线性系统的时域分析方法

教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、二阶系统的时域分析方法。

教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。

教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。

本章知识结构图：

第九讲

一、基本概念

1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。

（1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→       根据输出响应→系统分析。

（2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。

系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统

2、分析系统的三大要点

（1）动态性能(快、稳)    （2）稳态性能（准）   （3）稳定性（稳）

二、动态性能及稳态性能

1、动态过程（过渡过程）：在典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。（衰减、发散、等幅振荡）

2、稳态过程：在典型信号作用下，当t → ∞  系统输出量表现的方式。表征输出量最终复现输入量的程度。（稳态误差描述）

3、动态稳态性能指标

图3-1温度控制系统原理图

（1）上升时间tr：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。

（2）峰值时间tp：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。

（3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。（稳）

                                                             （3-1）

（4）调节时间ts：输出响应到达并保持在稳态值h(∞)±5%误差带内所用的最短时间。（快）

（5）稳态误差ess：若时间t  -  ∞，系统理想输出值与实际输出值的偏差，即ess=输出理想值-实际输出值。（准）

3.2 线性系统的稳定性分析

一、稳定性的概念

1、稳定性：任何一个系统受到扰动作用后，会偏离原来的平衡点，而扰动消除后，经一定时间逐渐会到原来的平衡点，称系统是稳定的。

2、说明

（1）稳定取决与本身系统的结构和参数，与输入信号无关。

（2）不稳定的系统受到扰动后，系统输出偏离原来的工作点，随时间的推移而发散。

二、线性系统稳定的充分必要条件       

1、N阶系统的脉冲响应

（3-2）

（3-3）

（3-4）

 （3-5）

3、结论：系统稳定的充分必要条件是：系统特征根的实部均小于零或系统

的特征方程根均在S平面的左半平面。

三、劳斯判据

1、劳斯判据特点

（1）不需要计算复杂的特征方程根；  

（2）能判断根在S平面的左半平面和右半平面的个数。

2、判断系统稳定的步骤

建模→求特征方程→列劳斯表→判稳

假定系统的特征方程为：                                         （3-6）

列劳斯表：

Sn       a0    a2     a4     a6  ···

Sn-1     a1     a3     a5     a7 ···

Sn-2     b1     b2     b3    b4 ···

Sn-3     c1     c2      c3    c4    

：        ：     ：   ：   ：

S1       d1     d2    

S0       f1 

3、劳斯表列写说明：

（1）表中的行数与特征方程中的项数相同。

（2）表中的前两行由特征方程的系数直接构成。第一行由特征方程的第1、3、5..系数构成，第二行由第2、4、6..构成，劳斯表中以后各行由计算得到。

（3）第三行以后通过计算得到。

系统稳定性的判定条件：劳斯表第一列的数值大于零。

正实根数目的判定：第一列各系数符号改变的次数代表特征方程正实根的数

目（S平面右半平面根的个数）。

举例

例1、设系统的特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0,试判断系统的稳定性。

解：若特征方程各项系数都不为零，并都是正数，则用劳斯表判稳

列劳斯表：

s4    1            3          5

s3    2            4

s2   (2*3-1*4)/2=1  (2*5-1*0)/2=5

s1   (1*4-2*5)/1=-6  0

s0   (6*5-1*0)/6=5

劳斯表第一列系数符号改变两次，系统不稳定，有两个正实部根。

3、劳斯判剧的特殊情况

（1）劳斯表中的第一列项为零，而其余项不为零。

例2、设系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+6s+1=0，判断系统的稳定性。

s4    1               3          1

s3    2               6

s2   (2*3-1*6)/2=0--ε  (2*1-1*0)/2=1  （用一个小正数ε代替第一列项为零的元）

s1   (6*ε-2*1)/ ε→∞  

s0   1

劳斯表第一列系数符号改变两次，系统不稳定，有两个正实部根。

（2）劳斯表中出现全零行

例3系统的特征方程为D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0,试用劳斯判剧判断系统的稳定性，并指出根的分布情况。

列劳斯表：

S6    1             -2          -7        -4

S5    1             -3          -4

S4   (-2+3)/1=1    (-7+4)/1=--3   (-4-0)/1=--4  ***[F(s)=s4-3s2-4=0]

S3    4             -6

s2   -1.5            -4

S1    -1.67          0

S0    -4

系统不稳定，符号改变一次，只有一个正实部根。

有两个大小相等符号相反的实根或一对共轭虚根，在全零上面一行的系数建立辅助方程F(s)=0,并对辅助方程s求导，用导数方程的系数取代全零行的元，继续劳斯表计算。

dF(s)/ds=4s3-6s=0

小结：

1、系统的动态性能指标（超调量、调节时间）

2、能熟练应用劳斯判据，判断系统的稳定性。

第十讲

比例积分控制系统结构如图所示：已知参数ζ=0.2，ωn=86.6,试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左，问K1值范围又应当取多大？

