等差数列测试题(经典)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列1，，，，的一个通项公式an是(　　)

A.　　　　　　　    B. 

C.                  D. 

答案：B

2．等差数列{an}中，a5＝10，a1＋a2＋a3＝3，则(　　)

A．a1＝－2，d＝3　　　　　    B．a1＝2，d＝－3

C．a1＝－3，d＝2              D．a1＝3，d＝－2

解析：∵a1＋a2＋a3＝3，∴a2＝1，∵a5＝10，∴a5－a2＝3d＝9，d＝3，a1＝－2.

答案：A

3．(2012·三明高二模拟)数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log (a5＋a7＋a9)的值是(　　)

A．－2                  B．－

C．2                      D. 

解析：由3＋an＝an＋1(n∈N*)，得an＋1－an＝3.

∴数列{an}是以3为公差的等差数列．

由a2＋a4＋a6＝3a4＝9，得a4＝3.

∴log (a5＋a7＋a9)＝log (3a7)＝log [3(a4＋3d)]

＝－log6[3(3＋9)]＝－log636＝－2.

答案：A

4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)

A．无实根                      B．有两个相等实根

C．有两个不等实根              D．不能确定有无实根

解析：由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，

即3a5＝9，∴a5＝3，

方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．

答案：A

5．下列命题中正确的个数是(　　)

(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；

(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；

(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；

(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列.

A．4个              B．3个

C．2个              D．1个

解析：对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3

⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错；

对于(2)a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；

对于(3)∵a，b，c成等差数列，

∴a＋c＝2b.

∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4

＝2(kb＋2)，(3)正确；

对于(4)，a＝b＝c≠0⇒＝＝，

(4)正确.综上可知选B.

答案：B

6．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为(　　)

A．28                      B．29

C．30                      D．31

解析：可知中间项为第n＋1项，

依题意

∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝，得n＝10.

又S2n＋1＝＝(2n＋1)·an＋1＝319＋290，

∴an＋1＝a11＝＝29.

答案：B

7．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)

A．49                      B．50

C．51                      D．52

解析：∵2an＋1－2an＝1，∴an＋1－an＝.

∴数列{an}是以为公差的等差数列．

∴a101＝a1＋(101－1)·d＝2＋100×＝52.

答案：D

8．(2012·太原高二检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若数列{}为等差数列，则a11等于(　　)

A．0                      B. 

C.                      D．－1

解析：设bn＝，则b3＝＝，b7＝＝.

∵{bn}为等差数列，设其公差为d，

则d＝＝＝.

∴b11＝b7＋4d＝＋＝，

即＝，解得a11＝.

答案：B

9．(2012·丰台模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 011＝(　　)

A．－                  B．－

C.                      D. 

解析：由递推公式得a2＝－，a3＝，a4＝，a5＝－，…，所以数列是周期数列，周期为3，于是a2 011＝a670×3＋1＝a1＝.

答案：C

10．(2012·沈阳市中学检测)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为(　　)

A．11                      B．19

C．20                      D．21

解析：∵Sn有最大值，∴{an}是递减等差数列．

又<0，∴a10>0，a11<0.

由<－1，得<0.

∴a11＋a10<0.

∴S20＝＝10(a11＋a10)<0.

而S19＝＝19a10>0，

∴使Sn>0的n的最大值为19.

答案：B

11、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6                      B．7

C．8                      D．9

解析：a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3，

∴公差d＝＝＝2.

法一：由d＝2>0可知，数列{an}是递增数列．

an＝－11＋2(n－1)＝2n－13.

令an＝0，得n＝6.

∴a1故数列{an}的前6项和最小．

法二：Sn＝na1＋d＝n2－12n＝(n－6)2－36.

∴当n＝6时，Sn最小．

答案：A

12、等差数列{an}的通项公式an＝2n＋1其前n项和为Sn，则数列{}的前10项和为(　　)

A．120                  B．70

C．75                      D．100

解析：由等差数列前n项和的性质知，数列{}为等差数列，首项为＝a1＝3，

公差为－＝(a1＋a2)－a1

＝(a2－a1)＝×2＝1.

∴{}的前10项的和为

10×3＋×1＝75.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．(2011·湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.

解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋×2＝25.

答案：25

14．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.

解析：设这两个等差数列的公差分别为d1，d2.

则＝.

由等差数列的性质，得y－x＝4d1＝5d2，

∴＝.

答案：

15．数列{an}的前n项和Sn＝an－3，则这个数列的通项公式为________．

解析：a1＝S1＝a1－3，

∴a1＝6.

又由题意得Sn＋1＝an＋1－3.

∴Sn＋1－Sn＝an＋1－an.

∴an＋1＝an＋1－an.

∴an＋1＝3an，{an}是公比为3的等比数列，

∴an＝6×3n－1＝2×3n.

答案：2×3n

16. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．

解析：不妨设角A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，

于是cos 120°＝＝－，

解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.

答案：15

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知{an}是一个等差数列且a2＋a8＝－4，a6＝2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn的最小值．

解：(1)设{an}的公差为d.

∵a2＋a8＝2a5，a2＋a8＝－4，

∴a5＝－2.又∵a6＝2，

∴d＝a6－a5＝4.∴a1＝－18.

∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－22.

(2)Sn＝na1＋d＝2n2－20n

＝2(n－5)2－50，∴n＝5时Sn取得最小值－50.

18．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

解：(1)由已知a3＝5，a10＝－9得

可解得

数列{an}的通项公式为an＝11－2n.

(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.

因为Sn＝－(n－5)2＋25，

所以当n＝5时，Sn取得最大值．

1

19、在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，证明数列{}是等差数列，并求Sn.

证明：∵an＝(n≥2)，

∴Sn－Sn－1＝，

∴(2Sn－1)(Sn－Sn－1)＝2S，

∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1.

两边同除以SnSn－1，得－＝2(n≥2)．

∴数列{}是以＝＝1为首项，2为公差的等差数列．

所以＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

∴Sn＝.

 20(本小题满分12分)(2011·江西“八校”联考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．

(1)证明：数列{}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式an；

(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)由已知可得＝，

即＝＋1，即－＝1.

∴数列{}是公差为1的等差数列．

(2)由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，

∴an＝.

(3)由(2)知bn＝n·2n.

Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，

2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，

相减得

－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1

＝－n·2n＋1

＝2n＋1－2－n·2n＋1，

∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2. 

21．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．

解：设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依题意可得，

化简可得

∴或或或

∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.

 22、已知等差数列{an}中，S3=21，S6=，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．

d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．

解方程组得：d＝－2，a1＝9

∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11

其余各项为负．数列{an}的前n项和为：

∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n

当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn

∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50

说明  根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．