高等工程数学试题-2010年-基地工程硕士学位学位-及参-2010-12...

考试日期：2010年 4 月    日     时间110分钟   

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数, 给出该方程存在正根的区间                  , 该方程的Newton迭代公式是                                 ；

2. 给出线性规划标准型的特点：               、                  、                    ；

3．求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中，下降方向应该满足的条件是：（这次不考）

                                                                                       ；

4．已知函数过点，，设函数是的三次样条插值函数，则满足的三个条件是                                                        ；

5．在进行单因子方差分析中，A因子取五个水平，共进行了次试验，通过计算得到，因此          ，而，A因子对试验指标      显著性影响。

6．随机变量服从参数为的指数分布即分布密度为,是样本均值，则                                                                               ；

7．线性方程组其系数矩阵满足                时，可对进行分解（Cholesky分解）；

线性方程组直接解法在估计误差时，如果变化为，解的误差估计为：

                                                                                      ；

8．取步长，用改进Euler法解的公式为：

                                                                                   。

二、（本题6分）某公司生产三种产品：甲、乙和丙。每种产品需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种产品的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。公司规定的经济规模为甲产品1000吨，乙产品1300吨，丙产品900吨，请建立使该公司的利润最大的生产计划数学模型。

四、（本题12分）在甲、乙两市进行的职工家计调查结果表明：甲市抽取的500户中平均每户消费支出

元，标准差元；乙市抽取的1000户中平均每户消费支出元，标准差元，试求:两市职工家庭每户平均年消费支出之间差别的置信水平为0.95的置信区间。

（）

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解

六、（本题10分）试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高。

七、（本题12分）下表列出在不同重量下六根弹簧的长度（单位：cm）

2）求当x=22时，y的0.95的预测区间（取）

八、（本题14分）设方程组为

（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛；

（2）取，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值，；

（3）取，估计用Jacobi迭代求解与准确解的误差。

一、填空题

1．，，或或；

2．决策变量、目标函数、约束条件；

3．相邻两个迭代点的梯度方向垂直；

4．三次样条插值函数满足的条件：（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间上二阶导数连续，（3）满足插值条件；

5．；

6．预测点与的距离；自变量观测值的离散程度；样本容量；

7．顺序主子式都不等于0，消元过程中乘数的绝对值大；为中绝对值最大者；

8．相应的公式为：。

二、解：

设微型轿车、中级轿车和高级轿车的产量为

则利润最大的生产计划数学模型

三、解：

    由所给数据可得差商表如下：

故

其误差估计式为

或  

四、解：

所以，小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有显著差异.

五、解：

首先引进松弛变量使

则      

取初始可行基得初始基可行解

初始单纯形表列如下：

（步骤可以不写）（步骤1：存在，转步骤 2；

步 骤 2：求k使，确定 k=l ；

步 骤 3：存在，转步骤 4； 

步 骤 4：求l使

步 骤 5：以为枢轴元，进行枢轴运算，入基，出基，按变换公式得下表

转入步骤1.

，最优值为 Z=700 。

六、解：令得

由此方程组解得      

因为当时   

而当时   

所以数值积分公式  具有3次代数精度。

七、解：（1）逐步回归法是将变量逐个被加入到模型中去，每当向模型中加入一个变量之后，就对原来模型中的变量在新模型下再进行一次向后剔除的检查，看是否其中有变量应该被剔除。这种“加入—剔除”的步骤反复进行，直至所有已经在模型中的变量都不能剔除，而且所有在模型外的变量都不能加入，过程就终止，最终的模型就是被选定的“最优”模型，这种变量选择方法称为逐步回归法

（2）表头设计为

（1）将原方程组调整为，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。

（2）Gauss-Seidel迭代格式为

取代入Gauss-Seidel迭代格式得，。

（3）取，用Jacobi迭代求得估计，迭代矩阵为

，且有，

从而有。