高中数学《函数的应用》测试题

一、选择题

1、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2（0＜x ＜240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ） A ．180台 B ．150台 C ．120台 D ．100台

2、1992年底世界人口达到54.8亿．若人口的年增长率为x %，2000年底世界人口为y 亿，那么y 与x 之间的函数关系是:

A. 854.8(1)100x y =+

B. 954.8(1)100x y =+

C. 854.8(1)100x y =-

D. 954.8(1)100

x y =- 3、某种商品1995年提价25%，1998年要恢复成原价，则应降价（ ）

A ．30%

B ．25%

C ．20%

D ．15%

4、某种商品进货单价40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个（ ）

A ．50元

B ．60元

C ．70元

D ．80元

5、按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（ ）

A ．2（1＋8％）3.5万

B ．2（1＋8％）3（1＋2％）6万元

C ．2（1＋8％）3＋2×2％×5万元

D ．2（1＋8％）3＋2（1＋8）3（1＋2％）6万元

6、单摆的周期T (秒)与摆长l (米)的平方根成正比，若长为1米的单摆的周期为2秒，那么做一个周期为3

秒的单摆时，摆线长为

A.1.5米

B.32米

C.2.25米

D.9

4米 7、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别是60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的购买方式共有（ ）

A ．5种

B ．6种

C ．7种

D ．8种

8、某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：T （t ）＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃．t ＝0表示12：00，其后t 取值为正，则上午8时的温度为（ ）

A.042C

B. 08C -

C.024C

D.0

8C

9、等腰直角三角形ABC 的周长为l （定值），它的斜边AC 为x ，写出这个等腰直角三角形的面积S 与x 间的函数关系式为（ ）．

B. 21()42

l S x ＝－，x ∈（0，l ） C. 21()4S l x ＝－，x ∈（0，l ） D. 2

)(8

1x l S －＝，x ∈（0，l ） 10、某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是（ ）．

A. 2250

B.2270

C.2290

D.2310

11、如图（1）所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min 漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （min ）的函数关系表示的图象只可能是（ ）

12、如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点Ｐ沿着A —B —C —M 运动时，以点Ｐ经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象形状大致是（ ）

二、填空题

13．在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每

封信应付邮资（分）表示为信重（0＜x ≤40）克的函数，其表达式f （x ）为________．

14、某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是_________．

15、某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数K （Q ）＝40Q －220

1Q ，则总利润L （Q ）的最大值是_________． 16、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，a 3，…a n 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，a 3，…a n 中推出的a ＝___________．

三、解答题

17、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．

（1）求本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，求投入成本增加的比例x 的取值范围．

18、W AP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费；超过500分钟按0.15元/分钟记费．假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟记费．W AP 手机上网不收通话费和漫游费．

问：（1）小周12月份用WAP 手机上网20小时，要付多少上网费？

（2）小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？

（3）你会选择WAP 手机上网吗？你是用那一种方式上网的？

19、某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地．把汽车离开A 地的路程x （km ）表示为时间t （h ）（从A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h 表示为时间t （h ）的函数，并画出函数图象．

20、如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙

O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．（1）写出这个梯形周长y ，和腰长x 间的函数式，并求出它的定义域．（2）求梯形周长的最大值.

21、某湖滨住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，计算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字形地域，且计划在正方形MNPK 上建一座花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上（下图阴影部分）铺花岗岩路面，造价为210元/m 2，再在四个三角形空地上铺草坪，造价为80元/m 2．问矩形宽为多少时，总造价最小？

22、我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性C 14，动植物死亡后，停止了新陈代谢，C 14不再产生，且原有的C 14会自动衰变，经过5570年（叫做C 14的半衰期），它的残余量只有原始含量的一半，经过科学测定知道，若C 14的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a 与a 之间满足a ′＝a ·e －kx ．现测得出土的古莲子中C 14残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．

《函数的应用》测试题

参

一、选择题

1B 解析：由25x ≥3000＋20x －0.1x 2，得x 2＋50x －30000≥0．代入验证知150适合。

2A 解析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解．本题主要考查数学建模以及分析归纳能力． 3C 解析：设1995年提价前的价格为a ，1998年要恢复成原价应降价x ．

