控制工程第3章习题解答

解：

恒定的水温可以视为一个阶跃输入信号，温度计的测量输出可以视为对该阶跃输入信号的响应。

一阶系统的单位阶跃响应的时间函数为：（P82，3.3.2）

根据题意可知： 

                 (min)

若测量开始后，实际水温从零度起，以10°C/min的速度线性升温，求温度计在1分钟时的示值与实际水温的误差是多大？

（帮助公式：）

根据题意，实际的温度输入信号为：

其拉氏变换为： 

测量误差的时间函数为：

其中：

所以：

当t=1时，测量误差为：

3.7已知控制系统的微分方程为，试用拉氏变换法求该系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并讨论二者之间的关系

解：由传递函数的定义和系统的微分方程（P34，2.2.2~2.2.3），可得系统的传递函数为

系统的单位脉冲响应为（P81）

系统的单位阶跃响应为（P82）：

比较和，有=

即系统的单位脉冲响应等于系统的单位阶跃响应的微分。

3.12下图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，

试求：

（1）阻尼比及无阻尼固有频率    

解：由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：

对比二阶系统传递函数的标准形式(P83，3.4.1)

可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：

（2）该系统的，，， 

(P90，3.4.15)

(P90，3.4.17)

若令， (P91，3.4.22)，  (P91，3.4.25)

若令， (P91，3.4.23)， (P91，3.4.26)

3.15 要使下图所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间为2秒，试确定和的值

解：由图可知，该系统的闭环传递函数为：

对比二阶系统传递函数的标准形式

可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：

由题意，

令：，即    解得： 

令：    解得： 

再由： =     解得： 

3.16如图所示系统，试求

（1）为多少时，；

（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；

（3）比较加入与不加入时系统的性能；

解：

（1）为多少时，；

由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：

其无阻尼自由频率为： 

又因为，即

由题意，要求，解得所需的为： 

（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；

将该系统的闭环传递函数

对比二阶系统传递函数的标准形式： 

可知该系统不是一个标准的二阶系统

其无法利用P90页公式3.4.17以及P91页公式3.4.22~2.4.23直接求得

需要利用的定义求得。

令输入信号为单位阶跃信号，即，其拉氏变换为： 

输出信号的拉氏变换为：

令：，

可以求得：

由P86页公式(3.4.8~3.4.9)，可得：

则，

由上式可知， 

由峰值时间的定义，令： 

即： 

解得： 

将代入，求得响应的第一个峰值为：

由超调量的定义，得

由调整时间的定义：

即： 

由于

上式等价为： 

解得

若取，则

若取，则

(2)若没有串联环节，即

则系统的闭环传递函数为：

对比二阶系统传递函数的标准形式

可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：

其超调量及调整时间为：

若令，， 

若令，， 

由此可见，串联环节的作用使得系统的性能改善了，即超调量和过渡时间都减小了。

3.17单位反馈系统的开环传递函数为

其输入为单位斜坡输入（单位恒速输入）时，系统的稳态误差，求所需的K值

解：由于系统为单位反馈系统，其稳态偏差与稳态误差相同(P98,3.6.4)，即

将写为标准形式(P100,3.6.12)

当输入为单位斜坡输入时，其稳态偏差为：

(P101，P102,表3.6.1)

求得所需的K值为500