...八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测卷(答案解析)

1．如图，P为的边上一点，且，已知，，则的度数为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．下列说法中，不正确的有（    ）

①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；

②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；

③到三角形三边距离相等的点有1个

④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，

⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

3．等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则此三角形的面积为（    ）

A．18    B．20    C．12    D．15

4．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（　　）

A．BD＝CE    B．BD⊥CE    C．AF平分∠CAD    D．∠AFE＝45°

5．如图，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=10cm，则AC等于（    ）

A．6cm    B．5cm

C．4cm    D．3cm

6．下列说法错误的是（　　）

A．有两边相等的三角形是等腰三角形

B．直角三角形不可能是等腰三角形

C．有两个角为60°的三角形是等边三角形

D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

7．如图，在中，，，在中，，，， 相交于点，有下列四个结论： ①；②平分；③；④．其中，正确的结论有（  ）

A．①②③④    B．①③④    C．②③    D．②③④

8．如图，在中，，于点，平分交于点，则下列结论一定成立的是（　　　）

A．    B．    C．    D．

9．如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（    ）

A．2    B．3    C．4    D．5

10．如图所示，在中，，，于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（　　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

11．如图，中，，，若，，则的度数为（　　　）

A．40°    B．30°    C．20°    D．10°

12．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则的度数是（    ）

A．10°    B．20°    C．30°    D．40°

二、填空题

13．如图，已知一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为_____．

14．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为_____°．

15．已知：如图，在△ABC中CD交AB边于点D，直线DE平分且与直线BE相交于点E，，．

求证：

证明：理由如下：

平分（已知）

（已知）

（等量代换）

又（已知）

（等量代换）

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．

17．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝_____．

18．如图，在等腰直角三角形中，．点P在边上(不与B，C重合)，连结．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E．②以点P为圆心，长为半径作弧l，交于点G，③以点G为圆心，长为半径作弧，交弧l于点F，④过点P，F作射线交于点Q．若为等腰三角形，则的长为________．

19．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列结论：①：②点到各边的距离相等；③：④；⑤设，，则；其中正确的结论是______．

20．如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是________________．

三、解答题

21．已知A（3， 5），B（-1， 2），C（1， 1）．

（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC；

（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

22．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．

（1）求证：平分；

（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；

（3）如图3，若，求证：．

23．如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．

（1）求证：AC∥BD；

（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．

24．数学模型学习与应用：

（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　   　，BC＝　   　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．

（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BAD＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；

（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．

25．如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：EB平分∠ABC．

（3）求证：AE=EF．

26．如图，射线分别表示从点出发北､东､南､西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合．

（1）图中与互余的角是____________或____________；

（2）①用直尺和量角器作的平分线；

②在①所做的图形中，如果，那么点在点北偏东____________°的方向上（请说明理由）．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．

