2020-2021学年山东省济南市八年级(下)期末数学试卷(含解析)

1.如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.     B.     C.     D. 

2.2、代数式中，分式的个数是  

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

3.下列多项式：；；；，其中能用平方差公式分解因式的多项式有

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

4.如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处点F、E都在AB所在的直线上，折痕为MN，若，则等于

A. 

B. 

C. 

D. 

5.下列说法中：

一组对角相等；两条对角线互相垂直；两条对角线互相平分；一组邻角互补；两组对边都相等；两组对边分别平行．

这些说法中能判定四边形是平行四边形的有个．

A. 5    B. 4    C. 3    D. 2

6.在直角坐标平面内，点向下平移2个单位得到点Q，则点Q的坐标是

A.     B.     C.     D. 

7.如图，已知矩形ABCD中，，，点M、N分别在边AD，BC，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段CD上不与两端点重合，过点M作于点H，连接BF，给出下列判断：

∽；

折痕MN的长度的取值范围为；

当四边形CDMH为正方形时，N为BC的中点；

若，则折叠后重叠部分的面积为．

其中正确的是个数是

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

8.绕着A点旋转后得到，若，，则旋转角等于

A.     B.     C. 或    D. 

9.如图，等腰直角三角形ABC，，D、E是BC上的两点，且，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交于点F，连接AD、其中四边形AMFN是正方形；≌；；当时，正确结论有

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

10.若将分式的分子、分母中的字母的系数都扩大10倍，则分式的值

A. 扩大10倍    B. 扩大100倍    C. 不变    D. 缩小10倍

11.一个多边形的每一个外角都等于，则过该多边形的一个顶点能作条对角线．

A. 7    B. 8    C. 9    D. 10

12.已知二次函教的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，则的面积为

A. 

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

13.当 ______ 时，分式的值为零．

14.把因式分解的结果是______ ．

15.若，且，则 ______ ， ______ ， ______ ．

16.如图，在中，，，D为BC上一点，过点D作，垂足为E，连接AD，若，则AB的长为______ ．

17.在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点，F分别是边AD，BC的中点，过点O的动直线与AB，CD边分别交于点M，在平行四边形；矩形；菱形；正方形四个图形中，四边形EMFN可能是

______只填序号．

18.如图，▱ABCD中，O是对角线交点，，，那么周长比的周长多______ cm．

20.如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且，连接DE并延长至点F，使，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点下列结论：

≌；；；若，则其中正确的结论是______ 填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分）

21.把下列各式分解因式：

；

；

；

．

22.化简，求值：，其中．

23.如图，D是的边AC上一点，，求证：．

24.解方程：

25.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，为格点三角形顶点在网格线的交点．

将向上平移2个单位得到，请画出；

将绕着某点O逆时针方向旋转后，得到，请画出旋转中心O，并直接写出在此旋转过程中，线段AB扫过的区域的面积．

26.某电器超市销售A，B两种型号的空调，已知购进3台A型号空调和5台B型号空调共用14500元；购进4台A型号空调和10台B型号空调共用25000元．

求A，B两种型号空调的进价；

若超市准备用不超过54000元的资金再购进这两种型号的空调共30台，求最多能购进A种型号的空调多少台？

27.在平行四边形ABCD中，过点A作于点E，点F在边AD上，且，连接DE，CF．

求证：四边形AECF是矩形；

若DE平分，，，求的值．

28.任意一个多位自然数各个数位上的数字均不为0，则称该自然数为“无零数”，若将一个三位“无零数”的各数位上的数字两两组合，形成六个新的两位数，我们将这六个两位数相加的和，叫做该三位“无零数”的“二位总和”，然后将所得的“二位总和”除以55，得到的结果记为例如“256”是一个三位“无零数”，六个新数为25，26，52，56，62，65，则又例如“133”是一个三位“无零数”六个新数为13，13，31，33，31，33，则．

填空：______．

证明：任意一个满足十位等于百位数字与个位数字之和的三位“无零数”，它的“二位总和”定能被44整除．

已知一个三位“无零数”其中，，且a，b为整数，满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，求出．

29.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且，．

如图，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；

如图，点E、F分别是OC、OA边上的点，将沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作，交EF于点G，交OA于点H，若，求点G的坐标；

如图，照中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围．

30.如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得，过点E作，垂足为F，求证：．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；

B、是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；

故选：B．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】B

【解析】

【分析】

 本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】

解：分式共有 ，共2个．

故选B．

3.【答案】B

【解析】解：；，符合公式特点；

；，不符合公式特点．

故选：B．

根据平方差公式特点：两项，都可以写成平方的形式，平方前面是异号，可以得到答案．

此题主要考查了平方差公式特点，把握公式特点是解题的关键．

4.【答案】D

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，

，

根据折叠的性质可得：，，

，

，

，

，

，

故选：D．

由平行四边形与折叠的性质，易得，然后根据平行线的性质，即可求得，又由平角的定义，根据，求得的度数，然后可求得的度数．

此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质，注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系．

