东北师范大学附属中学2022年高一上数学期末考试试题含解析

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是

A.    B.

C.    D.

2．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）

A.    B.

C.    D.

3．若直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（    ）

A.2    B.1

C.    D.

4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（    ）

A.5    B.10

C.15    D.20

5．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，且，则；

③若，，则；

④若，，且，则

其中正确命题的序号是（　　）

A.②③    B.①④

C.②④    D.①③

6．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（）

A.    B.

C.    D.

7．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A.图象的一条对称轴为    B.在上单调递增

C.在上的最大值为1    D.的一个零点为

8．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(    )

A.    B.

C.或    D.或

9．设，，，则a，b，c的大小关系是　　

A.    B.

C.    D.

10．不等式的解集为（）

A.（-∞，1）    B.（0，1）

C.（，1）    D.（1，+∞）

11．下列全称量词命题与存在量词命题中：

①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；

②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；

③是无理数，是有理数；

④是无理数，是无理数.

其中真命题的个数是（    ）

A.1    B.2

C.3    D.4

12．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）

A.2    B.

C.－2    D.－

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．计算：__________，__________

14．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________

15．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为，则__________

16．已知函数（为常数）是奇函数.

（1）求的值与函数的定义域.

（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．已知向量= (3，2)，=(-1，2)，=(4，1)

（1）若= m+n，求m，n的值；

（2）若向量满足(-)(+)，|-|=2，求的坐标.

18．已知函数

（1）求的单调增区间；

（2）当时，求函数最大值和最小值.

19．已知函数

（1）若，求不等式的解集；

（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.

20．已知函数（是常数）是奇函数，且满足.

（1）求的值；

（2）试判断函数在区间上的单调性并用定义证明.

21．已知，且

求的值；

求的值

22．函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.

参

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1、A

【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.

【详解】解：方程

所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点

记，

画出函数简图如下

画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，

向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，

所以，即

故选A.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题

2、A

【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为，，且与的夹角为，

所以，

因此.

故选：A.

3、A

【解析】直线经过两点，，且倾斜角为，则 

故答案为A．

4、B

【解析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.

【详解】由，解得

则V的最小值为10.

故选：B

5、A

【解析】对于①当，时，不一定成立；对于②可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④，也可能相交

【详解】①当，时，不一定成立，m可能在平面所以错误；

②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；

③因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故成立；

④，，且，，也可能相交，如图所示，所以错误，

故选A

【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键

6、A

【解析】画出图像，利用正弦函数的对称性求出，再结合的范围即可求解.

【详解】

不妨设，画出的图像，即与有3个交点，由图像可知，关于对称，即，令，解得，所以，故，.

故选：A.

7、B

【解析】

对选项A，，即可判断A错误；对选项B，求出的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出在的最大值即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D错误.

详解】，

.

对选项A，因为，故A错误；

对选项B，因为，.

解得，.

当时，函数的增区间为，

所以在上单调递增，故B正确；

对选项C，因为，所以，

所以，，，故错误；

对选项D，，故D错误.

故选：B

8、D

【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒

【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；

当直线不过原点时，设方程为，

∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程，

故选：D﹒

9、A

【解析】利用函数，，单调性，借助于0和1，即可对a、b、c比较大小，得到答案

【详解】由题意，可知函数是定义域上的增函数，，

又是定义域上的增函数，，

又是定义域上的减函数，，

所以，故选A

【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数、对数函数的单调性，借助指数函数、对数函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10、A

【解析】根据对数的运算化简不等式，然后求解可得.

【详解】因为，，

所以原不等式等价于，即.

故选：A

11、B

【解析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.

【详解】对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；

对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；

对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；

对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.

所以①②是真命题.

故选：B

12、C

【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.

【详解】∵，

∴tan α＝－2，

∵点P(1，a)在角α的终边上，

∴tan α＝＝a，

∴a＝－2.

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13、    ①.0    ②.-2

【解析】

答案：0，

14、    ①.    ②.

【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

函数

，，

故当时，取得最大值为；

当时，取得最小值为，

故的值域为，，

故答案为：；，

15、8

【解析】利用单调性和零点存在定理可知，由此确定的范围，进而得到.

【详解】函数为上的增函数，，，

函数的零点满足，，

的最小整数解

故答案为：.

16、（1），定义域为或；（2）.

【解析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；

（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】（1）因为函数是奇函数，

所以，所以，

即，

所以，令，解得或，

所以函数的定义域为或；

（2），

当时，所以，所以.

因为，恒成立，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、（1）；（2）=(2， 3)或=(6，5).

【解析】（1）利用向量线性坐标运算即可求解.

（2）根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.

【详解】解：（1）若=m +n，则(4，1)= m(3，2)+n(-1，2)

即所以

（2）设=(x，y)，则-=(x-4，y-1)，+=(2，4)

(-)(+)， |-|=2

解得或

所以=(2，-3)或=(6，5)

18、（1）单调递增区间为；（2），.

【解析】（1）利用和差公式和倍角公式把化为，然后可解出答案；

（2）求出的范围，然后由正弦函数的知识可得答案.

【详解】（1）

由可得

单调递增区间为

（2），

即时，

即时，

19、（1）；（2）.

【解析】(1)把代入函数解析式，求解关于的一元二次不等式，进一步求解指数不等式得答案；

(2)不等式恒成立，等价于恒成立，求出时的范围，可得，即可求出的取值范围

【详解】解：（1）当时，

即：

，

则不等式的解集为

（2）∵

由条件：∴∴恒成立

∵

即的取值范围是

【点睛】解不等式的常见类型：

(1)一一二次不等式用因式分解法或图像法；

(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；

(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性

20、 (1) ,

(2) 在区间（0，0.5）上是单调递减的

【解析】（Ⅰ）∵函数是奇函数，则

即 ∴------------------------2分

由得

解得

∴，．------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，

∴，----------------------------------------8分

当时，----------------------------10分

∴，即函数在区间上为减函数．------------12分

[解法2：设，

则＝

＝------------------------------10分

∵ ∴，，

∴，即

∴函数在区间上为减函数．--------------------------12分].

21、 (1)；(2)

【解析】由．，利用同角三角函数关系式先求出，由此能求出的值

利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为，再化简为关于的齐次分式求值

【详解】(1)因为．，

所以，

故

(2)

【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题型

22、（1），

（2）或

【解析】（1）根据图像可得函数的周期，从而求得，再根据可求得，从而可得函数解析式，再根据余弦函数的单调性借口整体思想即可求出函数的单调增区间；

（2）根据平移变换和周期变换可得，在上有两个解，即为与的图象在上有两个不同的交点，令，则作出函数在上的简图，结合图像即可得出答案.

【小问1详解】

解：由题图得，，

，

，

，，

，，

又，，，

令，，

解得，，

函数的单调递减区间为，；

【小问2详解】

解：将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，

若在上有两个解，则与的图象在上有两个不同的交点，

令，则作出函数在上的简图，

结合图像可得或，

所以a的取值范围为或.