于是有a （1＋25%）（1－x ）＝a ，解得5

1＝x ，即应降价20%，故选C ．

4C 解析：设此商品最佳售价为每个（50＋x ）元，则此时可销出（50－x ）个，于是获利为（50＋x ）（50－x ）－40（50－x ）＝－x 2＋40x ＋500＝－（x －20）2＋900．因此，当x ＝20时，获利最大．故商品最佳售价为每个50＋20＝70（元）．故选C ．

5B 解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B ．

6C 解析：设T =k l ,则2=k l ,即k =2∴T=2l ,由3=2l 得l =4

9=2.25(米

). 7C 解析：题设共有5个条件，用字母分别表示有关量，将条件数学化，转化为不等式的有关问题． 8D 解析：由条件可知上午8时t 取－4，代入即得．

9D 解析：直角边为2x l － ，所以面积为22)(8

1)2(21x l x l －＝－． 10A 解析：设原价为x ，由条件得1.4×0.8x －x ＝270，解得x ＝2250．

11B 解析：H 的变化由慢到快，故选B ．

12A 解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，

当0≤x ≤1时，y ＝

21·x ·1＝2

1x ； 当1＜x ≤2时，y ＝1－21（x －1）－41（2－x ）－41＝－41x ＋4

3； 当2＜x ≤2.5时，y ＝21（25－x ）×1＝45－21x ． 则y ＝⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤．＜＋－，＜＋－，

5.2245212143411021x x x x x x 图形为A ． 二、填空题

13填：80020()160

2040x f x x ≤⎧=⎨≤⎩＜＜ 14填：x a y 4

＝（x ∈N *） 解析：设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25%）．根据题意，得b （1—20%）－a （1－25%）＝b （1－20%）·25%． 化简，得a b 45

＝．

∴y ＝b ·20%·x ＝

a 45·20%·x ， 即x a y 4＝（x ∈N *）． 15填：2500万元

解析：总利润L ＝总收入K －总支出（生产成本＋固定成本）．

所以2500)300(20

120001020140)(22＋－＝－－－－＝Q Q Q Q Q L ． 故当Q ＝300时，总利润最大值为2500万元．

6填：121()n a a a n

＋＋＋ 解析：依题意所求。应使y ＝（a －a 1）2＋（a －a 2）2＋…＋（a －a n ）2最小，把a 看作自变量，则y 是

关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值．因为y ＝na 2－2（a 1＋a 2＋…a n ）＋（a 12＋a 22＋…＋a n 2），所以当)(121n a a a n a ＋＋＋＝ 时 ，y 有最小值．∴)(121n a a a n a ＋＋＋＝ 为所求．

三、解答题

17解：（1）出厂价为：1.2（1＋0.75x ），投入成本：1＋x ，年销售量：1000（1＋0.6x ）．

∴y ＝［1.2（1＋0.75x ）－（1＋x ）］1000·（1＋0.6x ）

＝（0.2－0.1x ）1000·（1＋0.6x ）＝－60x 2＋20x ＋200（0＜x ＜1）．

（2）由于上年度利润为200万元，所以－60x 2＋20x ＋200＞200．

∴－60x 2＋20x ＞0．∴0＜x ＜

31． ∴x 的取值范围为（0，3

1）． 18解：设使用WAP 手机上网的时间为x 分钟，由已知条件可知，当上网时间不超过60分钟时，以每分钟0.5元递增计费；当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时，一律按30元收费；超过500分钟时，在30元基础上，再增加0.15元/分钟．故所付上网费

y =⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤．＞，－＋，＜＜，，500)500(15.03050060306015.0x x x x x

（1）当x =20×60=1200（分钟）时，应将1200代入第三段解析式，得y =135，小周要付135元上网费；

（2）90元已经超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得x =900，小周这个月用手机上网900分钟；

（3）现在直接用电脑上网一般每月60元，从图形可以看出，上网时间较短时，用手机上网较合算，上网时间较长时，用电脑上网更合算．

19解析：由题意易知：汽车与A 地的距离x （km ）与时间t （h ）之间的函数关系式是

.

