大一上学期高数知识点

一、主要内容小结

1. 定义·定理·公式

（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义

（2） 定理与运算法则

定理1  存在 .

定理2  若在点处可导，则在点x处连续；反之不真.

定理3  函数在处可微在处可导.

导数与微分的运算法则：设均可导，则

,             

,             

，    

（3）基本求导公式

2.  各类函数导数的求法

（1）复合函数微分法

（2）反函数的微分法

（3）由参数方程确定函数的微分法

（4）隐函数微分法

（5）幂指函数微分法

（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.

方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对求导）.

（7）分段函数微分法

3. 高阶导数

（1）定义与基本公式

高阶导数公式：            

莱布尼兹公式：

（2）高阶导数的求法   ① 直接法② 间接法

4. 导数的简单应用

(1) 求曲线的切线、法线   (2) 求变化率——相关变化率

二、 例题解析

例2.1  设 , （K为整数）.问：

（1）当K为何值时，在处不可导；

（2）当K为何值时，在处可导，但导函数不连续；

（3）当K为何值时，在处导函数连续？

解 函数在x=0点的导数：

=

= = 

即      

当时, 的导函数为：

为使，取即可。

因此，函数

当K≤1时，在处不可导；

当时，在处可导，但导函数在处不连续；

当时，在处可导且导函数在处连续。

例2.2    ， 求。

分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。

解   = 。

所以                 。

如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。

例2.3   ，求。

分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。

解  因为    

所以      = 

例2.4   设，求。

解  利用积的求导法则及复合函数求导法则，有

    = = 。

例2.5  设方程 ,  求 .

本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。

解 (方法一) 方程两端同时对求导( y看作x的函数),由复合函数求导法可得

  (方法二) 方程两边同时微分：

所以     

例2.6  已知  , 为二次可微函数,且 ，求  , 。

分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。

解    因为 = 

所以     。

又       

所以     = 。

常见错解： 。

错误原因 没有搞清求导对象. 是一阶导数对求导,而是一阶导数对t求导。

例2.7   求函数 的微分。

解    = 

        = 

例2.8  设  , 求 。

    分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。

解     

 = 

= 

=  （）

例2.9  设  求的导函数 的连续区间，若间断，判别类型，并分别作与的图形。

    分析 函数是用分段表达的函数. 在的两侧： 当 时，；

当时， .因此，在  处，的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。

解  因为 

，所以 在处不可导。

故               。

因为在处无定义，所以是的间断点

又因为         =  = 0 ；

            = 

所以  为的跳跃间断点。