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平行四边形的判定，牢记平行四边形的判定定理是解答本题的关键．利用平行四边形的判定方法对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．

【解答】

解：一组对角相等，不能判定平行四边形；

两条对角线互相垂直不能判定平行四边形；

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组邻角互补不能判定平行四边形；

两组对边都相等的四边形是平行四边形；

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

故选C．

6.【答案】A

【解析】解：点P的坐标为，将点P向下平移2个单位后，

所得点的横坐标是，纵坐标为，即．

故选：A．

利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．

本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．

7.【答案】C

【解析】解：如图1，由折叠可知，

，

，

，

，

，

，

∽，

故正确；

当F与C重合时，，此时MN最小，

当F与D重合时，如图2，此时MN最大，

由勾股定理得：，

，

，

即，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

点F在线段CD上不与两端点重合，

折痕MN的长度的取值范围为；

故正确；

如图3，连接BM，FM，

当四边形CDMH为正方形时，，

，

，

由勾股定理得：，

，

，

，

设，则，

在中，，

，

解得：，

，

，

，

为HC的中点，不是BC中点；

故不正确；

如图4，连接FM，

，，

，，

，

，

设，则，，

由勾股定理得：，

，

，

，，

，

，

，

，

∽，

，

即，

，

，

，

，

，

，

，

折叠后重叠部分的面积为：；

法二：

折叠后重叠部分的面积为：

；

故正确；

所以本题正确的结论有：；

故选：C．

根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．

8.【答案】C

【解析】

解：，，

如图1，，

如图2，．

旋转角等于或．

故选C．

首先根据题意作图，然后由，，即可求得答案．

此题考查了旋转的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

9.【答案】C

【解析】【试题解析】

解：、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，

，

又，

四边形AMFN是矩形；

为等腰直角三角形，

，，

，，

和均为等腰直角三角形，

又，

≌，

，

四边形AMFN是正方形，故正确；

，

，

为等腰直角三角形，

，，

≌，故正确；

如图所示，将绕点A顺时针旋转至，则，，

由于≌，故点N落在点M处，连接，则D、M、共线，

，，

，

，

，

当时，，

，，

≌，

，

在没有时，无法证得，故错误；

，，，

≌，

，

当时，，

，

，，

∽，

，

，故正确．

综上，正确的有，共3个．

故选：C．

由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明，从而可判断；利用SAS可判定≌，从而可判断；在没有时，无法证得，故可判断；由，可判定∽，从而可判定．

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

10.【答案】C

【解析】解：将分式的分子、分母中的字母的系数都扩大10倍，

则，

故分式的值不变．

故选：C．

直接利用分式的基本性质化简得出答案．

此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质进行化简是解题关键．

11.【答案】A

【解析】解：根据题意得：，

所以该多边形是十边形，

从这个十边形的一个顶点出发的对角线的条数为：，

故选：A．

根据外角和以及每一个外角确定出多边形的边数，即可求出过该多边形的一个顶点出发的对角线的条数．

本题主要考查了多边形的内角与外角，解题的关键是需仔细分析题意，利用过该n边形的一个顶点能作条对角线解决问题．

12.【答案】B

【解析】解：二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，

，

，

，B两点相当于在原坐标系中的坐标为，，

的面积是．

故选：B．

由题意可知：，求得A、B点的坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可．

此题考查二次函数的性质，利用图象的平移规律求得A、B点的坐标是解决问题的关键．

13.【答案】

【解析】解：由分式的值为零的条件得且，

解得．

故答案为：．

根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可．

14.【答案】

【解析】解：原式，

故答案为：

原式提取公因式即可．

此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

15.【答案】2；3；5

【解析】

【分析】

设出比例系数k，转化为关于k的一元一次方程解答．由于有，故设，得到用k表示的x，y，z的值，代入中，求得k的值，然后再得到x，y，z的值．

【解答】

解：设，

，，，

代入，

得，

解的，

，，．

故本题答案为：2；3；5．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了勾股定理，根据线段垂直平分线的判定得出是解题的关键．首先根据线段垂直平分线的判定得出AD平分，在中根据角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，在中利用勾股定理求出AC，然后在中根据角所对的直角边等于斜边的一半求出．