                 图3-2 系统结构图

闭环特征方程：，代入ζ=0.2，ωn=86.6，

得：S3+34.6S2+7500S+7500K1=0

列劳斯表：

S3                1                 7500

S2               34.6              7500K1

S1                0

S0               7500K1

系统稳定必须有： 

解得：0当要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左时，令S=S1-1

代入原特征方程得：(S1-1)3+34.6(S1-1)2+7500(S1-1)+7500K1=0

整理得： 

列劳斯表： 

列不等式： >0 ； >0      

解得：13.3 线性系统的稳态误差计算

稳态误差：在稳态条件下，输出量的期望值与实际的稳态值之间的误差，系统稳态误差应控制在某一个范围之内，工业工程中很多性能指标要求的炉温超过误差限度影响质量。

一、误差与稳态误差

    1、误差定义

图3-3负反馈系统框图

    一般定义为, 误差=被控量的期望值-被控量的实际值

（1）按输入量定义： E(S)=R(S)-B(S)=R(S)-C(S)H(S)

其中：B(S)是主反馈信号, R(S)是被控量的希望值。

（2）按输出量定义：R(S)作为被控量的希望值。

图3-4误差系统框图

是希望输出值, 实际输出，两种误差存在以下关系,，若是单位反馈系统H(S)=1，则两种定义可统一起来。

2、误差传递函数

    系统的稳态误差： 

结论:（1） 稳态误差与信号输入形式有关；

     （2）稳态误差与系统结构参数有关, 即开环传递函数有关。

3 计算稳态误差的一般方法

（1）判定系统的稳定性，不稳定求误差无意义。

（2） 求误差的传递函数

（3）用终值定理求稳态误差

     4、举例： 系统如图已知， r(t)=n(t)=t ，求系统的稳态误差。

图3-5  扰动误差系统框图

解：（1）控制输入r(t)作用下的误差传递函数

2、在干扰n(t)作用下的误差传递函数

图3-6  扰动误差系统框图

干扰作用下的稳态误差为： 

由叠加原理得： 

第十一讲

由前述可知：系统的稳态误差与系统结构和输入信号R(S)的形式密切相关, 假定系统开环传递函数              （3-7）

其中K为系统开环增益,和是时间常数，V为积分环节个数，称为系统的类别。

V=0, 为零型系统； V=1为1型系统；V=2为2型系统。3型以上系统几乎不采用。

三、系统稳态误差

1、稳态误差通式

系统开环传递函数                （3-8）

令

稳态误差通式：

  （3-9）

结论：系统的稳态误差与系统类型，开环增益，输入信号形式有关。

四、几种典型信号输入下的稳态误差及误差参数

1、阶跃信号

若r(t)=1(t)  

稳态误差为                    （3-10）

则有

稳态误差：

           （3-11）

定义为位置误差函数

对0型系统: (v=0)

            （3-12）

对2型以上系统

                      （3-13）

结论：

（1）大小反映在阶跃信号输入下消除误差能力，越大, 稳态误差越小。

（2）0型系统对阶跃信号产生的稳态误差为0，越大，稳态误差越小,但不能消除。

（3）在阶跃信号输入下，1型及以上系统可消除稳态误差。

2、单位斜坡信号

r(t)=t1(t)   

  （3-12）

式中定义为速度误差系数。

对0型系统（v=0）

       （3-13）

对1型系统(v=1)

对2型或2型以上系统

结论：

（1）反映对斜坡输入信号跟踪能力.，越大系统稳态误差越小。

（2） 0型系统无法跟踪斜坡输入信号。

（3） 1型系统存在稳态误差， 2型以上系统可完全跟踪斜坡输入信号。

3、单位加速度信号

设单位加速度信号   

   式中定义为加速度误差系数

对0型系统(v=0), 

对1型系统(v=1)  