【详解】

解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；

∵△PCD中，∠APC=60°，

∴∠DCP=30°，PC=2PD，

∵PC=2PB，

∴BP=PD，

∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，

∵∠ABP=45°，

∴∠ABD=15°，

∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，

∴∠ABD=∠BAD=15°，

∴BD=AD，

∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，

∴BD=DC，

∴△BDC是等腰三角形，

∵BD=AD，

∴AD=DC，

∵∠CDA=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，

故选A．

【点睛】

此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．

2．C

解析：C

【分析】

根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．

【详解】

①根据角平分线的判定可知①正确；

②根据角平分线的性质可知②正确；

③缺乏前提条件：在三角形内部，若不条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；

④根据垂直平分线的性质可知④正确；

⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，

∴错误的有2个，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．

3．C

解析：C

【分析】

作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．

【详解】

解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5，BD=×6=3，

∴AD===4，

∴三角形的面积为：×6×4=12．

故选C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．

4．C

解析：C

【分析】

作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．

【详解】

解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确，

∵∠DOF＝∠AOE，

∴∠DFO＝∠EAO＝90°，

∴BD⊥EC，故B正确，

∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，

∴AM＝AN，

∴FA平分∠EFB，

∴∠AFE＝45°，故D正确，

若C成立，则∠EAF＝∠BAF，

∵∠AFE＝∠AFB，

∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，

所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

5．B

解析：B

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=AE．

【详解】

解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE=10(cm)，

∴∠BAE=∠B=15°，

∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，

∵∠C=90°，

∴AC=AE=×10=5(cm)．

故选：B．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

6．B

解析：B

【分析】

利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．

【详解】

A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；

B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；

C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；

D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质．

7．D

解析：D

【分析】

由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE证得△ABE≌△ADC，可以判断①③④；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，利用面积相等证得AP= AQ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．

【详解】

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BDA=∠ECA=45，

又∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即：∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC，故④正确；

∠ADF=∠ABF，

∴∠BDC=45∠ADF，∠BEC=45∠AEF，

而∠ADF=∠ABF∠AEF，

∴∠BDC∠BEC，故①错误；

∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，

∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，

∴∠DFB=90°，

∴CD⊥BE，故③正确；

作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，

∵△ABE≌△ADC，

∴，

∵BE=DC，

∴AP= AQ，

∵AP⊥CD，AQ⊥BE，

∴FA平分∠DFE，故②正确；

综上，②③④正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

8．D

解析：D

【分析】

根据角平分线的性质得出∠BAE=∠DAE，再根据∠CEA=∠B+∠BAE，∠CAE=∠CAD+∠DAE得出∠CAE=∠CEA即可得出答案．

【详解】

解：∵，

∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°

∵AD⊥BC

∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°

∵平分

∴∠DAE=∠BAE

∵∠B+∠C=90°

∴∠CAD=∠B

∵∠CEA=∠B+∠BAE

∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE

∴AC=EC，

其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，

故选：D．

【点睛】

本题考查直角三角形两锐角和为90°，角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

9．A

解析：A

【分析】

由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，角平分线的性质定理得AD＝DH，垂线段定义证明DH最短，求出DP长的最小值为3，即可得到正确答案 ．

【详解】

过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：

∵∠A=∠BDC=90° ，

又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴BD是∠ABC的角平分线，

又∵AD⊥AB，DH⊥BC，

∴AD＝DH，

又∵AD＝3，

∴DH＝3，

∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，

故选：A．

【点睛】

本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．

10．C

解析：C

【分析】

由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC的长度．

【详解】

解：∵在中，，，

∴，

∵于D，是的角平分线，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=BP=AE=PE=1，

∵，

∴CE=BE=1+1=2，

∴；

故选：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．

11．C

解析：C

【分析】

根据已知可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．

【详解】

解：∵AB＝AC，BD=DC

∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）

∴∠ADC=90°，

∵∠BAC＝80°，

∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40° （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝（ 180°−40°）÷2=70° ，

∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，

故答案为：C.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.

12．B

解析：B

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．

【详解】

解：∵∠BAC＝100°，

∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EAB＝∠B，

同理：∠GAC＝∠C，

∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，

∴∠EAG＝100°−80°＝20°，

故选B．

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

二、填空题

13．（01+）（01-）（0-1）【分析】分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆两圆与y轴的交点即为M点再由OA=OB可知原点也符合题意【详解】解：分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆如图共有4个点对

解析：（0，1+），（0，1-），（0，-1）．

【分析】

分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，两圆与y轴的交点即为M点，再由OA=OB可知原点也符合题意．

【详解】

解：分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，如图，

共有4个点

对于y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1

∴A（1，0），B（0，1）

∴OA=OB=1

∴AB= 

∴当AB为腰时，BM1=AB=

∴OM1=1+

∴点M1的坐标为（0，1+），

∵OA=1，AB=

∴OM3=1

∴点M3的坐标为（0，-1）

∵BM2=AB=

∴OM2=-1

∴点M2的坐标为（0，-+1）

∵OA=OB

∴点M4的坐标为（0，0）（舍去）

综上，点M的坐标为：（0，1+），（0，1-），（0，-1）．

故答案为：（0，1+），（0，1-），（0，-1）．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，在分类讨论分情况解决数学问题时，必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏，一次分类必须按同标准进行，分出的每一部分必需都是相互的．本题要求学生求出相应线段后，注意根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标．

