解析几何教案(五)

§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐近线

1、二次曲线的渐进方向

二次曲线     ⑴

与直线                                               ⑵

当满足条件                    ⑶

时或者只有一个交点或者没有交点或者直线⑵全部在二次曲线⑴上。

⑴定义：满足条件的方向叫做二次曲线⑴的渐进方向，否则叫做非渐进方向。

⑵渐进方向的求法：

1若把⑶改写成

得     

2若把⑶改写成

得     

③若则一定有这时⑶变为

或

这时    

结论：当且仅当时，二次曲线⑴无实渐进方向。

因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。

⑶二次曲线按渐进方向分类

定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。

因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即

ⅰ椭圆型曲线： 

ⅱ抛物型曲线： 

ⅲ双曲型曲线： 

2、二次曲线的中心

弦：具有非渐进方向的直线与二次曲线总交于两点，我们把这样两点决定的线段叫做二次曲线的弦。

⑴定义(中心)：如果点是二次曲线的通过它的所有弦的中点，因而是二次曲线的对称中心，那么点叫做二次曲线的中心。

⑵点是二次曲线⑴的中心的条件：

点是二次曲线⑴的中心对任意过点的弦，

则点是中点设弦在直线方程为上，则交点对应的参数可由方程

确定

即其中

即

逆推上去可知，满足上式的点是二次曲线⑴的中心。

定理5.2.1点是二次曲线⑴的中心，其充要条件是

推论：坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程中不含的一次项。

⑶二次曲线按中心分类

二次曲线中心由方程组(5.2-1）决定

如果  上式有唯一解，二次曲线有唯一中心。

如果即若（5.2-1）无解，无中心

                                若无数多解，中心构成一条直线

或这条直线叫中心直线。

定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为中心二次曲线。

按中心分类

Ⅰ中心曲线

Ⅱ非中心曲线即

ⅰ无心曲线： 

ⅱ线心曲线： 

3、二次曲线的渐进线

1、定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。

显然，椭圆型曲线只有两条虚渐近线而无实渐近线，双曲型曲线有两条实渐近线，而抛物型曲线中的无心曲线无渐近线馅心曲线有一条渐近线就是它的中心曲线。

定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点或者整条直线在二次曲线上，成为二次曲线组成部分。

证明：设直线⑵是二次曲线⑴的渐进线，这里是二次曲线⑴的中心，为渐近方向，那么且

渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程

的根确定。当，渐近线⑵与二次曲线⑴没有交点，当时，渐近线⑵全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分。

作业： 

  §5、3 二次曲线的切线

1、定义5.3.1:如果直线与二次曲线⑴交于重合两点或整条直线在二次曲线上则称直线为二次曲线的切线。前者重合的交点叫做切点后者直线上每点都是切点。

2、过二次曲线上点的直线⑵是二次曲线⑴的切线的充要条件是⑴的切线

                （5.3-2）

逆推上去可知，满足条件5.3-2的直线⑵是⑴的切线。

因此，在直线⑵是⑴的切线充要条件是（5.3-2）成立。

3、过二次曲线上点的切线方程

⑴若与不全为零，那么取则过的切线方程唯一确定

或      (5.3-3)

        (5.3-5)

⑵若，则任意方向都满足5.3-2因此过点的任意直线都是切线。

定义5.3-2：二次曲线上满足条件的点叫做二次曲线⑴的奇异点简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点。

