高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导.doc

玉宏图

    在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是的热点，故值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。

一、椭圆焦半径公式

    P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。

    P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。

    以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。

二、椭圆焦半径公式的变式

    P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）。

    P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）；（4）。

    证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有

    由椭圆焦半径公式（1）得

    。

    消去后，化简即得（1）。

    而当大于90°时，在三角形PEQ中，有

               ，

    以下与上述相同。

    （2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

三、变式的应用

    对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

  例1. （2005年全国高考题）P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。

    解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得

    。

    再由题意得＋

。

    注意到。

  例2. （见高中数学课本第二册（上）133页复习参考题八B组第3题）P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。

    解：设PF的倾斜角为，则：

    。

    因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得

    所以三角形PEF的面积

  例3. （2003年希望杯赛题）经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若，求椭圆的离心率。

    解：由题意及变式（2）得

    化简得。

  例4. （2005年全国高考题）设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。

    解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而，由题意及（3）式得

    同理得。由题意知四边形PMQN面积

    所以当时，；当时，＝

。