB＝5，BC＝4，

∴4D1E1+5D1F1＝20，

同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，

∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；

故答案为40380．

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算或化简：

（1）﹣（3﹣π）0﹣4cos45°；

（2）+．

【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；

（2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得．

【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣4×

＝2﹣1﹣2

＝﹣1；

（2）原式＝﹣

＝

＝

＝a+1．

20．（8分）解不等式组，并写出它的所有负整数解．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，

解不等式x﹣4＜，得：x＜2，

则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，

所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．

21．（8分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．

（1）表中a＝　120　，b＝　0.1　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数与频率可得总人数a，再用12除以总人数可得b的值；

（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；

（3）利用样本估计总体思想可得．

【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，

故答案为：120，0.1；

（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，

补全图形如下：

（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．

22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　；

（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．

故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有12种可能，满足条件的有4种可能，

所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝＝

23．（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？

【分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案．

【解答】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得：

＝，

解得：x＝900，

经检验得：x＝900是原方程的根，

答：甲工程队每天修900米．

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．

（1）求证：∠BEC＝90°；

（2）求cos∠DAE．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；

（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE＝＝8，得出cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DAE＝∠DEA

∴AD＝DE＝10，

∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，

∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，

∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠BEC＝90°，

∴AE＝＝＝8，

∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．

25．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．

①求∠AQB的度数；

②若OA＝18，求的长．

【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；

（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角的性质得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；

②根据弧长公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OB，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵PC＝CB，

∴∠CPB＝∠PBC，

∵∠APO＝∠CPB，

∴∠APO＝∠CBP，

∵OC⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠OAP+∠APO＝90°，

∴∠CBP+∠ABO＝90°，

∴∠CBO＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：①∵∠BAO＝25°，

∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，

∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，

∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°；

②∵∠AQB＝65°，

∴∠AOB＝130°，

∴的长＝的长＝＝23π．

26．（10分）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．

请依据上述定决如下问题：

（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝　2　；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面积；

（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），

【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB．根据正投影的定义求出BH即可．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H．由正投影的定义可知AH＝4，BH＝9，利用相似三角形的性质求解CH即可解决问题．

（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．根据正投影的定义，求出CD，DK即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．

∵T（AC，AB）＝3，

∴AH＝3，

∵AB＝5，

∴BH＝5﹣3＝2，

∴T（BC，AB）＝BH＝2，

故答案为2．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H．

∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，

∴AH＝4，BH＝9，

∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，

∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，

∴∠A＝∠BCH，

∴△ACH∽△CBH，

∴＝，

∴＝，

∴CH＝6，

∴S△ABC＝•AB•CH＝×13×6＝39．

（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．

∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，

∴AC＝2，

∵∠A＝60°，

∴∠ADC＝∠BDK＝30°，

∴CD＝AC＝2，AD＝2AC＝4，AH＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，

∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB，

∴BH＝6，

∴DB＝BH﹣DH＝3，

在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，

∴DK＝BD•cos30°＝，

∴CK＝CD+DK＝2+＝，

∴T（BC，CD）＝CK＝．

27．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．

（1）若a＝12．

①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为　3　；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．

【分析】（1）①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；

②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，

当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，作PM⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，则PM＝x，PN＝x﹣10，

EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝CD＝10，得出GF＝GE+EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2+169，由二次函数的性质即可得出结果；

（2）P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴x＝10+，得出10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x＜20，二次函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出﹣202+×20≥50，a≥5；即可得出答案．

【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，

四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，

解得：x＝3；

故答案为：3；

②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，

∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，

当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，

作PM⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：

则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，

∵△GDC是等腰直角三角形，

∴DE＝CE，GE＝CD＝10，

∴GF＝GE+EF＝20，

∴GH＝20﹣x，

由题意得：PQ∥CD，

∴△GPQ∽△GDC，

∴＝，

即＝，

解得：PQ＝40﹣2x，

∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，

∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；

（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，

梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，

∵0≤a≤20，

∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，

∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，

∴当x无限接近于20时，S最小，

∴﹣202+×20≥50，

∴a≥5；

综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．

28．（12分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　4　；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　5　；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题．

（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B′E即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，

∵PB＝4，

∴PB′＝PB＝PA＝4，

∵∠A＝60°，

∴△APB′是等边三角形，

∴AB′＝AP＝4．

故答案为4．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB＝5，

∴∵B，B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′＝2OB

∴OB＝PB•sin60°＝，

∴BB′＝5．

故答案为5．

（3）如图3中，结论：面积不变．

∵B，B′关于直线l对称，

∴BB′⊥直线l，

∵直线l⊥AC，

∴AC∥BB′，

∴S△ACB′＝S△ACB＝×8××8＝16．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB′交AC于E，

在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，

∴PE＝PA•sin60°＝，

∴B′E＝6+，

∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．