定理5.3.1：如果是二次曲线的正常点，那么过点的切线方程为(5.3-3)，是它的切点。如果是二次曲线的奇点，那么过的每一条直线都是二次曲线⑴的切线。

推论：如果是二次曲线⑴的正常点，那么通过的切线方程是     （5.3-4）

求过二次曲线    上点的切线

例1求二次曲线在点的切线方程

解法一、因为且

所以是二次曲线上的正常点，有5.3-3得在点的切线方程为

即

例2、求二次曲线过点的切线方程

解法一、因为所以点不是在二次曲线上，切线方程不能袭用公式5.3-3或5.3-4

因为过点的直线可以写成（其中为参数，为直线的方向数）又因为

， 

根据直线与二次曲线相切条件得

化简得

从而有

再由过点的直线方程得

代入上式得

所以

这两直线的方向分别为与显然都不是已知二次曲线的渐进方向

所以这就是所求的过的切线。

解法二、设过的切线的切点为那么切线方程为

即              ⑶

因为它过，所以             ⑷

又点在曲线上，所以  ⑸

联立⑷⑸得切线方程为

2、5，解：设切点为则切线方程为

它与平行

所以                          ⑴

又                              ⑵

有⑴求出代入⑵整理得

将换成动点坐标即得到轨迹方程

作业： 

思考题：1、求过点的二次曲线的切线

2、求过的切线。

练习：1写出切轴于，切于轴于的抛物型二次曲线方程

解：设二次曲线方程为

所以切于的切线方程为     ⑴

切于的切线方程为     ⑵

⑴与⑵分别与和比较系数有

又因所求二次曲线未抛物型 所以

解得代入原方程并消去得

         §5、4二次曲线的直径

1、平行经中点的轨迹

定理5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线。

证明：设点是任意一条与平行的弦的中点，设

则弦所在直线方程为它与二次曲线的交点可由方程  ⑴的两个根和确定 

即

因为点是线段中点所以

故所以

                   (5.4-1)

即      (5.4-2)

或    (5.4-3)

逆推回去可知，满足(5.4-1)的点必是以为方向的某弦的中点。因此5.4-1或5.4-2或5.4-3为一族平行弦于非渐进方向的弦的中点的轨迹。

  方程5.4-3的一次项系数不能全为零，这是因为，如果

则

这与是弦的方向即非渐进方向的假设矛盾所以5.4-3是一个二元一次方程，它是一条直线于是定理特征

2、二次曲线的直径

⑴定义5.4-1：二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做二次曲线的直径，它对应的平行法叫做共轭于这条直径的共轭弦而直径叫做共轭于平行弦方向的直径。

推论1、如果二次曲线的一组平行弦的斜率为，那么平行于这族平行法的直径方程为

                           （5.4-4）

推论2、二次曲线的直径必过它的中心（如果二次曲线有中心的话）

⑵直径的分布：

ⅰ当时，即二次曲线为中心曲线时，表示两条相交直线，所以取可能的值时表示以中心为中心的直线来。

即中心型二次曲线的直径构成中心直线来。

ⅱ当二次曲线为线心二次曲线，由于直径过二次曲线的中心，因为直径只有一条就是中心直线即或

ⅲ当时，方程表示平行线来

即 无心二次曲线的直径构成平行线束，其方向即平行于渐近方向

例1、求椭圆或双曲线的直径

解： 

所以共轭非渐进方向的直径方程为

显然，直径过曲线中心

例2、求抛物线的直径

解： 

所以共轭于非渐进方向的直径

即

所以直径平行于它的渐进方向

例3、求二次曲线的共轭于非渐进线方向的直径：

解： 

∴共轭方程为

即   

因为已知曲线的渐进方向，所以非渐进方向即。因此共轭于非渐进方向的直径为，它只有一条直径。

3、共轭方向

（1）定义：与二次曲线的非渐进方向共轭的直径方向叫做非渐进方向的共轭方向。

（2）共轭条件：设非渐进方向的共轭方向为，

则，其中。

因此

因为为非渐进方向，所以。另外，因此，

当即二次曲线为中心曲线时，，

当即二次曲线为非中心曲线时，，就是说，中心二次曲线的非渐进方向仍然是非渐进方向，中心二次曲线的渐进方向的共轭方向仍然是渐进方向。

由（4）可得共轭条件。     （5）

由上式可知，中心二次曲线的非渐进方向的共轭方向是非渐进方向，而共轭方向就是。

4、共轭直径：中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径。

设。代入（5）式得  （6）

这就是一对共轭直径斜率满足的关系式。

§5、6二次曲线在平面直角坐标下的不变量与半不变量

一、平面直角坐标变换

光滑平面直角坐标变换，是指一个直角坐标系（称它为旧坐标系）在平面运动到新的位置后变成另一坐标系（称它为新坐标系）的一种变换，这种变换可以看作是由坐标系的移轴和转轴两种简单变换组成的。