14．30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵∠C=80°∠CBD=40°∴∠CD

解析：30

【分析】

根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．

【详解】

解：∵∠C=80°，∠CBD=40°，

∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，

∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，

∴DA=DB，

∴∠A=∠DBA=∠CDB=30°，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

15．ACDE同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等；；EB内错角相等两直线平行【分析】由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得【详解】证明：理由如下：平分（已知）（已

解析：，AC，DE，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，；EB,内错角相等，两直线平行

【分析】

由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得．

【详解】

证明：理由如下：

平分（已知）

（已知）

（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

（两直线平行，内错角相等）

又（已知）

（等量代换）

（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，角分线性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线性质是解题关键．

16．【分析】根据作图过程可知AE平分∠CAB根据角平分线的性质即可得出结论【详解】解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB∵CB＝8BE＝5∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3∵∠C＝90°∴EC⊥AC∴点E到

解析：【分析】

根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线的性质即可得出结论．

【详解】

解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，

∵CB＝8，BE＝5，

∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，

∵∠C＝90°，

∴EC⊥AC，

∴点E到AB的距离为3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．

17．40°【分析】连接OA根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°根据线段垂直平分线的性质得到AO=BOAO=CO根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：连接OA∵∠BOC＝80°∴∠OBC

解析：40°．

【分析】

连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可．

【详解】

解：连接OA，

∵∠BOC＝80°，

∴∠OBC+∠OCB＝100°，

∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，

∵AB、AC的垂直平分线交于点O，

∴AO＝BO，AO＝CO，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，

∴∠BAC＝∠OAB+∠OAC＝40°，

故答案为：40°．

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

18．或【分析】根据尺规作图可知∠APQ=∠B=45°因为为等腰三角形因此有三种情况（1）当AP=AQ时(2)当AP=PQ时（3）当AQ=PQ时进而利用等量关系得出答案；【详解】解：∵∴∠C=∠B=45°

解析：或

【分析】

根据尺规作图可知∠APQ=∠B=45°，因为为等腰三角形，因此有三种情况，（1）当AP=AQ时，(2)当AP=PQ时，（3）当AQ=PQ时，进而利用等量关系得出答案；

【详解】

解： ∵

∴∠C=∠B=45°,BC= 

由作图步骤可得：∠APQ=∠B=45°，

∵为等腰三角形

∴有三种情况

（1）当AP=AQ时

∵AP=AQ，∠APQ=∠B=45°

∴∠APQ=∠AQP=45°

∴∠PAQ=90°

∵∠BAC=90°

∴P和B点重合不符合题意；

（2）当AP=PQ时，∠APQ=∠B=45°

∴∠PAQ=∠AQP=（180°-45°）÷2=67.5°

∵∠C=45°

再△APC中，∠APC=180°-∠C-∠PAQ=67.5°

∴∠PAQ=∠APC=67.5°

∴AC=PC=1

∴BP=BC-PC=

(3) ）当AQ=PQ时，∠APQ=∠B=45°

∴∠APQ=∠PAQ=45°

∴∠BAP=∠PAQ=45°

∴AP为BC的垂直平分线

∴BP=BC=

故答案：或

【点睛】

本题考查作图-基本作图,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

19．①②③④【分析】由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O可得结合三角形的内角和定理可得再次利用内角和定理可判断①如图1过点O作OM⊥AB于M作ON⊥BC于N结合利用角平分线的性质可判断②利用平行线的性

解析：①②③④

【分析】

由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，可得结合三角形的内角和定理可得再次利用内角和定理可判断①，如图1，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，结合 利用角平分线的性质可判断②，利用平行线的性质与角平分线的定义证明可判断③，如图2，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，证明 可得 同理可得： 从而可判断④，如图2，由，结合 从而可判断⑤．

