一、选择题（共10小题）.
1. 下列二次根式中，能与 合并的是
A. B. C. D.
2. 平行四边形 中，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
3. 已知 是一元二次方程 的一个解，则 的值是
A. B. C. D. 或
4. 下列说法不正确的是
A. 矩形的对角线相等
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 菱形的对角线互相垂直
5. 如图，数轴上点 所表示的数为 ，则 的值是
A. B. C. D.
6. 菱形 的边长为 ，一条对角线长为 ，则菱形面积为
A. B. C. D.
7. 如图， 是矩形 的对角线的交点， 是 的中点，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
8. 已知三角形的两边长是 和 ，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为
A. B. C. D. 或
9. 已知，如图长方形 中，，，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
10. 如图，在 的正方形网格中，每一格长度为 ，小正方形的顶点称为格点，，，，，， 都在格点上，以 ，， 为边能构成一个直角三角形，则点 的位置有
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 要使 有意义，则 的取值范围是 ．
12. 化简：
（） ．
（） ．
13. 如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，两条对角线的和为 ， 的长为 ，则 的周长为 ．
14. 若方程 是关于 的一元二次方程，则 ．
15. 在 中，，，高 ，则 的长为 ．
16. 如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是 ．
17. 对任意的两实数 ，，用 表示其中较小的数，如 ，则方程 的解是 ．
18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 及其外一点 ．
求作： 的平行线，使它经过点 ．
小云的作法如下：
（）在直线 上任取一点 ；
（）以 为圆心， 长为半径作弧，交直线 于点 ；
（）分别以 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点 ；
（）作直线 ．直线 即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请写出小云所作的直线 的作图依据： ．
三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 解下列方程：
（1）．
（2）．
21. 已知：如图，在平行四边形 中，， 是对角线 上的两点，且 ．求证：．
22. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 ， 在 上，，．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，，则 ， ．
23. 在平行四边形 中， 平分 ， 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若点 为 的中点，且 ，，求 的长．
24. 请阅读下列材料：
问题：如图 ，点 ， 在直线 的同侧，在直线 上找一点 ，使得 的值最小，小军的思路是：如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点 即为所求．
请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图 ，在图 的基础上，设 与直线 的交点为 ，过点 作 ，垂足为 ．若 ，，，写出 的值为 ；
（2）如图 ，若 ，，，写出此时 的最小值 ；
（3）写出 的最小值为 ．
25. 如图，已知正方形 ，点 是 延长线上一点，连接 ，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
26. 回答下列问题：
（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．
（2）由（）中各式猜想 与 （，）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要 ．
27. 阅读、操作与探究：
小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如 的最简形式为 ）为两个连续自然数的比，具体操作如下：
（1）如图 ， 中，，， 的长分别为 ，，，先以点 为圆心，线段 的长为半径画弧，交 的延长线于点 ，再过 ， 两点分别作 ， 的平行线，交于点 ．得到矩形 ，则矩形 的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：
如图 ，已知 中，，请你在图 中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）
（2）若已知直角三角形的三边比为 （ 为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ；
（3）若小亮所画的矩形的邻边比为 ，那么他所借助的直角三角形的三边比为 ．
28. 在平面直角坐标系 中，对于两个点 ， 和图形 ，如果在图形 上存在点 ，（， 可以重合）使得 ，那么称点 与点 是图形 的一对平衡点．
（1）如图 ，已知点 ，．
①设点 与线段 上一点的距离为 ，则 的最小值是 ，最大值是 ；
②在 ，， 这三个点中，与点 是线段 的一对平衡点的是 ；
（2）如图 ，已知正方形的边长为 ，一边平行于 轴，对角线的交点为点 ，点 的坐标为 ．若点 在第一象限，且点 与点 是正方形的一对平衡点，求 的取值范围；
（3）已知点 ，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 ．若线段 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. C
5. D
6. B
7. C
8. C
9. B
10. D
第二部分
11.
12. ，
13.
14.
15. 或
16.
【解析】如图，连接 ，．
，
，
四边形 是矩形，
．
17.
18. 四条边都相等的四边形是菱形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；菱形的两组对边分别平行（平行四边形的两组对边分别平行）；两点确定一条直线
第三部分
19. （1）
（2）
20. （1）
（2）
21. 证法 ：
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，，
所以 ，
在 和 中，
因为
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【解析】证法 ：
连接 ，交 于 点，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
22. （1） 四边形 为菱形，
点 为 中点，
点 为 中点，
为 的中位线，
．
，
四边形 为平行四边形．
，
．
平行四边形 为矩形．
（2） ；
23. （1） 四边形 为平行四边形，
．
，，
为 的中点，
．
在 和 中，
，
，
，
四边形 为平行四边形．
平分 ，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
（2） 过点 作 于点 ．
是 的中点，，
．
四边形 是菱形，，
， .
，．
，．
．
．
24. （1）
（2）
（3）
25. （1） ，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
又 ，
．
（2） ①如图：
② ．
证明：在 上截取点 ，使得 ，连接 ．
四边形 是正方形，
．
在 和 中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
点 关于直线 的对称点是点 ，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四边形 为平行四边形，
，
．
26. （1） ，，
（2）
（3）
27. （1） ；
；
（2）
（3）
28. （1） ① ；
②
（2） （过程略）．
（3） ．
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