1、坐标系平移（移轴）

在平面内，从旧坐标系变为新坐标系的过程中，如果只改变原点的位置而不改变坐标向量的长度和方向，那么这种变换称为坐标系平移简称移轴，下面导出移轴公式。

设在中坐标为

为平面上一点它的新旧坐标分别为和于是，  又

      或  

2、转轴       

逆变换   

3、一般坐标变换

轴到轴有向角为

例1、取两条相互垂直的直线

为新坐标轴，且为轴，轴到轴正方向夹角为锐角，若点旧坐标为，求新坐标。

又直线的方向矢量所以

坐标变换公式为          

二、二次曲线平面直角坐标变换下的不变量和半不变量

设二次曲线方程为

在直角坐标变换下曲线方程的左端变为

1、二次曲线的不变量和半不变量的定义

定义：有的系数组成的一个函数，如果经过直角坐标变换，变为

时，有那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量。如果这个函数的值只经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量。

2、坐标变换下二次曲线方程参数的变化规律

⑴移轴下，二次曲线方程参数变换规律

二次项参数不变

一次项参数变为

常数项变为

⑵

转轴下二次曲线方程参数变化规律

二次项系数一般要变，新二次项系数只与原方程二次项系数与方向转角有关而与一次项系数、常数项无关。

二次项系数一般不变

常数项不变

应用当时，选取使

即

如果则反之显然 原方程无一次项，新方程也无一次项；当原方程有一次项时，通过旋转不会消去所有一次项。

作业： 

1、计算二次曲线的不变量与半不变量

⑴

⑵

2、方程坐标轴到怎样的角度，才能使点的两坐标相等。

3、以直线及为新坐标轴且轴到轴正向夹角为锐角，点的新坐标

4、利用转轴消去方程的交叉项。

§5.7用坐标变换化简二次曲线

一、定理1、通过适当坐标变换，二次曲线方程总可以化成下列三个规范方程中一个：

Ⅰ     其中

Ⅱ      其中

Ⅲ          其中

二、化二次曲线方程为标准方程（分类）

Ⅰ         (其中) 

例1、化简二次曲线方程并作画。

解：  椭圆型

解方程组得中心

将移轴代入原方程得

由

作转轴变换

得规范方程

化成标准方程    这是一个椭圆

以为新原点，方向旋转角写出新坐标系在新坐标系中，按新方程画出椭圆，图形

例2、化简二次曲线方程并画出图形

解： 非中心  无心

取使  

作轴变换

原方程变为

配方

移轴得规范方程

   抛物线

作业：①②③

§5、8用不变量化简二次曲线方程并判定二次曲线的类型

上一节，我们证明了经适当坐标变换，二次曲线方程

可化成下列三种规范方程之一

（I）     

（II）     

（III）     

在此基础上，上述三种规范方程可化成九种标准方程。

本节我们将用不变量、半不变量研究二次曲线方程 化简及二次曲线判定。

一、利用不变量表示三种规范方程。

1、中心曲线，规范方程为（I）

因为， 

所以是特征方程的两个根，。为解决哪个根是，哪个根是。

所以与同号。即时取为较大的根，为

又所以

所以中心二次曲线规范方程可为

2、无心二次曲线，规范方程为（II）

因为， 

所以，故规范方程

3、线心二次曲线，规范方程为（III）

引理：当二次曲线（1）为线心曲线时，在直角坐标变换下，是不变量。

  因为， 

所以 

故线心二次曲线规范方程

二、利用不变量判定二次曲线类型：

例1、判定二次曲线的类型，求规范方程并作图。

解： 

，所以曲线为实椭圆。

解特征方程，得特征根， 

所以规范方程为

标准方程为： 

解方程组得中心，由

以为新原点，旋转角，画出新坐标系在新坐标系中，按标准方程画图。

例2：判定的类型，并做出它的图形。

解：抛物线

由，得

代入方程

得 

配方

移轴

原方程化为：即

作出新坐标系在新坐标系中，按标准方程画图。

例3，判定二次曲线的类型，求规范方程和标准方程。

解：，，，， 

实平行二直线

标准方程为