对2型系统(v=2),     （3-14）

结论：

（1）反映系统跟踪加速度输入信号的能力，越大跟踪精度越高。

（2）2型以下系统输出不能跟踪加速度输入信号，稳态误差无限大。

（3） 2型系统能跟踪, 但有误差.2型以上系统输出准确跟踪输入信号。

五、扰动作用下的稳态误差

如负载转矩变化、放大器的噪声、电源电压波动。

图3-6 系统结构图

为扰动信号；通常为控制器；为被控对象；为检测环节；为被控量。

在扰动信号N(S)作用下，R(s)=0

输出的误差信号： （C(s)理想为0）

六、减小或消除稳态误差的措施

1、增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；

2、在系统前向通道或主反馈通道设置串连积分环节；

3、采用串极控制内回路扰动。

第十二讲

一、一阶系统数学模型

     方框图

说明：（1）T表示惯性的参数，所以一阶系统叫惯性环节。

          （2）通常惯性环节具有控制的延迟性。

二、一阶系统响应

  1、单位阶跃响应

说明：

（1）则；    

（2）不存在峰值和起调量；         

（3）系统时间常数T越小，响应速度 越快。

2、单位脉冲响应

  单位脉冲函数的拉氏变换       为 R(s)＝1

  拉氏反变换

       只有暂态分量，无稳态分量

说明：①T小，响应速度快； ②＝1，输出时系统的传递函数。

3．单位斜坡响应

  输出拉氏变换为： 

4、单位加速度响应  

    误差：，误差随时间逐渐增大，不能跟踪。

三、总结

① 一阶系统响应无振荡无超调；

②系统跟踪特性与输入信号有关，荡为单位加速度信号时不能跟踪。

3.3二阶系统的时域分析

一、二阶系统的数学模型

1、标准形式。

设有一个位置控制系统，其闭环传递函数为：

式中：K：系统开环放大倍数；Tm：执行电动机时间常数。其二阶微分方程为： ，对其进行拉氏反变换

其标准形式可写出：

  其中：阻尼比；：频率。

位置控制系统形式可写出：

则  

    系统的特征方程为

    则闭环极点为（特征根）， 特征根取决于和参数。

二、二阶系统的单位阶跃响应

（一） 二阶系统闭环极点分布。     

<0     =0

=1>10<<1

第十三讲

1、 欠阻尼(0<<1)    

  若 R(s)为单位阶跃信号则

拉氏变换：

分析：1、单位阶跃响应由两部分组成、稳态值为1；

2、不存在稳态误差暂态项是阻尼正弦振荡。

                图3-7 衰减振荡曲线

    2、当时，  

   图3-8   等幅振荡（临界稳定）曲线

3、恒量阻尼

    响应：  （）

图3-8 恒阻尼响应曲线

       分析：响应有两项：1、稳态值为1；2、稳态工作振荡，无超调。

4、无超调

    响应：   

图3-9 过阻尼响应曲线

   分析：1、系统不存在稳态误差； 2、响应是非振荡的。

第十四讲

    1、上升时间

     动态响应： 

     t从0到1为上升时间。

令，则：  又可得： 所以有： 按定义，

所以： 其中

    2、峰值时间

由对t求导，并令其为零

整理得： 

由于是到达第一个峰值时间，故

3、超调量

超调量发生在峰值时间上最大值： 

超调量   

4．调节时间            

图3-10 系统图

（四）例题：如图若要求系统性能=20﹪，=1s，试确定并计算、

      ﹪100﹪       （2﹪—5﹪）

（五）结论：

    1. 阻尼比越大，超调量则越小，响应的平稳性越好。

    2. 过阻尼状态下，系统响应迟缓，过度时间长。

    3. 当系统超调量小与5﹪，调整时间最短，所以最佳阻尼比。

    4．工程应用中，二阶系统一般在0.4-0.8之间。

三、二阶系统的性能改善

   1、比例微分控制

3-11 控制系统框图

解：系统开环传递函数:

闭环传递函数：

比例微分不改变系统自然频率，但阻尼比增大。

结论：（1）自然频率不变；（2）阻尼比增大，超调量下降，调节时间变短。

2、建立反馈控制

3-12 反馈系统结构图

求得

结论：(1) 对没影响,但阻尼比增大.

           (2)改善动态性能, 但增大稳态误差.

四、高阶系统单位阶跃响应

1、高阶系统闭环传递函数 

    ,   若单位阶跃

则(q为实极点, r为共扼复极点)

2、闭环主导极点

    闭环主导极点：极点距虚轴最近, 没有闭环零点， 其它极点远离虚轴。

    特点：主导极点衰减慢，主导极点对系统作用明显。

本章小结：

本章主要采用时域分析法分析系统的动态性能和稳态性能，其主要内容有：

（1）时域方法动态分析，主要掌握单位阶跃响应的超调量、调节时间、稳态误差的概念及求解方法。

（2）稳态误差主要包括：给定误差和扰动误差，能应用公式和结构图对稳态误差进行分析。

（3）劳斯稳定性判据是判断系统是否稳定依据，要掌握3种判定方法，能应用劳斯判据判定系统的稳定性。