【解答】

解：在中，，，垂足为E，，

，

在中，，，

，

在中，，

，

在中，，，

．

故答案为．

17.【答案】

【解析】解：如图所示：

四边形ABCD是矩形，E，F分别是边AD，BC的中点，

，，，

，

在与中

，

≌，

，

四边形EMFN是平行四边形，

故答案为：．

根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可．

此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，解答．

18.【答案】8

【解析】解：为平行四边形，， 

的周长为；

的周长为 

两周长之差为．

根据平行四边形的性质可知，周长与的周长之差即为AB与BC的差．

本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．

19.【答案】且

【解析】解：去分母，得，

解得．

分式方程的解为正数，

且．

解得，且．

故答案为：且．

先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．

本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可．正确．只要证明≌正确．只要证明∽，得，由此即可证明．

【解答】

解：正确．是等边三角形，

，，

，

是等边三角形，

，，

，

是等边三角形，

，，

在和中，

，

≌，故正确．

正确．，

，

，

，

四边形ABDF是平行四边形，

，故正确．

正确．≌，

，，

在和中，

，

≌，

，

，故正确．

正确．≌，

，，

∽，

，

，

，，

，

故正确．

故答案为．

21.【答案】解：

【解析】利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解即可．

本题主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．因式分解方法也可以借助口诀来记忆：“第一提取公因式，第二考虑用公式，十字相乘排第三，分组分解排第四，以上若是都不行，拆项添项试一试．”

22.【答案】解：原式 

；

当时，

原式．

【解析】首先把分式按照运算顺序化简，进一步代入求得数值即可．

此题考查分式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求值．

23.【答案】证明：，

，

在和中，

，

≌，

．

【解析】由“ASA”可证≌，可得．

本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．

24.【答案】解：方程两边同时乘，

得：，

解得：，

检验：当时，，

所以，原分式方程的解是．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．

25.【答案】解：如图所示：即为所求；

如图所示：点O即为所求；

线段AB扫过的区域的面积为：．

【解析】首先确定A、B、C三点关于平移后的对应点位置，再连接即可；

根据对应点到旋转中心距离相等确定O的位置．根据扇形面积公式，利用线段AB所扫过的面积等于两个扇形的面积差．

本题考查了作图旋转变换和对称变换，关键是确定对称点和旋转后对应点的位置．

26.【答案】解：设A种型号空调的进价为x元，B种型号空调的进价为y元．

根据题意，可列方程组为，

解得：，

答：A种型号空调的进价为2000元，B种型号空调的进价为1700元．

设能购进A种型号的空调m台，则购进B种型号的空调台．

根据题意，可列不等式为，

解不等式，得：．

取最大正整数，

．

答：最多能购进A种型号的空调10台．

【解析】设A种型号空调的进价为x元，B种型号空调的进价为y元，根据购进3台A型号空调和5台B型号空调共用14500元；购进4台A型号空调和10台B型号空调共用25000元，列出方程组解答即可；

设能购进A种型号的空调m台，则购进B种型号的空调台，根据题意列出不等式解答即可．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

27.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

，

四边形AECF是平行四边形，

，

，

四边形AECF是矩形；

解：如图所示：

平分，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，，，

，

，

，

，

，，

，

由勾股定理得：，

．

【解析】证四边形AECF是平行四边形，再证出，即可得出结论；

证出，得出，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

28.【答案】

【解析】解：六个新数为17，18，71，81，78，87，则：．

故答案为：；

设三位“无零数”百位数为a，十位数为b，个位数为c，则，

，

，b，c为正整数，

它的“二位总和”定能被44整除；

“无零数”其中，且a，b均为整数是三位数，十位数字等于百位数字与个位数字之和，

或，

．

根据的定义求解即可；

设三位“无零数”百位数为a，十位数为b，个位数为c，根据定义即可得证；

根据“无零数”其中，且a，b均为整数是三位数，十位数字等于百位数字与个位数字之和，确定a、b的值，最后根据的定义求解即可．

本题是新定义题，解题时要正确理解“无零数”，“二位总和”，以及的含义．

29.【答案】解：如图中，结论：是等腰三角形．

理由：四边形OABC是矩形，

，，，，

，

由翻折的性质可知，，

，

，

是等腰三角形．

设，则，

在中，则有，

解得，

．

如图中，

，

，

，

由翻折的性质可知，，

，

，

，

，设，

在中，则有，

解得，

四边形OCDH是矩形，

，，

，

当点E与C重合时，BD的值最小，最小值为1，

当点F与A重合时，BD的值最大，最大值为3，

的取值范围为：．

【解析】如图中，结论：是等腰三角形．利用平行线的性质以及翻折的性质即可证明，再求出BE的长即可解决问题．

如图2中，证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．

分别求出BD的最大值与最小值即可解决问题．

本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

30.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，

，，

，

，

，

在和中，

≌，

．

【解析】根据AAS证明≌，可得结论．

本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．