【详解】

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ 

∴故①符合题意；

如图1，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，

∵平分∠ABC，平分∠ACB，

 故②符合题意；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， 

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF， 

∵， 

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC， 

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF， 

∴BE=OE，CF=OF， 

∴EF=OE+OF=BE+CF， 故③符合题意；

如图2，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

平分 

同理可得： 

 故④符合题意，

如图2，由②得：ON=OD=OM=m，

∴

 ，

 故⑤不符合题意． 

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．

20．【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和分别求出的度数找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数【详解】解：在中是的外角同理得第个三角形中以为顶点的

解析：

【分析】

先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数．

【详解】

解：在中，

是的外角，

同理得，

第个三角形中以为顶点的底角度数是

第2021个三角形的底角度数是：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

三、解答题

21．（1）见解析；（2）是，理由见解析

【分析】

（1）在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，再顺次连接三点即可做出△ABC；

（2）利用网格特点，分别求出AB2、AC2、BC2，再根据勾股定理的逆定理判断即可．

【详解】

（1）如图所示；

（2）△ABC是直角三角形，理由为：

∵AB2=42+32=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系、勾股定理及其逆定理，熟练掌握网格结构和平面直角坐标系，准确找出对应点的位置，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解答的关键．

22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【分析】

（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；

（2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可；

（3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论．

【详解】

（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，

∵，分别是和的角平分线，

∴，

∴平分；

（2）证明：如图，作，，在上取一点，使．

∵平分，

∴，

∵，，

∴，

在四边形中，，

又∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

在和中

∴，

∴

又∵，，

∴，

∴；

（3）证明：延长至，使，连接．

∵，分别是和的角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．

23．（1）见解析；（2）△ABF中AB边上的高为

【分析】

（1）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BDA，根据平行线的判定定理证明即可；

（2）作FG⊥AB于G，根据勾股定理求出BE，进而求出FE，根据角平分线的性质定理解答即可．

【详解】

（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵AB＝BD，

∴∠BDA＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠BDA，

∴AC∥BD；

（2）解：作FG⊥AB于G，

在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，

∴BE，

∴FE＝BE﹣BF，

∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，FG⊥AB，

∴FG＝FE，即△ABF中AB边上的高为．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

24．（1）DE，AE；（2）CE＝a﹣b；（3）等边三角形，理由见解析

【分析】

（1）由“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；

（2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解；

（3）由“SAS”可证△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得结论．

【详解】

解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，

∴∠1＝∠D，

在△ABC和△DAE中，

 ，

∴△ABC≌△DAE（AAS），

∴AC＝DE，BC＝AE，

故答案为：DE，AE；

（2）∵∠BAD＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE，

∵DE＝a，BD＝b，

∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b；

（3）△DEF是等边三角形，

理由如下：由（2）知：△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，

∵△ACF是等边三角形，

∴∠CAF＝60°，AB＝AF，

∴△ABF是等边三角形，

∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF，

即∠DBF＝∠FAE，

在△BDF和△AEF中，

，

∴△BDF≌△AEF（SAS），

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，

∴△DEF是等边三角形．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，根据题意找到全等三角形并证明是解题关键．

25．见解析

【分析】

（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；

（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；

（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．

【详解】

（1）如图，即为所求；

（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线

∴DE⊥AB

∴AE=BE

∵∠A=30，∠ACB=90

∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30

∴∠EBC=∠ABE

∴EB平分∠ABC．

（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线

∴DE⊥AB

∴∠DEB=90-∠ABE =60

∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30

∴∠EFB=∠EBC

∴BE=EF

又∵AE= BE

∴AE=EF

【点睛】

本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．

26．（1）；；（2）①见解析；②，见解析

【分析】

（1）根据互余，平角的定义判断即可；

（2）①作出角平分线即可；

②利用角平分线的定义求出∠POE，再求出∠NOP即可解决问题；

【详解】

（1），

，

，

∴图中与互余的角是和；

故答案为：和；

（2）①如图所示：

②，OP平分，

，

，

，

∴点在点北偏东的方向上；

【点睛】

本题考查了作图-应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；