北京市各区2012年初三第一学期期末试题按难度分类(三)难题

（朝阳）8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB

上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于

点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示

y关于x的函数关系的图象大致是

(通县)10．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点.动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t．分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（    ）

A              B             C              D

（西城北）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，⊙C的圆心为点，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是

A．2                     B． 

   C．                D． 

（朝阳）12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定，，，，…；，，，，…；，，，，…，那么，按此规定，    ，＝     （用含n的式子表示，n为正整数）．

（昌平）21. 如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是     的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延

长线于点C．连结AE，过点E作EF⊥AB于点F． 

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若FB=2,  tan∠CAE =，求OF的长．

（朝阳）23.（本小题满分6分）

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，

以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别

交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=，

tan∠ADC=2．

  （1）求证：CD是半圆O的切线；

（2）求半圆O的直径；

（3）求AD的长.

(房山)22. 如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O

上，且AB=AD=AO.（1）求证：BD是⊙O的切线.

（2）若点E是劣弧上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，

（西城北）21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与

    ⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．

   （1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

（朝阳）22. （本小题满分6分）

某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.

（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

（东城）23．已知：关于的方程.

（1）当a取何值时，方程有两个不相等的实数根；

    （2）  当整数a取何值时，方程的根都是正整数.

（西城北）22．阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断与的大小关系，并加以说明.

思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再

说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决. 

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且，．

（1）分别用含a的代数式表示4b，4c；

（2）说明a，b，c之间的大小关系．

（西城北）23．已知抛物线（其中）．

 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；

    （2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值；

    （3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

(石景山)25．如图，矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的．其中点在轴负半轴上，线段在轴正半轴上，点的坐标为．

    （1）如果二次函数的图象经过两点且图象顶点的纵坐标为．求这个二次函数的解析式；

    （2）求边所在直线的解析式；

    （3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

(通县)23．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值． 

（延庆）8．如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，

沿线段OC-弧-线段DO的路线作匀速运动.设运动时间为秒,∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是 

（怀柔）8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 (      )

 (大兴)24.已知均为整数，直线与三条抛物线和交点的个数分别是2,1,0，若

(通县)24．如图，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？

（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？

（海淀）23. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与反比例函数的图象交于点A (a, -3)，与 y轴交于点B.

  （1）试确定反比例函数的解析式; 

  （2）若ABO =135, 试确定二次函数的解析式;

  （3）在（2）的条件下,将二次函数y=ax2 + bx + c的图象先沿x轴翻折, 再向右平移到

      与反比例函数的图象交于点P (x0, 6) . 当x0 ≤x ≤3时, 求平移后的二

      次函数y的取值范围.

    解:

(大兴)25.已知二次函数.

（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为，与轴、轴的交点分别为A、B、C三点，连结AC、BC,若∠ACB=90°.

①求此时抛物线的解析式；

②以AB为直径作圆，试判断直线CM与此圆的位置关系，并说明理由.

（怀柔）25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.  

（1）求此抛物线的解析式；                    

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. 

解：

（燕山）25. 在直角坐标系xOy 中，已知某二次函数的图象经过A（－4，0）、B（0，－3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△BOC（相似比不为1）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求△ABC的外接圆半径r；

（3）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点，且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

 (房山)25. 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,最小值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；

（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．

①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

（西城北）24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△        ， =         ；（用含a的代数式表示）

（2）求的度数； 

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论． 

(大兴)23. 已知：在中，，点为边的中点，点在上，连结并延长到点,使，点在线段上，且．

（1）如图1，当时，

求证：；

（2）如图2，当时，

则线段之间的数量关系为　　　　　　；

（3）在（2）的条件下，延长到，使，

连接，若，求的值． 

（海淀）24. 已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.

（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的

等量关系;

 （2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论

      加以证明, 若不成立, 请说明理由；

 （3）如图3, 若AE  AD =a  b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，

      请直接写出你的结论. 

解: （1）线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系为:

                                        .

（2）                                                      图1

                                                           图2

（3）线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系为:

                                        .

                                                           图3

（丰台）24．在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，联结BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，

（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是         ；

（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；

（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是         ．

图1               图2                        图3

（西城北）25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，

（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

   （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=         ； 

   （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长； 

 （3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，

    ① 求此抛物线W的解析式；

    ② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 

（朝阳）24. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE＝45°．

（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上       ，        ；

（2）设BE＝m，CD＝n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

（3）如图②，当BE＝CD时，求DE的长；

（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2.

图①                    图②                   备用图

（海淀）22. 已知△ABC的面积为a，O、D分别是边AC、BC的中点.

    （1）画图：在图1中将点D绕点O旋转180得到点E, 连接AE、CE.

         填空：四边形ADCE的面积为          ；

    （2）在（1）的条件下，若F1是AB的中点，F2是AF1的中点, F3是AF2的中点,…,

Fn是AFn -1的中点 (n为大于1的整数), 则△F2CE的面积为             ; 

△FnCE的面积为            .

 解: （1）画图: 

                              图1

     填空：四边形ADCE的面积为          .        

（2）△F2CE的面积为              ;  

     △FnCE的面积为             .

                                                         备用图

（东城）24．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF. 

（1）如图1, 当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长(直接写出结果).

（朝阳）25.（本小题满分8分）

已知抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=OC，tan∠ACO=，顶点为D．

（1）求点A的坐标．

（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标.

（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大? 请求出此时S的最大值和点N的坐标．

（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为       .

备用图①                            备用图②

（东城）25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点.

（1）求m的值；

（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；    

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

（海淀）25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O及，其顶点为B(m,3),C是AB中点，

  点E是直线OC上的一个动点 (点E与点O不重合)，点D在y轴上, 且EO=ED .

     （1）求此抛物线及直线OC的解析式；

     （2）当点E运动到抛物线上时, 求BD的长；

     （3）连接AD, 当点E运动到何处时，△AED的面积为，请直接写出此时E点的

         坐标.

   解:

（丰台）25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1： 

（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．

（2）如果轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（顺义）25．已知：如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边随着顶点A在抛物线上运动而运动，且始终有BC∥x轴．

（1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？

（2）在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即）时，求顶点A的坐标；

（3）在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标．