5.65.35.35.25.205025150

60,,≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤t t t t t x ＜＜＝＝ 车速v （km/h ）与时间t （h ）的函数关系式及图象略．

20解析：（1）要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R ，两腰长为2x ，因此，只需用已知量和腰长x 把上底表示出来，即可写出周长y 与腰长x 的函数式．设腰长AD ＝BC ＝x ，

作DE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，那么∠ADB 是直角，故有AD 2

＝AE ×AB ，即R x AE 22

＝， ∴R

x R AE AB CD 2

22－＝－＝． ∴周长y 满足关系式R x R

x R x R x R y 42)2(222

2＋＋＝－－＋＋＝． 又由条件易求得定义域为{R x x 20|＜＜}．

（2）由（1）得22124()5x y x R x R R R R

=--+＝－＋＋，当且仅当x R =时，梯形周长的有最大值，最大值为5R .

21解析：设AD ＝x ，AM ＝y ，则x 2

＋4xy ＝200， ∴x x y 42002

－＝． ∴总造价2

22240000040003800028042104200x x y xy x Q ＋＋＝＋＋＝⋅⋅)2100(＜＜x ． 即]2129)10[(40002＋－

＝x x Q ．当x

x 10＝，即10＝x 时，Q 最小，最小值为118000元．

22解：a ′＝a ·e －kx ，即

kt e a a －＝'，两边取对数，得e lg lg kt a

a ＝－'． ① 又知C 14的半衰期是5570年，即t ＝5570时，2

1＝a a '， 所以e lg 557021lg k ＝－，即55702lg e lg ＝k ，代人①式，并整理得 2

lg lg

5570a a t '＝，这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a a '是0.879，代入公式，得10402

lg 879.0lg 5570≈⨯－＝

t ．即古莲子约是1040年前的遗物．

备选题：

1、容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（ ）

A ．10)(a

b ·m ％ B ． 10

)1(a b －·m ％

C ．9)(a

b ·m ％ D ．9)1(a b －·m ％ 1B 解析：10)1(a b －·m ％ 2、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）

A ．5～7km

B ．9～11km

C ．7～9km

D ．3～5km

答案：A

3．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A 产品连续两次提价20％，B 产品连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各一件，盈亏情况为（ ）

A ．不亏不赚

B ．亏5.92元

C ．赚5.92元

D ．赚28.96元

答案：B

4、某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）

A ．5

B ．10

C ．14

D ．15

答案：C

5、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）

5解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．

答案：D

6、一个水池每小时注入水量是全池的

101，水池还没有注水部分的总量y 随时间x 变化的关系式为___________．

解析：设满池为1，则有水的部分为1－y ，于是1011＝－y ，即x y ⋅1011－＝占总池量的x 10

11－． 答案：10

1x y －＝，x ∈[0，10] 7、有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．

解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，

则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），

∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．

答案：2500

8、如图所示，铁路上AB 段长100km ，工厂C 到铁路的距离CA 为20km ．现打算从

AB 上某一点D 处向C 修一条公路．已知铁路每吨每公里的运费与公路每吨每公里的

运费之比为3：5，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的运费最少，D 点应选在何处?

解析：设DA 长为x 千米，铁路、公路每吨每公里的运费分别为3a 元和5a 元，从B 往D 到C 的总费用为y ．则))100,0((4005)100(32∈x x a x a y ＋＋－＝，即x x a

a y 340053002－＋＝－．令a

a y u 300－＝，则240053x x u ＋＝＋，平方整理得16x 2－6ux ＋10000－u 2＝0（*）． 由0≥∆，得0)10000(1362

2≥⨯⨯∆u u －－＝，∴|u |≥80． 又∵u ＞＝0，∴u ≥80，将u ＝80代入（*）式，得x ＝15．

答案：D 点应选在距A 15km 处．